七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題28 縱觀全局試題 (新版)新人教版.doc
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28 縱觀全局——整體思想 閱讀與思考 解數(shù)學(xué)問題時,人們習(xí)慣了把它分成若干個較為簡單的為,然后在分而治之,各個擊破。與分解、分部處理問題相反,整體思想是將問題看成一個完整的整體,從大處著眼,有整體入手,突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造,把一些看似彼此孤立、實質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮,從整體上把握問題的內(nèi)容和解題方向的策略,往往能找到簡捷的解題方法,解題中運用整體思想解題的具體途徑主要有: 1. 整體觀察 2. 整體設(shè)元 3. 整體代入 4. 整體求和 5. 整體求積 注:既看局部,又看整體;既見“樹木”,又見“森林”,兩者互用,這是分析問題和解決問題的普遍而有效的方法. 例題與求解 【例1】某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入,其中年收入最高的只有一戶,是38000元。由于將這個數(shù)據(jù)輸入錯了,所以計算機顯示的這1000戶的平均年收入比實際平均年收入高出了342元,則輸入計算機的那個錯誤數(shù)據(jù)是 . (北京市競賽題) 解題思路:有1000個未知量,而等式只有兩個,顯然不能分布求出每個未知量,不妨從整體消元. 注:有些問題要達到求解的目的,需要設(shè)幾個未知數(shù),但在解答的過程中,這些未知數(shù)只起到溝通已知與未知的輔助的作用,因此可“設(shè)而不求”,通過整體考慮,直接獲得問題的答案. 【例2】設(shè)是不全相等的任意數(shù),若錯誤!未找到引用源。,則( ) (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一個小于零 D.至少有一個大于零 解題思路:由于的任意性,若孤立地考慮,則很難把握的正負(fù)性,應(yīng)該考慮整體求出的值. 【例3】如果a滿足等式錯誤!未找到引用源。,試求錯誤!未找到引用源。的值. (天津市競賽題) 解題思路:不能直接求出的值,可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯(lián)系,然后把條件等式整體代入求值. 注:整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何證明等方面有廣泛的應(yīng)用,整體代入、疊加疊乘、整體運算、整體設(shè)元、幾何補形等都是整體思想的體現(xiàn). 【例4】已知錯誤!未找到引用源。,代數(shù)式錯誤!未找到引用源。,求當(dāng)錯誤!未找到引用源。時,代數(shù)式錯誤!未找到引用源。的值. (北京市“迎春杯”競賽試題) 解題思路:的值無法求出,將給定的值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式,尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系,整體代入求值. 【例5】已知實數(shù)滿足方程組. 求的值.錯誤!未找到引用源。 (上海市競賽題) 解題思路:將上述六個式子看成整體,通過⑥-⑤,④-③,②-①分別得到錯誤!未找到引用源。. 【例6】如圖,將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個數(shù)分別填入圖中的十個圓圈內(nèi),使得任意連續(xù)相鄰的五個圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個整數(shù)M,求M得最小值并完成你的填圖. (北京市“迎春杯”競賽試題)\ 解題思路:解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出錯誤!未找到引用源。,這是本題的突破口. 注:在解答有同一結(jié)構(gòu)的問題時,可將這一相同結(jié)構(gòu)看作一個整體,用一個字母代換,以此達到體現(xiàn)式子結(jié)構(gòu)的特點,化繁為簡的目的. 能力訓(xùn)練 1.已知密碼:3ABCPQR=4PQRABC,其中每個字母都表示一個十進制數(shù)字,將這個密碼翻譯成式子是 2.若a,b,c的值滿足錯誤!未找到引用源。,則錯誤!未找到引用源。 (“城市杯”競賽試題) 3.角中有兩個銳角和一個鈍角,其數(shù)值已經(jīng)給出,在計算錯誤!未找到引用源。的值時,全班得到23.5,24.5,25.5這樣三個不同結(jié)果,其中確有正確的答案,則正確的答案是 4.如果,那么= (“希望杯”邀請賽試題) 5.已知都是正數(shù),設(shè),,那么與的大小關(guān)系是 . (北京市“迎春杯”競賽試題) 6.若方程組有解,則 (湖北省武漢市選拔賽試題) 7.若正數(shù)滿足不等式,則的大小關(guān)系是( ) A. B. C. D. 8.若,則的值是( ) A. B. C. D. 9.在一家三口人中,每兩個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60,那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是( ) A. B. C. D. 10.設(shè),滿足等式,則 中至少有一個值( ) A. B. C. D. (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 11. 12.有一個四位數(shù),把它從中間分成兩半,得到前、后兩個兩位數(shù),將前面的兩位數(shù)的末尾添一個零,然后加上前后兩個兩位數(shù)的乘積,恰好等于原來的四位數(shù),又知道原數(shù)的個位數(shù)字為5,試求這個四位數(shù). (江蘇省競賽試題) 13.代數(shù)式中,可以分別取+1或-1. (1)證明代數(shù)式的值都是偶數(shù). (2)求這個代數(shù)式所能取到的最大值. (“華羅庚金杯”競賽試題) 14.如圖,在六邊形的頂點處分別標(biāo)上數(shù)1,2,3,4,5,6,能否使任意三個相鄰頂點處的三數(shù)之和(1)大于9?(2)大于10? 若能,請在圖中標(biāo)出來;若不能,請說明理由. (江蘇省競賽試題) 28 縱觀全局 ——整體思想 例1 380 000提示:設(shè)a1,a2,a3,…,a999,al 000分別為所統(tǒng)計的1 000戶居民的年收入,又設(shè)他們的平均值是A,誤輸入計算機的數(shù)據(jù)為a,由題意得 例2 D提示:x+y+z= [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]. 例3 原式= 例4將x=2,y= -4代入ax3+by+5 =1 997中,得 8a-2b+5=1 997.故4a-b=996. 當(dāng)x=-4,y=-時,3ax-24by3+4 986=3a(-4)-24b(-)3+4 986 =-12a+3b+4 986=-3(4a-b)+4 986=-3996+4 986=1 998. 例5 ②-①得b-a =20;④-③得d-c=80;⑥-⑤得f-e=320. 故,f-e+d-c+b-a=320+80+20=420. 例6 設(shè)滿足已知條件填好的數(shù)依次為a1,a2,…,a10,則 a1+a2+a3+a4+a5≤M, a2+a3+a4+a5+a6≤M, … a10 +a1 +a2 +a3 +a4≤M. 所以5(a1+a2+…+a10)≤10M, 即≤10M,解得M≥27.5. 而M為整數(shù),故M的最小值為28.將1,2,…,10分成如下的兩組10,7,6,3,2,9,8,5,4,1.依次填入圖中, 【能力訓(xùn)練】 1.3571 428=4428 571 2.-10提示:由題意有, 即.則9a+2b+7c=2(3a-2b+c)+3 (a+2b-3c)=24+3(-6)=-10. 3.23.5 4. 18 x4+7x3+8x2-13x+15=x2(x2+2x)+5x(x2+2x)-2(x2+2x)-9x+15= 3x2+15x-6-9x+15= 3(x2+2x)+9=33+9=18. 5.> 提示:設(shè)x=a1+a2+…+a1990,y=a2+a3+…+a1 990,求M-N. 6.-1提示:將3個方程組相加得(a+b+1)(x2+x+l)=0, 而x2 +x+1=>0,故a+b+1=0. 7.B 8.B 9.A 10.A 11.(1)原式=== (由a+b+c=0,得b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c)=-1+(-1)+(-1)+3=0 (2)由得,即.同理,. 三式相加得2()=48,故=24.則=. 12.設(shè)前、后兩個二位數(shù)分別為m,n,則根據(jù)題意有:10m+mn=100m+n, m=,由m>0,n>0,得n-90>0,又n是兩位數(shù),且個位數(shù)字為5,因此n=95,從而知m=19,故所求四位數(shù)為1 995. 13.(1)略. (2)在rvz,-r wy,-suz,swx,tuy,-tvx這六項相乘 得,-=-1,所以這六項中,至少有一項是-1,這樣六項之和之多是5-1=4.在u,x,y為-1,其他字母為1時,原式的最大值為4. 14.(1)能.(2)不能. 提示:設(shè)所填的6個數(shù)順序為a,b,c,d,e,f,它們?nèi)我庀噜徣龜?shù)和大于10,即a+b+c≥11,b+c+d≥11,c+d+e≥11,d+e+f≥11,e+f+a≥11,f+a+b≥11,則3(a+b+c+d+e+f)≥66,故a+b+c+d+e+f≥.而1+2+3+4+5+6=21,所以不能使每三個相鄰的數(shù)之和都大于10.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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