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專題5.3 銳角三角形 一、單選題 1．2cos60=（　　） A． 1 B． C． D． 【來源】黑龍江省大慶市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】A 【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵. 2．如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（　　） A． B． 1 C． D． 【來源】貴州省貴陽市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】B 【解析】【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求． 【詳解】如圖，連接BC， 由網(wǎng)格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC為等腰直角三角形， ∴∠BAC=45， 則tan∠BAC=1， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵． 3．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點(diǎn)A、B在同一水平面上）．為了測(cè)量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機(jī)從A地出發(fā)，垂直上升800米到達(dá)C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（　?。? A． 800sinα米 B． 800tanα米 C． 米 D． 米 【來源】吉林省長(zhǎng)春市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】D 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型. 4．如圖，在中，，，，則等于（ ） A． B． C． D． 【來源】湖北省孝感市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】A 點(diǎn)睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義． 5．如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE、DE分別交AB于點(diǎn)O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（　?。? A． B． C． D． 【來源】廣西欽州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出OE=OB、EF=BP，設(shè)EF=x，則BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，進(jìn)而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定義即可求出cos∠ADF的值． 【詳解】根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△OEF和△OBP中，， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE=OB，EF=BP． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理結(jié)合AF=1+x，求出AF的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點(diǎn)C，測(cè)得PC=100米，∠PCA=35，則小河寬PA等于（　?。? A． 100sin35米 B． 100sin55米 C． 100tan35米 D． 100tan55米 【來源】湖北省宜昌市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長(zhǎng)度． 詳解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35， ∴小河寬PA=PCtan∠PCA=100tan35米． 故選：C． 點(diǎn)睛：考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案． 7．如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60，∠C＝45，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為 A． B． 2 C． D． 3 【來源】陜西省xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】C 【詳解】∵AD⊥BC， ∴△ADC是直角三角形， ∵∠C=45， ∴∠DAC=45， ∴AD=DC， ∵AC=8， ∴AD=4， 在Rt△ABD中，∠B=60，∴BD===， ∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30， ∴DE=BD?tan30==， ∴AE=AD-DE=， 故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 8．如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)H，已知sin∠CDB=，BD=5，則AH的長(zhǎng)為（　　） A． B． C． D． 【來源】廣西壯族自治區(qū)賀州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】B 【解析】【分析】連接OD，由垂徑定理得出AB⊥CD，由三角函數(shù)求出BH=3，由勾股定理得出DH==4，設(shè)OH=x，則OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 設(shè)OH=x，則OD=OB=x+3， 在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2， 解得：x=， ∴OH=， ∴AH=OA+OH=+3+=， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練應(yīng)用垂徑定理、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵. 9．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上AB兩側(cè)的點(diǎn)，若∠D=30，則tan∠ABC的值為（　?。? A． B． C． D． 【來源】遼寧省葫蘆島市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】C 【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值，求得∠ABC=60是解本題的關(guān)鍵. 10．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=1，BC=3，則∠A的正切值為（　?。? A． 3 B． C． D． 【來源】云南省xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】A 【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵． 二、填空題 11．如圖，小明為了測(cè)量校園里旗桿AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放在距旗桿底部B點(diǎn)6m的位置，在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53，若測(cè)角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為______m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53≈0.80，cos53≈0.60，tan53≈1.33） 【來源】遼寧省大連市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】9.5 【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可． 詳解：過D作DE⊥AB， ∵在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53， ∴∠ADE＝53， ∵BC＝DE＝6m， ∴AE＝DE?tan53≈61.33≈7.98m， ∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m， 故答案為：9.5 點(diǎn)睛：此題考查了考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 12．如圖，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂A的仰角為30，點(diǎn)B到塔底C的水平距離BC是30m，那么塔AC的高度為__m（結(jié)果保留根號(hào)）． 【來源】遼寧省阜新市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】 點(diǎn)睛：此題考查了考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 13．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn)，連接BH、CH．當(dāng)∠BHD=60，∠AHC=90時(shí)，DH=_____． 【來源】遼寧省沈陽市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】 【詳解】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如圖， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60， ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60，∠BAH+∠CAH=60， ∴∠ABH=∠CAH， 在△ABE和△CAH中， ∴△ABE≌△CAH， ∴BE=AH，AE=CH， 在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60， ∴sin∠AHE=，HE=AH， ∴AE=AH?sin60=AH， ∴CH=AH， 在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2， ∴BE=2，HE=1，AE=CH=， ∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1， 在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=， ∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD， ∴=2， ∴DH=HF==， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是明確在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形． 14．如圖，航拍無人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45，測(cè)得底部C的俯角為60，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_____m（結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73）． 【來源】湖北省咸寧市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】300 【詳解】如圖，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45， ∴BD= AD?tan45 =110（m）， ∵在Rt△ACD中，∠CAD=60， ∴CD=AD?tan60=110≈190（m）， ∴BC=BD+CD=110+190=300（m）， 即該建筑物的高度BC約為300米， 故答案為：300． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 15．在直角三角形ABC中，∠ACB=90，D、E是邊AB上兩點(diǎn)，且CE所在直線垂直平分線段AD，CD平分∠BCE，BC=2，則AB=_____． 【來源】貴州省銅仁市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】4 詳解：∵CE所在直線垂直平分線段AD， ∴CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． ∵CD平分∠BCE， ∴∠DCE=∠DCB． ∵∠ACB=90， ∴∠ACE=∠ACB=30， ∴∠A=60， ∴AB==4． 故答案為：4． 點(diǎn)睛：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，通過角的計(jì)算找出∠A=60是解題的關(guān)鍵． 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)O處，且∠AOC=60，A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），則直線AC的表達(dá)式是_____． 【來源】湖南省郴州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】 【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得OC的長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)，可得OD與CD，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)，然后再根據(jù)待定系數(shù)法，即可求得直線AC的表達(dá)式. 【詳解】如圖， 設(shè)AC的解析式為y=kx+b， 將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得， 解得， 直線AC的表達(dá)式是y=﹣x+4， 故答案為：y=﹣x+4． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用銳角三角函數(shù)得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 17．如圖，在菱形ABCD中，，是銳角，于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)，連結(jié)MD，若，則的值為______． 【來源】浙江省寧波市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】 【詳解】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H， 四邊形ABCD是菱形， ，， ， ，， ≌， ， ， ，設(shè)， ， ， ， ， ， 或舍棄， ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題是解決本題的關(guān)鍵. 18．如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為和若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點(diǎn)H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為______米結(jié)果保留根號(hào)． 【來源】浙江省寧波市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】 【解析】【分析】在和中，利用銳角三角函數(shù)，用CH表示出AH、BH的長(zhǎng)，然后計(jì)算出AB的長(zhǎng)． 米， 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題，題目難度不大，解決本題的關(guān)鍵是用含CH的式子表示出AH和BH． 19．計(jì)算：﹣|2﹣2|+2tan45=_____． 【來源】湖北省隨州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】4 【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值、二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵. 20．如圖，一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交與點(diǎn)C，若tan∠AOC=，則k的值為_____． 【來源】湖北省隨州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】3 【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，可以求得a的值，進(jìn)而求得k的值即可. 【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D， ∵tan∠AOC==，∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3a，a）， ∵一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象相交于A、B兩點(diǎn)， ∴a=3a﹣2，得a=1， ∴1=，得k=3， 故答案為：3． 【點(diǎn)睛】本題考查了正切，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答． 21．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30，則△ABC的面積等于_____． 【來源】江蘇省無錫市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】15或10 詳解：作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D， ①如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)， 在Rt△ABD中，∵∠B=30，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD=， 則BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=?BC?AD=65=15； ②如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)， 點(diǎn)睛：本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)算及勾股定理． 22．如圖，無人機(jī)在空中C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60、45，如果無人機(jī)距地面高度CD為米，點(diǎn)A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點(diǎn)間的距離是_____米．（結(jié)果保留根號(hào)） 【來源】湖北省黃石市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】100（1+） 【解析】分析：如圖，利用平行線的性質(zhì)得∠A=60，∠B=45，在Rt△ACD中利用正切定義可計(jì)算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100，然后計(jì)算AD+BD即可． 詳解：如圖， ∵無人機(jī)在空中C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60、45， 點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形． 23．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD=________. 【來源】四川省眉山市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】2 【解析】分析：首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，繼而求得答案． 詳解：如圖，連接BE， ∵四邊形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根據(jù)題意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案為：2 點(diǎn)睛：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 24．如圖，一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得島礁P在北偏東30方向，同時(shí)測(cè)得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60方向．為了在臺(tái)風(fēng)到來之前用最短時(shí)間到達(dá)M處，漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行_____小時(shí)即可到達(dá)．（結(jié)果保留根號(hào)） 【來源】山東省濰坊市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】 【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45，則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ﹣90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30，則BQ=PQ?tan30=PQ（海里）， 所以 PQ﹣90=PQ， 所以 PQ=45（3+）（海里）， 所以 MN=PQ=45（3+）（海里）， 在直角△BMN中，∠MBN=30， 所以 BM=2MN=90（3+）（海里）， 所以（小時(shí)）， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想． 三、解答題 25．如圖，一艘游輪在A處測(cè)得北偏東45的方向上有一燈塔B．游輪以20海里/時(shí)的速度向正東方向航行2小時(shí)到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得燈塔B在C處北偏東15的方向上，求A處與燈塔B相距多少海里？（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 【來源】廣西壯族自治區(qū)賀州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】A處與燈塔B相距109海里． ∵∠ECB=15， ∴∠BCF=90﹣15=75， ∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75﹣45=30， 在Rt△BCM中，tanB=tan30=，即， ∴BM=40， ∴AB=AM+BM=40+40≈40+401.73≈109（海里）， 答：A處與燈塔B相距109海里． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 26．如圖，一艘海輪位于燈塔C的北偏東45方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東30方向上的B處，求此時(shí)船距燈塔的距離（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果取整數(shù)）． 【來源】湖北省十堰市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】船距燈塔的距離為193海里． 【解析】【分析】過C作CD垂直于AB，根據(jù)題意求出AD與BD的長(zhǎng)，由AD+DB求出AB的長(zhǎng)即可． 【詳解】過C作CD⊥AB， 在Rt△ACD中，∠A=45， ∴△ACD為等腰直角三角形， ∴AD=CD=AC=50海里， 在Rt△BCD中，∠B=30， ∴BC=2CD=100海里， 根據(jù)勾股定理得：BD=50海里， 則AB=AD+BD=50+50≈193海里， 則此時(shí)船鋸燈塔的距離為193海里． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形﹣方向角問題，正確添加輔助線，熟練應(yīng)用直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 27．如圖，一座山的一段斜坡BD的長(zhǎng)度為600米，且這段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡從B到D時(shí)，其升高的高度與水平前進(jìn)的距離之比）．已知在地面B處測(cè)得山頂A的仰角為33，在斜坡D處測(cè)得山頂A的仰角為45．求山頂A到地面BC的高度AC是多少米？（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可） 【來源】?jī)?nèi)蒙古呼和浩特市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】山頂A到地面BC的高度AC是米. 【解析】【分析】作DH⊥BC于H．設(shè)AE=x．在Rt△ABC中，根據(jù)tan∠ABC=，構(gòu)建方程即可解決問題即可. 【詳解】作DH⊥BC于H，設(shè)AE=x， ∵DH：BH=1：3， 在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002， 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形——仰角問題，借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想與方程思想解答問題是關(guān)鍵. 28．兩棟居民樓之間的距離CD=30米，樓AC和BD均為10層，每層樓高3米． （1）上午某時(shí)刻，太陽光線GB與水平面的夾角為30，此刻B樓的影子落在A樓的第幾層？ （2）當(dāng)太陽光線與水平面的夾角為多少度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部． 【來源】遼寧省盤錦市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】（1）此刻B樓的影子落在A樓的第5層；（2）當(dāng)太陽光線與水平面的夾角為45度時(shí)，B樓的影子剛好落在A樓的底部． 【解析】分析：（1）延長(zhǎng)BG，交AC于點(diǎn)F，過F作FH⊥BD于H，利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可； （2）連接BC，利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可． 詳解：（1）延長(zhǎng)BG，交AC于點(diǎn)F，過F作FH⊥BD于H， 點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答． 29．已知Rt△ABC中，∠ACB=90，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探究∠APE的度數(shù)： （1）如圖1，若k=1，則∠APE的度數(shù)為 ； （2）如圖2，若k=，試問（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，求出∠APE的度數(shù)． （3）如圖3，若k=，且D、E分別在CB、CA的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由． 【來源】四川省樂山市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】（1）45；（2）（1）中結(jié)論不成立，理由見解析；（3）（2）中結(jié)論成立，理由見解析. 詳解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF∥CB，過點(diǎn)B作BF∥AD相交于F，連接EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90，四邊形ADBF是平行四邊形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90， ∴△FAE≌△ACD， ∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90， ∴∠FEA+∠CAD=90=∠EHD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90． ∵EF=BF， ∴∠FBE=45， ∴∠APE=45． （2）（1）中結(jié)論不成立，理由如下： 如圖2，過點(diǎn)A作AF∥CB，過點(diǎn)B作BF∥AD相交于F，連接EF， ∵∠FAC=∠C=90， ∴△FAE∽△ACD， ∴，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90， ∴∠FEA+∠CAD=90=∠EMD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90． 在Rt△EFB中，tan∠FBE=， ∴∠FBE=30， ∴∠APE=30， （3）（2）中結(jié)論成立，如圖3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，連接AH， ∴，∠ADC=∠HAE． ∵∠CAD+∠ADC=90， ∴∠HAE+∠CAD=90， ∴∠HAD=90． 在Rt△DAH中，tan∠ADH=， ∴∠ADH=30， ∴∠APE=30． 點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)． 30．據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．小強(qiáng)用所學(xué)知識(shí)對(duì)一條筆直公路上的車輛進(jìn)行測(cè)速，如圖所示，觀測(cè)點(diǎn)C到公路的距離CD=200m，檢測(cè)路段的起點(diǎn)A位于點(diǎn)C的南偏東60方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)C的南偏東45方向上．一輛轎車由東向西勻速行駛，測(cè)得此車由A處行駛到B處的時(shí)間為10s．問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度？（觀測(cè)點(diǎn)C離地面的距離忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 【來源】四川省廣安市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】此車沒有超過了該路段16m/s的限制速度． 【解析】分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出DB，DA，進(jìn)而解答即可． 詳解：由題意得：∠DCA=60，∠DCB=45， 點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出AD與BD的長(zhǎng)度，難度一般． 31．我市304國(guó)道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰，如圖所示，其中山腳A、C兩地海拔高度約為1000米，山頂B處的海拔高度約為1400米，由B處望山腳A處的俯角為30，由B處望山腳C處的俯角為45，若在A、C兩地間打通一隧道，求隧道最短為多少米（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)≈1.732） 【來源】?jī)?nèi)蒙古通遼市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】隧道最短為1093米． 【解析】【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可． 【詳解】如圖，作BD⊥AC于D， 由題意可得：BD=1400﹣1000=400（米）， ∠BAC=30，∠BCA=45， 在Rt△ABD中， ∵tan30=，即， 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵. 32．“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你解答． 如圖所示，底座上A，B兩點(diǎn)間的距離為90cm．低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長(zhǎng)為155cm，高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長(zhǎng)為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3．求高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.4≈0.991，cos82.4≈0.132，tan82.4≈7.500，sin80.3≈0.983，cos80.3≈0.168，tan80.3≈5.850） 【來源】河南省xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】高、低杠間的水平距離CH的長(zhǎng)為151cm． 【解析】分析：利用銳角三角函數(shù)，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分別求出AE、BF的長(zhǎng)．計(jì)算出EF．通過矩形CEFH得到CH的長(zhǎng)． 詳解：在Rt△ACE中， ∵tan∠CAE=， 點(diǎn)睛：本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形．題目難度不大，注意精確度． 33．如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法： ∵sinA=，sinB=， ∴c=，c=， ∴=， 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關(guān)系，并寫出探究過程． 【來源】貴州省貴陽市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】==，理由見解析. 【解析】【分析】三式相等，理由為：過A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，兩者相等即可得證． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 34．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD． （1）求證：△MED∽△BCA； （2）求證：△AMD≌△CMD； （3）設(shè)△MDE的面積為S1，四邊形BCMD的面積為S2，當(dāng)S2=S1時(shí)，求cos∠ABC的值． 【來源】四川省資陽市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）cos∠ABC=. 【詳解】（1）∵M(jìn)D∥BC， ∴∠DME=∠CBA， ∵∠ACB=∠MED=90， ∴△MED∽△BCA； （2）∵∠ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)， ∴MB=MC=AM， ∴∠MCB=∠MBC， ∵∠DMB=∠MBC， ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC， ∵∠AMD=180﹣∠DMB， ∠CMD=180﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180﹣∠MBC， ∴∠AMD=∠CMD， 在△AMD與△CMD中， ， ∴△AMD≌△CMD（SAS）； （3）∵M(jìn)D=CM， ∴AM=MC=MD=MB， ∴MD=2AB， 由（1）可知：△MED∽△BCA， ∴， ∴S△ACB=4S1， ∵CM是△ACB的中線， ∴S△MCB=S△ACB=2S1， ∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1， ∵， ∴， ∴， 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是關(guān)鍵. 35．如圖是小紅在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的風(fēng)箏線（整個(gè)過程中風(fēng)箏線近似地看作直線）與水平線構(gòu)成30角，線段AA1表示小紅身高1.5米． （1）當(dāng)風(fēng)箏的水平距離AC=18米時(shí)，求此時(shí)風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度； （2）當(dāng)她從點(diǎn)A跑動(dòng)9米到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離CF=10米，這一過程中風(fēng)箏線的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原來的高度C1D． 【來源】四川省資陽市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】（1）風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度為12米；（2）風(fēng)箏原來的高度C1D為米． 【詳解】（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30， ∴AD==（米）， 答：此時(shí)風(fēng)箏線AD的長(zhǎng)度為12米； （2）設(shè)AF=x米，則BF=AB+AF=9+x（米）， 在Rt△BEF中，BE===18+x（米）， 由題意知AD=BE=18+x（米）， ∵CF=10， ∴AC=AF+CF=10+x， 由cos∠CAD=可得， 解得：x=3+2， 則AD=18+（3+2）=24+3， ∴CD=ADsin∠CAD=（24+3）=， 則C1D=CD+C1C=+=， 答：風(fēng)箏原來的高度C1D為米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義、根據(jù)題意找到兩直角三角形間的關(guān)聯(lián)是解決本題的關(guān)鍵. 36．如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=． （1）求邊AC的長(zhǎng)； （2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值． 【來源】上海市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】（1）AC=；（2）． 【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5， ∴AE=3，BE=4， ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1， 在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC==； （2）∵DF垂直平分BC， ∴BD=CD，BF=CF=， ∵tan∠DBF=， ∴DF=， 在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD==， ∴AD=5﹣=， 則． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.