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二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題 知識(shí)點(diǎn) 二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點(diǎn) 巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題； 知識(shí)講解 考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對(duì)于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，）．對(duì)于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)． 考點(diǎn)2 勾股定理及逆定理 1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 3.逆定理：如果三角形的三邊長：a，b，c，則有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意： （1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊為c。 （2）驗(yàn)證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系，若a2+b2=c2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形。 考點(diǎn)3 探究直角三角形的一般思路 探究直角三角形的存在性問題時(shí)，具體方法如下： （1）先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論； （2）找點(diǎn)：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下： ①當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長的某一端點(diǎn)作定長的垂線，與數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)； ②當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的數(shù)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)； （3）計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各個(gè)邊（表示線段時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)）。再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)。例題精析 例1 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)，對(duì)稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式； （3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于 點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限． ①當(dāng)線段時(shí)，求tan∠CED的值； ②當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng) 直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．  例2如圖，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）． （1）試說明△ABC是等腰三角形； （2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長度．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△MON的面積為S． ① 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； ② 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S＝4的情形？ 若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由； ③在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求t的值． 例3如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，△CPQ的面積為S． ①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出m為何值時(shí)，S取得最大值； ②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸l上若存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．  例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上． （1）求拋物線的解析式； （2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； （3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．  課程小結(jié) 有針對(duì)性的對(duì)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與直角三角形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出直角三角形，并能運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 例1【規(guī)范解答】 （1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)C(0，－3)，得．所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為． （2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，代入點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)C(0，－3)，得 解得，．所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為． （3）①因?yàn)锳B＝4，所以．因?yàn)镻、Q關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．所以，． 進(jìn)而得到，點(diǎn)E的坐標(biāo)為． 直線BC:與拋物線的對(duì)稱軸x＝1的交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，－2）． 過點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H． 在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED． ②，． 【總結(jié)與反思】 1．第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結(jié)果直接影響后續(xù)的解題． 2．第（3）題的關(guān)鍵是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，反復(fù)用到數(shù)形結(jié)合，注意y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)與線段長的關(guān)系． 3．根據(jù)C、D的坐標(biāo)，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點(diǎn)E的坐標(biāo)就簡單了． 例2【規(guī)范解答】（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形． （2）①如圖2，圖3，過點(diǎn)N作NH⊥AB，垂足為H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以． 如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM＝2－t，此時(shí)．此時(shí)0＜t≤2． 如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OM＝t－2，此時(shí)．此時(shí)2＜t≤5． 圖2 圖3 ②把S＝4代入，得．解得，（舍去負(fù)值）．因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S＝4的情形，此時(shí)． ③如圖4，當(dāng)∠OMN＝90時(shí)，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得． 如圖5，當(dāng)∠MON＝90時(shí)，N與C重合，．不存在∠ONM＝90的可能． 所以，當(dāng)或者時(shí)，△MON為直角三角形． 圖4 圖5 【總結(jié)與反思】1．第（1）題說明△ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)． 2．不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含t的式子表示OM要分類討論． 3．將S＝4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程． 4．分類討論△MON為直角三角形，不存在∠ONM＝90的可能． 例3【規(guī)范解答】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線 c＝8，， 解得 b＝， c＝8 ，∴拋物線的解析式為 （2）①∵OA=8，OC=6∴過點(diǎn)Q作QE⊥BC與E點(diǎn)，則 ∴∴∴ ∴當(dāng)m=5時(shí)，S取最大值； ②在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，∵拋物線的解析式為的對(duì)稱軸為， D的坐標(biāo)為（3，8），Q（3，4）， 當(dāng)∠FDQ=90時(shí)，F(xiàn)1（ ，8），當(dāng)∠FQD=90時(shí)，則F2（ ，4）， 當(dāng)∠DFQ=90時(shí)，設(shè)F（，n），則FD2+FQ2=DQ2，即，解得：， ∴F3（ ，），F(xiàn)4（，）， 滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為 F1（ ，8），F(xiàn)2（，4），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（，）． 【總結(jié)與反思】 1. 將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可求得拋物線的解析式； 2. ①先用m 表示出QE的長度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)，化簡為頂點(diǎn)式，便可求出S的最大值； ②直接寫出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可，注意不要漏寫． 例4【規(guī)范解答】解：（1）由A（4，0），可知OA=4，∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1， ∴C（0，4），B（﹣1，0）．設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，則，解得：， 則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4； （2）存在．第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P1．過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M．∵∠ACP1=90，∴∠MCP1+∠ACO=90．∵∠ACO+∠OAC=90，∴∠MCP1=∠OAC． ∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1， 設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），則m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）． 第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2，AC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點(diǎn)F．∴P2N∥x軸，由∠CAO=45，∴∠OAP=45，∴∠FP2N=45，AO=OF．∴P2N=NF， 設(shè)P2（n，﹣n2+3n+4），則n=（﹣n2+3n+4）﹣1，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6， 則P2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）． 綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）； （3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，則AC==4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)．又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2．則﹣x2+3x+1=2，解得：x=， ∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，0）或（，0）． 【總結(jié)與反思】 （1）根據(jù)A的坐標(biāo)，即可求得OA的長，則B、C的坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； （2）分點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，和C的直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)OA=OC，即可列方程求解； （3）據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)，則DF=OC，即可求得P的縱坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)，得到P的坐標(biāo)．