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二次函數(shù)與梯形的綜合問題 知識(shí)點(diǎn) 二次函數(shù)綜合；梯形的性質(zhì)與判定；勾股定理； 教學(xué)目標(biāo) 1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問題 2．靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 教學(xué)重點(diǎn) 巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題； 教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問題； 知識(shí)講解 考點(diǎn)1 二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時(shí)才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)．當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)． 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的三種表達(dá)形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才能得出此解析式；頂點(diǎn)式：y=a（x－h(huán)）2+k，通常要知道頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點(diǎn)式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，）．對于y=a（x－h(huán)）2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)． 考點(diǎn)2 梯形的性質(zhì)及判定 1. 梯形定義：梯形是指只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊叫做梯形的底邊。不平行的兩邊叫腰；兩底之間的公垂線段叫梯形的高。梯形有無數(shù)條高。 2. 梯形的性質(zhì)： ①梯形的上下兩底平行；②梯形的中位線，平行于兩底并且等于上下底和的一半。③等腰梯形對角線相等。 3. 梯形的判定： ①一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形。 ②一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。 4. 常用輔助線 ①作高（根據(jù)實(shí)際題目確定）；②平移一腰；③平移對角線；④反向延長兩腰交于一點(diǎn)； ⑤取一腰中點(diǎn)，另一腰兩端點(diǎn)連接并延長；⑥取兩底中點(diǎn)，過一底中點(diǎn)做兩腰的平行線。 ⑦取兩腰中點(diǎn)，連接，作中位線。 5. 等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。 6. 等腰梯形性質(zhì)： ①等腰梯形的兩條腰相等。②等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。③等腰梯形的兩條對角線相等。④等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點(diǎn)的連線所在直線(過兩底中點(diǎn)的直線）。 7. 等腰梯形判定： ①兩腰相等的梯形是等腰梯形； ②同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形； ③對角線相等的梯形是等腰梯形； 8. 直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。 9. 直角梯形的性質(zhì)： 直角梯形有兩個(gè)角是直角。 10. 直角梯形的判定： 有兩個(gè)內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形。 考點(diǎn)3 探究梯形的一般思路 解答梯形的存在性問題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出梯形的分類標(biāo)準(zhǔn)，具體如下： （1）假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論。 （2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般我們會(huì)已知三個(gè)定點(diǎn)，再尋找另一點(diǎn)來構(gòu)成梯形時(shí)，我們可以先將三個(gè)定點(diǎn)連接成三角形，然后過其中一定點(diǎn)作對邊的平行線，以此類推的我們會(huì)作出三條平行線，而這三條平行線與要尋找點(diǎn)所在的線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。當(dāng)然有時(shí)條件所給的會(huì)比較苛刻，比如說讓我們尋找的點(diǎn)要滿足等腰梯形或是直角梯形的形狀，則我們會(huì)根據(jù)等腰梯形及直角梯形的性質(zhì)再去尋找。 （3）建立關(guān)系式并計(jì)算。要具體情況具體分析，通常情況下我們會(huì)利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解。例題精析 例1 已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B． （1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形． ①求點(diǎn)D的坐標(biāo)； ②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P，其對稱軸與直線y＝3x－3交于點(diǎn)E，若，求四邊形BDEP的面積．  例2如圖，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD方別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A(1，2)，過A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)． （1）求該拋物線的函數(shù)解析式； （2）點(diǎn)P為線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移的過程中與△COD重疊部分的面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由．  例3已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x＝4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B． （1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）如圖1，在直線 y＝2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN//x軸，交PB于點(diǎn)N． 將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN． 在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式． 圖1 圖2  例4 如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－1），△ABC的面積為． （1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式； （2）過y軸上的一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍； （3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 圖1  課程小結(jié) 有針對性的對勾股定理、梯形的性質(zhì)及判定、二次函數(shù)的基本知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與梯形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與梯形的綜合問題時(shí)，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出梯形，并能運(yùn)用梯形、等腰梯形或是直角梯形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。 例1【規(guī)范解答】（1）直線y＝3x－3與x軸的交點(diǎn)為A(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,－3)． 將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得 解得 所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3．對稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)為(－1,－4)． （2）①如圖2，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2,－3)． 因?yàn)镃D//AB，設(shè)直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點(diǎn)C(－2,－3)，可得b＝3．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）． ②過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得． 而DH＝7，所以PH＝3．因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，6）．所以． 圖2 圖3 【總結(jié)與反思】 1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)必須畫準(zhǔn)確，其實(shí)拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了． 2．拋物線向右平移，不變的是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，不變的是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7． 3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點(diǎn)間的垂直距離等于7，那么點(diǎn)P向右平移到直線x＝3時(shí)，就停止平移． 例2【規(guī)范解答】（1）將A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分別代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得，，． 所以． （2）如圖2，過點(diǎn)P、M分別作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′， 因此yA－y M′＝y(tǒng)P′－yB．直線OC的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，那么． 解方程，得，．x＝2的幾何意義是P與C重合，此時(shí)梯形不存在．所以． 圖2 圖3 （3）如圖3，△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，作EK⊥OD于K． 設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么OG＝1＋m，GB′＝m． 在Rt△OFG中，． 所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m， 所以．所以． 在Rt△OEK中，OK＝2 EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK； 所以O(shè)K＝4HK． 因此．所以． 所以． 于是． 因?yàn)?＜m＜1，所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為． 【總結(jié)與反思】 1．如果四邊形ABPM是等腰梯形，那么AB為較長的底邊，這個(gè)等腰梯形可以分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形，AB邊分成的3小段，兩側(cè)的線段長線段． 2．△AOB與△COD重疊部分的形狀是四邊形EFGH，可以通過割補(bǔ)得到，即△OFG減去△OEH． 3．求△OEH的面積時(shí)，如果構(gòu)造底邊OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角邊的比為1∶2． 4．設(shè)點(diǎn)A′移動(dòng)的水平距離為m，那么所有的直角三角形的直角邊都可以用m表示． 例3【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，代入A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)， 得 解得 所以二次函數(shù)的解析式為，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）． （2）由，知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）． 假設(shè)在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，2x)． 由兩點(diǎn)間的距離公式，得．解得或x＝－2． 如圖3，當(dāng)x＝－2時(shí)，四邊形ODPB是平行四邊形．所以，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形． 圖3 圖4 圖5 （3）設(shè)△PMN與△POB的高分別為PH、PG． 在Rt△PMH中，，．所以． 在Rt△PNH中，，．所以． ① 如圖4，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分的面積等于△PMN的面積．此時(shí)． ②如圖5，當(dāng)2＜t＜4時(shí)，重疊部分是梯形，面積等于△PMN的面積減去△P′DC的面積． 由于，所以． 此時(shí)． 【總結(jié)與反思】 1．第（2）題可以根據(jù)對邊相等列方程，也可以根據(jù)對角線相等列方程，但是方程的解都要排除平行四邊形的情況． 2．第（3）題重疊部分的形狀分為三角形和梯形兩個(gè)階段，臨界點(diǎn)是PO的中點(diǎn)． 例4【規(guī)范解答】（1）因?yàn)镺C＝1，△ABC的面積為，所以AB＝． 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a＋，0）． 設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)C（0，－1），得．解得或． 因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式中，，所以拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)． 因此點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，． 所以拋物線的解析式為． （2）如圖2，因?yàn)?，，所以．因此△AOC∽△COB． 所以△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，外接圓的直徑為AB． 因此m的取值范圍是≤m≤．  圖2 圖3 圖4 （3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為． ①如圖3，過點(diǎn)A作BC的平行線交拋物線于D，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E． 因?yàn)?，所以．因此．解得? 此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線于D，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F． 因?yàn)?，所以? 因此．解得．此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為． 綜上所述，當(dāng)D的坐標(biāo)為或時(shí)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形． 【總結(jié)與反思】 1．根據(jù)△ABC的面積和AB邊上的高確定AB的長，這樣就可以把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)用一個(gè)字母表示． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合，根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)確定OA、OB、OC間的數(shù)量關(guān)系，得到△AOC∽△COB，從而得到△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AB是它的外接圓直徑，再根據(jù)對稱性寫出m的取值范圍． 3．根據(jù)直角梯形的定義，很容易確定符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)，但是求點(diǎn)D的坐標(biāo)比較麻煩，根據(jù)等角的正切相等列方程相對簡單一些．