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1、 章末綜合測評(二)　隨機變量及其分布 (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列說法不正確的是(　　) A．某輛汽車一年中發(fā)生事故的次數(shù)是一個離散型隨機變量 B．正態(tài)分布隨機變量等于一個特定實數(shù)的概率為0 C．公式E(X)＝np可以用來計算離散型隨機變量的均值 D．從一副撲克牌中隨機抽取5張，其中梅花的張數(shù)服從超幾何分布 C　[公式E(X)＝np并不適用于所有的離散型隨機變量的均值的計算，適用于二項分布的均值的計算．故選C.] 2．某一供電網(wǎng)絡，有n個用電單位，每個單

2、位在一天中使用電的機會是p，供電網(wǎng)絡中一天平均用電的單位個數(shù)是(　　) 【導學號：95032222】 A．np(1－p)　　　　 B．np C．n D．p(1－p) B　[依題意知，用電單位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.] 3．設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝m，k＝1,2,3，則m的值為(　　) A. B. C. D. B　[P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.] 4．已知ξ的分布列為 ξ －1 0 1 2 P 則

3、ξ的均值為(　　) A．0 B．－1 C． D． D　[E(ξ)＝－1＋0＋1＋2＝.] 5．一道競賽題，A，B，C三人可解出的概率依次為，，，若三人獨立解答，則僅有1人解出的概率為(　　) 【導學號：95032223】 A. B. C. D．1 B　[P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.] 6．若隨機變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點的坐標是，則該隨機變量的方差等于(　　) A．10 B．100 C． D. C　[由正態(tài)分布密度曲線上的最高點知＝，即σ＝， ∴D(X)＝σ2＝.] 7．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，則E(3η＋6)

4、等于(　　) 【導學號：95032224】 A．30 B．16 C．36 D．10 C　[因為ξ～B，所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，則n＝30，所以η～B.故E(η)＝30＝10. ∴E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36] 8．如果隨機變量X～N(4,1)，則P(X≤2)等于(　　) (注：P(μ－2σ

5、正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的條件下，第二次也摸到正品的概率是(　　) A. B. C. D. D　[記“第一次摸到正品”為事件A，“第二次摸到正品”為事件B，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝.故P(B|A)＝＝.] 10．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機地抽取4個，那么概率是的事件為(　　) 【導學號：95032225】 A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的 C　[X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． ∴P(X＝1)＝，P(X

6、＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故表示恰好有2個是好的．] 11．已知隨機變量X的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 則P(X＝10)＝(　　) A. B. C. D. C　[由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知 ＋＋＋…＋＋m＝1， ∴m＝1－ ＝1－2＝＝.] 12．某商家進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費1 000元，便可以獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則商家返還中獎顧客現(xiàn)金1 000元．小王購買一套價格為2 400元的西服，只能得到2張獎券，于

7、是小王補償50元給一同事購買一件價格為600元的便服，這樣小王就得到了3張獎券．設小王這次消費的實際支出為ξ(元)，則E(ξ)等于(　　) 【導學號：95032226】 A．1 850元 B．1 720元 C．1 560元 D．1 480元 A　[P(ξ＝2 450)＝＝， P(ξ＝1 450)＝C＝， P(ξ＝450)＝C＝， P(ξ＝－550)＝C＝. E(ξ)＝2 450＋1 450＋450＋(－550)＝1 850(元)．] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上) 13．有一道數(shù)學難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決

8、的概率是，2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為________． 　[都未解決的概率為＝＝.] 14．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________. 【導學號：95032227】 　[法一(直接法)：由題意可知每次試驗不成功的概率為，成功的概率為，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝＝. 所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為 E(X)＝0＋1＋2＝

9、. 法二(公式法)：此試驗滿足二項分布，其中p＝，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2＝.] 15．據(jù)抽樣統(tǒng)計，在某市的公務員考試中，考生的綜合評分X服從正態(tài)分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的綜合評分為80分，則該考生的綜合成績在所有考生中的名次是第________名． 229　[依題意，P(60－2080)＝(1－0.954 5)≈0.022 8，故成績高于80分的考生人數(shù)為10 0000.022 8＝228(人)． 所以該生的綜合成績在所有考生中的名次是第229名．] 16．甲罐中有5個紅球，2個白

10、球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B與事件A1相互獨立； ④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件； ⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關. 【導學號：95032228】 ②④　[從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1，A2，A3中任意兩個事件不可能同時發(fā)生，即A1，A2，A3

11、兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，則P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②對③錯；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝＋＋＝，故①⑤錯誤．綜上知，正確結(jié)論的序號為②④.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求： (1)甲試跳三次，第三次才成功的概率； (2)甲、乙兩人

12、在第一次試跳中至少有一人成功的概率． [解]　記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi，依題意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1,2,3)相互獨立． (1)“甲第三次試跳才成功”為事件A3，且三次試跳相互獨立，則P( A3)＝P()P()P(A3)＝0.30.30.7＝0.063.所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063. (2)設“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C. 法一　(直接法)因為C＝A1＋B1＋A1B1，且A1，B1，A1B1彼此互斥， 所以P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P()

13、＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.70.4＋0.30.6＋0.70.6＝0.88. 法二　(間接法)P(C)＝1－P()P()＝1－0.30.4＝0.88. 所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88. 18．(本小題滿分12分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表．試對這兩名工人的技術水平進行比較. 【導學號：95032229】 X 0 1 2 P Y 0 1 2 P [解]　工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為E(X)＝0＋1＋2＝0

14、.7， D(X)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.81. 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為 E(Y)＝0＋1＋2＝0.7， D(Y)＝(0－0.7)2＋(1－0.7)2＋(2－0.7)2＝0.61. 由E(X)＝E(Y)知，兩人生產(chǎn)出次品的平均數(shù)相同，技術水平相當，但D(X)>D(Y)，可見乙的技術比較穩(wěn)定． 19．(本小題滿分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束． (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)

15、已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列． [解]　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 20.(本小題滿分12分)一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒

16、中任取3張卡片． (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望． (注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)) [解]　(1)由古典概型的概率計算公式知所求概率為 P＝＝. (2)X的所有可能值為1,2,3，且 P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 從而E(X)＝1＋2＋3＝. 21．(本小題滿分12分)現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求： (1

17、)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率. 【導學號：95032230】 [解]　設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB. (1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)＝A＝30， 根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝. (2)因為n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝. (3)法一(公式法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為 P(B|A)＝＝

18、＝. 法二：(直接法)因為n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 22．(本小題滿分12分)北京市政府為做好APEC會議接待服務工作，對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售．已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為 ，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響． (1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率； (2)如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利－80元)．已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E(ξ).

19、 【導學號：95032231】 [解]　(1)設“該海產(chǎn)品不能銷售”為事件A， 則P(A)＝1－＝. 所以，該海產(chǎn)品不能銷售的概率為. (2)由已知，可知ξ的可能取值為－320，－200，－80,40,160. P(ξ＝－320)＝＝， P(ξ＝－200)＝C＝， P(ξ＝－80)＝C＝， P(ξ＝40)＝C＝， P(ξ＝160)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ －320 －200 －80 40 160 P E(ξ)＝－320－200－80＋40＋160＝40. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375