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1、
小專題(四) 二次函數與幾何圖形綜合
1.如圖,拋物線y=x2+x-5與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C.若點E為x軸下方拋物線上的一動點,當S△ABE=S△ABC時,求點E的坐標.
解:令y=x2+x-5=0,即x2+2x-15=0,
解得x1=-5,x2=3.
∴A(-5,0),B(3,0).
∴AB=8.
令x=0,則y=-5,
∴C(0,-5).∴OC=5.
∴S△ABC=ABOC=20.
設點E到AB的距離為h,
∵S△ABE=S△ABC,∴8h=20.∴h=5.
∵點E在x軸下方,∴點E的縱坐標為-5.
當y=-5時,x2+x-5=-5.
∴x1
2、=-2,x2=0(與點C重合,舍去).
∴E(-2,-5).
2.如圖,拋物線y=-x2+x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D(2,2)是拋物線上一點,那么在拋物線的對稱軸上,是否存在一點P,使得△BDP的周長最小,若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
解:令y=-x2+x+3=0,解得x1=3,x2=-2.
∴點A的坐標為(-2,0).
連接AD,交對稱軸于點P,則P為所求的點.
設直線AD的表達式為y=kx+t.將點A,D的坐標代入,得
解得
∴直線AD的表達式為y=x+1.
∵拋物線的對稱軸為直線x=-=,
將x=代入y=x+1,得y=
3、.
∴點P的坐標為(,).
3.如圖,二次函數y=-x2+mx+n的圖象經過點A(-1,4),B(1,0),y=-x+b經過點B,且與二次函數y=-x2+mx+n交于點D.
(1)求二次函數的表達式;
(2)點N是二次函數圖象上一點(點N在BD上方),過N作NP⊥x軸,垂足為P,交BD于點M,求MN的最大值.
解:(1)∵二次函數y=-x2+mx+n的圖象經過點A(-1,4),B(1,0),
∴
解得
∴二次函數的表達式為y=-x2-2x+3.
(2)∵y=-x+b經過點B,
∴-1+b=0.解得b=.
∴y=-x+.
設M(t,-t+),則N(t,-t2-2t
4、+3),
∴MN=-t2-2t+3-(-t+)=-t2-t+=-(t+)2+.
∴MN的最大值為.
4.如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=x2-4x-5與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C.若點D是y軸上的一點,且以B,C,D為頂點的三角形與△ABC相似,求點D的坐標.
解:令y=x2-4x-5=0,
解得x1=-1,x2=5.
∴A(-1,0),B(5,0).
令x=0,則y=-5,∴C(0,-5).
∴OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45.
∴AB=6,BC=5.
要使以B,C,D為頂點的三角形與△ABC相似,需有=或=.
①當=時,CD=AB=6,∴
5、D(0,1).
②當=時,=,
∴CD=.
∴D(0,).
綜上,點D的坐標為(0,1)或(0,).
5.如圖,已知拋物線y=-x2-2x+3與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,頂點為P.若以A,C,P,M為頂點的四邊形是平行四邊形,求點M的坐標.
解:y=-x2-2x+3中,當x=0時,y=3,
∴C(0,3).
y=-x2-2x+3中,令y=0,即-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1.
∴A(-3,0),B(1,0).
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴頂點P的坐標為(-1,4).
如圖,分別過△PAC的三個頂點作對邊的平行線,三
6、條直線兩兩相交,
產生3個符合條件的點M1,M2,M3.
∵AM1∥CP,且C(0,3),P(-1,4),A(-3,0),∴M1(-4,1).
∵AM2∥PC,且P(-1,4),C(0,3),A(-3,0),∴M2(-2,-1).
∵CM3∥AP,且A(-3,0),P(-1,4),C(0,3),∴M3(2,7).
綜上所述,點M的坐標為(-4,1)或(-2,-1)或(2,7).
6.如圖,已知拋物線y=x2-x-2與x軸交于A,B兩點(點A在點B的右邊),與y軸交于點C.
(1)求點A,B,C的坐標;
(2)此拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△ACP是等腰三角形?若存在,
7、請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
解:(1)令y=0,得x2-x-2=0,
解得x1=-2,x2=4.
∴A(4,0),B(-2,0).
令x=0,得y=-2.
∴C(0,-2).
(2)存在點P,使得△ACP是等腰三角形.
設P(1,a),
則AP2=a2+9,CP2=(a+2)2+1=a2+4a+5,AC2=20.
①當AP=CP時,即a2+9=a2+4a+5,
解得a=1.∴P1(1,1);
②當CP=AC時,即a2+4a+5=20,
解得a=-2.
∴P2(1,-2+),P3(1,-2-);
③當AP=AC時,即a2+9=20,
解得a=.∴P4(1,),P5(1,-).
綜上所述,滿足條件的點P的坐標為P1(1,1),P2(1,-2+),P3(1,-2-),P4(1,),P5(1,-).
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