《高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例章末復習學案 新人教A版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三章 統(tǒng)計案例章末復習學案 新人教A版選修23（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三章 統(tǒng)計案例 章末復習 學習目標　1.會求線性回歸方程，并用回歸直線進行預報.2.理解獨立性檢驗的基本思想及實施步驟． 1．最小二乘法 對于一組數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n，如果它們線性相關(guān)，則線性回歸方程為＝x＋，其中＝＝，＝－ . 2．22列聯(lián)表 22列聯(lián)表如表所示： B 總計 A a b a＋b c d c＋d 總計 a＋c b＋d n 其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量． 3．獨立性檢驗 常用隨機變量 K2＝來檢驗兩個變量是否有關(guān)系． 類型一　回歸分析 例1　(2016全國Ⅲ改編)如圖是我國200

2、8年到2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2008～2014 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測2019年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝， 回歸方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝－ . 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28,

3、 ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89， r≈≈0.99. 因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103， ＝－≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2019年對應(yīng)的t＝12代入回歸方程得 ＝0.92＋0.1012＝2.12. 所以預測2019年我國生活垃圾無害化處理量約為2.12億噸． 反思與感悟　解決回歸分析問題的一般步驟 (1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出

4、散點圖． (2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程． (3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析． (4)實際應(yīng)用．依據(jù)求得的回歸方程解決實際問題． 跟蹤訓練1　經(jīng)分析預測，美國通用汽車等10家大公司的銷售總額xi(i＝1,2，…，10，單位：百萬美元)與利潤yi(i＝1,2，…，10，單位：百萬美元)的近似線性關(guān)系為＝0.026x＋，經(jīng)統(tǒng)計i＝623 090，i＝29 300. (1)求； (2)若通用汽車公司的銷售總額x1＝126 974(百萬美元)，殘差1＝－387，估計

5、通用汽車的利潤； (3)福特公司的銷售總額為96 933百萬美元，利潤為3 835，比較通用汽車公司與福特公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率說明了什么？(以上答案精確到個位) 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 解　(1)由i＝623 090，i＝29 300， 得樣本點中心為(62 309,2 930)， 所以＝2 930－0.02662 309≈1 310. (2)由(1)知＝0.026x＋1 310， 當x1＝126 974時， 1＝0.026126 974＋1 310≈4 611， 所以y1＝1＋1＝4 611＋(－387)＝4 224，

6、 估計通用汽車公司的利潤為4 224百萬美元． (3)由(1)(2)可得通用汽車公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為R， 則R＝1－＝1－≈0.911＝91.1%. 設(shè)福特公司利潤的解釋變量對于預報變量變化的貢獻率為R， 由＝0.026x＋1 310得 2＝0.02696 933＋1 310≈3 830， 則R＝1－＝1－≈0.999 97 ＝99.997%. 由R＜R知，用＝0.026x＋1 310作為解釋變量與預報變量的關(guān)系，預報通用汽車公司的效果沒有預報福特公司的效果好，或者說預報通用汽車公司的精確度低于預報福特公司的精確度． 類型二　獨立性檢驗 例2　奧運會

7、期間，為調(diào)查某高校學生是否愿意提供志愿者服務(wù)，用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人，結(jié)果如下： 　　　　　是否愿意提供 志愿者服務(wù) 性別　　　　　 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 (1)用分層抽樣的方法在愿意提供志愿者服務(wù)的學生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (2)你能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)？ 下面的臨界值表供參考： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841

8、 5.024 6.635 7.879 10.828 獨立性檢驗統(tǒng)計量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　分類變量與統(tǒng)計、概率的綜合性問題 解　(1)由題意，男生抽取6＝4(人)． (2)K2＝≈6.667，由于6.667＞6.635，所以能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)． 反思與感悟　獨立性檢驗問題的求解策略 (1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關(guān)性． (2)通過公式K2＝ 先計算觀測值k，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論． 跟蹤訓練

9、2　某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)，如圖所示．(說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主)． (1)根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學說明其親屬30人的飲食習慣； (2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表； 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 50歲以上 總計 (3)在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，是否能認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)”？ 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗在分類變量中的應(yīng)用 解　(1)30位親屬中50歲以

10、上的人多以食蔬菜為主，50歲以下的人多以食肉類為主． (2)22列聯(lián)表如表所示： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50歲以下 4 8 12 50歲以上 16 2 18 總計 20 10 30 (3)K2＝＝10>6.635， 故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)”． 1．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量進行線性相關(guān)檢驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 則這四位同學的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關(guān)

11、性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強．故選D. 2．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了60名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)： 作文成績優(yōu)秀 作文成績一般 總計 課外閱讀量較大 22 10 32 課外閱讀量一般 8 20 28 總計 30 30 60 由以上數(shù)據(jù)，計算得到K2的觀測值k≈9.643，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是(　　)

12、 A．沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) B．有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) C．有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) D．有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān) 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　D 解析　根據(jù)臨界值表，10.828>9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)，即有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)． 3．某化妝品公司為了增加其商品的銷售利潤，調(diào)查了該商品投入的廣告費用x與銷售利潤y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

13、 廣告費用x(萬元) 2 3 5 6 銷售利潤y(萬元) 5 7 9 11 由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸方程l：＝x＋，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.＜0 B.＜0 C．直線l過點(4,8) D．直線l過點(2,5) 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　C 解析　因為＝1.4＞0，＝－＝8－1.44＝2.4＞0，所以排除A，B；因為＝1.4x＋2.4，所以1.42＋2.4＝5.2≠5，所以點(2,5)不在直線l上，所以排除D；因為＝4，＝8，所以回歸直線l過樣本點的中心(4,8)，故選C. 4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，

14、這已經(jīng)成為全球性的威脅．為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表： 感染 未感染 總計 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 總計 30 70 100 附表： P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 參照附表，在犯錯誤的概率不超過________(填百分比)的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　5% 解析　K2的觀測值k＝≈4.762＞3.841，

15、所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“小鼠是否被感染與服用疫苗有關(guān)”． 5．對于線性回歸方程＝x＋，當x＝3時，對應(yīng)的y的估計值是17，當x＝8時，對應(yīng)的y的估計值是22，那么，該線性回歸方程是________，根據(jù)線性回歸方程判斷當x＝________時，y的估計值是38. 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案?。絰＋14　24 解析　首先把兩組值代入線性回歸方程，得 解得 所以線性回歸方程是＝x＋14. 令x＋14＝38，可得x＝24，即當x＝24時，y的估計值是38. 1.建立回歸模型的基本步驟： (1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪

16、個變量是預報變量． (2)畫出散點圖，觀察它們之間的關(guān)系． (3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型． (4)按照一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)． (5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常． 2．獨立性檢驗是利用隨機變量K2來判斷兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的方法，常用的直觀方法為等高條形圖，等高條形圖由于是等高的，因此它能直觀地反映兩個分類變量之間的差異的大小，而利用假設(shè)的思想方法，計算出某一個隨機變量K2的值來判斷更精確些． 一、選擇題 1．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 平均氣溫(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額(萬元)

17、 20 23 27 30 則該商品銷售額與平均氣溫有(　　) A．確定性關(guān)系 B．正相關(guān)關(guān)系 C．負相關(guān)關(guān)系 D．函數(shù)關(guān)系 考點　回歸分析 題點　回歸分析的概念和意義 答案　C 解析　根據(jù)春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)知，y隨x的減小而增大，是負相關(guān)關(guān)系，故選C. 2．如果K2的觀測值為8.654，可以認為“x與y無關(guān)”的可信度為(　　) A．99.5% B．0.5% C．99% D．1% 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　B 解析　∵8.654＞7.879，∴x與y無關(guān)的可信度為0.5%.

18、3．下面的等高條形圖可以說明的問題是(　　) A．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對不同的 B．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同 C．此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方 D．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握 考點　定性分析的兩類方法 題點　利用圖形定性分析 答案　D 解析　由等高條形圖可知選項D正確． 4．為了了解疾病A是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機地對入院的50人進行了問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表： 患疾病A 不患疾病A 總

19、計 男 20 5 25 女 10 15 25 總計 30 20 50 則認為疾病A與性別有關(guān)的把握約為(　　) A．95% B．99% C．99.5% D．99.9% 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　C 解析　由公式得K2＝≈8.333＞7.879，故有(1－0.005)100%＝99.5%的把握認為疾病A與性別有關(guān)． 5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x(單位：千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(單位：千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消費水平為7.

20、675千元，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為(　　) A．83% B．72% C．67% D．66% 考點　線性相關(guān)系數(shù) 題點　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　A 解析　將y＝7.675代入回歸方程，可計算得x≈9.26，所以該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為7.6759.26≈0.83，即約為83%. 6．考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到下表中的數(shù)據(jù)： 種子處理 種子未處理 總計 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 總計 93 314 407 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出(　　) A．種子是

21、否經(jīng)過處理與是否生病有關(guān) B．種子是否經(jīng)過處理與是否生病無關(guān) C．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病 D．有90%的把握認為種子經(jīng)過處理與生病有關(guān) 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　B 解析　k＝≈0.164<0.455， 即沒有充足的理由認為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān)． 7．為預測某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀察值．計算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，則y關(guān)于x的回歸方程是(　　) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.

22、＝11.47－2.62x 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　A 解析　由＝，＝－ ， 直接計算得≈2.62，≈11.47， 所以線性回歸方程為＝2.62x＋11.47. 8．若對于變量y與x的10組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R2＝0.95，又知殘差平方和為120.53，那么(yi－)2的值為(　　) A．241.06 B．2 410.6 C．253.08 D．2 530.8 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)總偏差平方和為x，根據(jù)公式R2＝1－，有0.95＝1－， ∴x＝＝2 410.6

23、，故選B. 二、填空題 9．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了________的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機誤差貢獻了剩余的________，所以氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多． 考點　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　85%　15% 解析　由相關(guān)指數(shù)R2的意義可知，R2≈0.85表明氣溫解釋了85%，而隨機誤差貢獻了剩余的15%. 10．為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行5次試驗，得到5組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根據(jù)收集

24、到的數(shù)據(jù)可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，由最小二乘法求得線性回歸方程為＝0.67x＋54.9，則y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值為______． 考點　線性回歸方程 題點　樣本點中心的應(yīng)用 答案　375 解析　由題意，得＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝30，且回歸直線＝0.67x＋54.9恒過點(，)，則＝0.6730＋54.9＝75，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5＝375. 11．在研究性別與吃零食這兩個分類變量是否有關(guān)系時，下列說法中正確的是________． ①若K2的觀測值k＝6.635，則我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系，

25、那么在100個吃零食的人中必有99人是女性； ②由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性為99%； ③由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷錯誤． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的思想 答案?、? 解析　K2的觀測值是支持確定有多大把握認為“兩個分類變量吃零食與性別有關(guān)系”的隨機變量值，所以由獨立性檢驗可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吃零食與性別有關(guān)系時，是指每進行100次這樣的推斷，平均有1次推斷

26、錯誤，故填③. 三、解答題 12．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出如表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？ 考點　線性回歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 解　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖． (2)由

27、數(shù)據(jù)，計算得：＝86， ＝＝4.5， ＝＝3.5， iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 ＝ ＝＝0.7， ＝－＝3.5－0.74.5＝0.35， 因此，所求的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35. (3)由(2)中的線性回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標準煤)． 四、探究與拓展 13．對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為＝10.47－1.3x，估計該臺機器使用________年最合算． 考點　線性回

28、歸分析 題點　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　8 解析　只要預計利潤不為負數(shù)，使用該機器就算合算，即≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺機器使用8年最合算． 14．某校高一年級理科有8個班，在一次數(shù)學考試中成績情況分析如下： 班級 1 2 3 4 5 6 7 8 大于145分人數(shù) 6 6 7 3 5 3 3 7 不大于145分人數(shù) 39 39 38 42 40 42 42 38 附：xiyi＝171，x＝204. (1)求145分以上成績y對班級序號x的線性回歸方程；(精確到0.000 1) (2)能否

29、在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系． 考點　獨立性檢驗思想的應(yīng)用 題點　獨立性檢驗與線性回歸方程、均值的綜合應(yīng)用 解　(1)＝4.5，＝5，xiyi＝171，x＝204， ＝＝ ＝－≈－0.214 3， ＝－＝5－(－0.214 3)4.5≈5.964 4， ∴線性回歸方程為＝－0.214 3x＋5.964 4. (2)K2＝＝1.8， ∵1.8<6.635，∴不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為7班與8班的成績是否優(yōu)秀(大于145分)與班級有關(guān)系． 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。