考點(diǎn)測(cè)試21　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 一、基礎(chǔ)小題 1．設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan(α＋β)的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　由題意可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝＝－3．故選A． 2．若＝－，則cosα＋sinα的值為(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　依題意得＝－(sinα＋cosα)＝－，所以cosα＋sinα＝．故選C． 3．化簡(jiǎn)cos15cos45－cos75sin45的值為(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　cos15cos45－cos75sin45＝cos15cos45－sin15sin45＝cos(15＋45)＝cos60＝，故選A． 4．下列各式中，值為的是(　　) A．2sin15cos15 B．cos215－sin215 C．2sin215－1 D．sin215＋cos215 答案　B 解析　2sin15cos15＝sin30＝，cos215－sin215＝cos30＝，2sin215－1＝－cos30＝－，sin215＋cos215＝1．故選B． 5．已知cos－x＝，則sin2x＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　解法一：因?yàn)閏os－x＝coscosx＋sinsinx＝(cosx＋sinx)＝，所以cosx＋sinx＝，cos2x＋sin2x＋2sinxcosx＝，則2sinxcosx＝－，即sin2x＝－．故選C． 解法二：sin2x＝sin－2－x＝cos2－x＝2cos2－x－1＝22－1＝－．故選C． 6．已知cosα－＋sinα＝，則sinα＋＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　因?yàn)閏osα－＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，所以sinα＋＝，所以sinα＋＝－sinα＋＝－．故選C． 7．已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，則tanβ的值為________． 答案　3 解析　tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝3． 8．求值：＝________． 答案　2 解析　原式＝ ＝＝2． 二、高考小題 9．(xx全國(guó)卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝，則sin2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　A 解析　∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝2＝，∴sin2α＝－．故選A． 10．(xx全國(guó)卷Ⅲ)若sinα＝，則cos2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝，故選B． 11．(xx全國(guó)卷Ⅱ)已知tanα－＝，則tanα＝________． 答案　 解析　tanα－＝＝＝，解方程得tanα＝． 12．(xx全國(guó)卷Ⅰ)已知α∈0，，tanα＝2，則cosα－＝________． 答案　 解析　因?yàn)棣痢?，，且tanα＝＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cosα＝，則cosα－＝cosαcos＋sinαsin＝(sinα＋cosα)＝． 13．(xx四川高考)cos2－sin2＝________． 答案　 解析　由二倍角公式易得cos2－sin2＝cos＝． 三、模擬小題 14．(xx河北唐山調(diào)研)sin47cos17＋cos47cos(90＋17)＝(　　) A．－ B． C． D． 答案　D 解析　sin47cos17＋cos47cos(90＋17)＝sin47cos17＋cos47(－sin17)＝sin(47－17)＝sin30＝．故選D． 15．(xx江西南昌一模)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sin47，cos47)，則sin(α－13)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　A 解析　由三角函數(shù)的定義可知： sinα＝＝cos47， cosα＝＝sin47， 則sin(α－13)＝sinαcos13－cosαsin13＝cos47cos13－sin47sin13＝cos(47＋13)＝cos60＝．故選A． 16．(xx廣東省際名校聯(lián)考二)若cosα＋＝，則cos－2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　D 解析　∵cosα＋＝，∴cosα＋＝sin－α＋＝sin－α＝，∴cos－2α＝1－2sin2－α＝－．故選D． 17．(xx山西長(zhǎng)治二模)已知sinα＝，α∈0，，則cos2α＋的值為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　∵sinα＝，α∈0，，∴cosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－22＝1－＝，∴cos2α＋＝－＝．故選A． 18．(xx河南洛陽(yáng)二模)已知sinα＋cosα＝，則cos4α＝________． 答案　 解析　由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，從而cos4α＝1－2sin22α＝1－22＝． 一、高考大題 1．(xx江蘇高考)已知α，β為銳角，tanα＝，cos(α＋β)＝－． (1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解　(1)因?yàn)閠anα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα． 因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 所以cos2α＝2cos2α－1＝－． (2)因?yàn)棣?，β為銳角，所以α＋β∈(0，π)． 又因?yàn)閏os(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2． 因?yàn)閠anα＝，所以tan2α＝＝－． 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－． 二、模擬大題 2．(2019河北唐山調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝Asinx＋，x∈R，且f＝． (1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈0，，求f－θ的值． 解　(1)由f＝，即Asin＋＝， 可得Asin＝＝，解得A＝3． (2)由f(θ)－f(－θ)＝3sinθ＋－3sin－θ＋＝3sinθ＝，解得sinθ＝． 因?yàn)棣取?，，所以cosθ＝＝， 所以f－θ＝3sin－θ＝3cosθ＝3＝． 3．(xx合肥質(zhì)檢)已知coscos＝－，α∈，求： (1)sin2α； (2)tanα－． 解　(1)coscos ＝cossin＝sin＝－， 即sin＝－． 又因?yàn)棣痢?，?α＋∈， 從而cos＝－， 所以sin2α＝sin2α＋－＝sincos－cossin＝． (2)∵α∈，，∴2α∈，π． 又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－， ∴tanα－＝－＝＝＝－2＝2． 或者由(1)知2α＋＝，所以α＝，所以sin2α＝sin＝，cos2α＝cos＝－，所以tanα－＝－＝＝＝2． 4．(xx山東桓臺(tái)第二中學(xué)4月月考)已知函數(shù)f(x)＝a＋2cos2cos(x＋θ)為奇函數(shù)，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值； (2)若α∈，π，f＋＋cosα＋cos2α＝0，求cosα－sinα的值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝a＋2cos2cos(x＋θ)是奇函數(shù)，所以a＋2cos2cos(x＋θ)＝－a＋2cos2cos(－x＋θ)， 化簡(jiǎn)，整理得，cosxcosθ＝0，則有cosθ＝0， 由θ∈(0，π)，得θ＝， 所以f(x)＝－sinxa＋2cos2． 由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1． (2)由(1)知f(x)＝－sin2x， f＋＋cosα＋cos2α＝0? sinα＋＝cosα＋cos2α， 因?yàn)閏os2α＝sin2α＋＝sin2α＋ ＝2sinα＋cosα＋， 所以sinα＋＝cos2α＋sinα＋． 又α∈，π， 所以sinα＋＝0或cos2α＋＝． 由sinα＋＝0?α＝， 所以cosα－sinα＝cos－sin＝－； 由cos2α＋＝，<α＋<， 得cosα＋＝－?(cosα－sinα) ＝－?cosα－sinα＝－． 綜上，cosα－sinα＝－或cosα－sinα＝－． 5．(xx廣西南寧質(zhì)檢)已知f(x)＝sin2x－2sinsin． (1)若tanα＝2，求f(α)的值； (2)若x∈，求f(x)的取值范圍． 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sincos＝＋sin2x＋sin ＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x ＝(sin2x＋cos2x)＋． 由tanα＝2，得sin2α＝＝＝， cos2α＝＝＝－， 所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝． (2)由(1)得，f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋ ＝sin＋． 由x∈，得≤2x＋≤． 所以－≤sin≤1,0≤f(x)≤， 所以f(x)的取值范圍是．