2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx
《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx(14頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
2.2.1 橢圓的標準方程 學習目標 1.了解橢圓的實際背景,經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標準方程的推導與化簡過程.2.掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形. 知識點一 橢圓的定義 1.我們把平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距. 2.橢圓的定義用集合語言敘述為: P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}. 3.2a與|F1F2|的大小關系所確定的點的軌跡如下表: 條件 結論 2a>|F1F2| 動點的軌跡是橢圓 2a=|F1F2| 動點的軌跡是線段F1F2 2a<|F1F2| 動點不存在,因此軌跡不存在 知識點二 橢圓的標準方程 1.橢圓標準方程的兩種形式 焦點位置 標準方程 焦點 焦距 焦點在x軸上 +=1(a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) 2c 焦點在y軸上 +=1(a>b>0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c 2.橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系 橢圓在坐標系中的位置 標準方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦點坐標 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的關系 b2=a2-c2 3.根據方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標 判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些,即“誰大在誰上”.如方程為+=1的橢圓,焦點在y軸上,而且可求出焦點坐標F1(0,-1),F2(0,1),焦距|F1F2|=2. 1.到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓.( ) 2.橢圓標準方程只與橢圓的形狀、大小有關,與位置無關.( ) 3.橢圓的兩種標準形式中,雖然焦點位置不同,但都具備a2=b2+c2.( √ ) 題型一 橢圓定義的應用 例1 點P(-3,0)是圓C:x2+y2-6x-55=0內一定點,動圓M與已知圓相內切且過P點,判斷圓心M的軌跡. 解 方程x2+y2-6x-55=0化成標準形式為(x-3)2+y2=64,圓心為(3,0),半徑r=8.因為動圓M與已知圓相內切且過P點,所以|MC|+|MP|=r=8,根據橢圓的定義,動點M到兩定點C,P的距離之和為定值8>6=|CP|, 所以動點M的軌跡是橢圓. 反思感悟 橢圓是在平面內定義的,所以“平面內”這一條件不能忽視. 定義中到兩定點的距離之和是常數,而不能是變量. 常數(2a)必須大于兩定點間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件. 跟蹤訓練1 下列命題是真命題的是________.(將所有真命題的序號都填上) ①已知定點F1(-1,0),F2(1,0),則滿足|PF1|+|PF2|=的點P的軌跡為橢圓; ②已知定點F1(-2,0),F2(2,0),則滿足|PF1|+|PF2|=4的點P的軌跡為線段; ③到定點F1(-3,0),F2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓. 答案?、? 解析?、?2,故點P的軌跡不存在;②因為|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以點P的軌跡是線段F1F2;③到定點F1(-3,0),F2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸). 題型二 求橢圓的標準方程 例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程. (1)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0); (2)兩個焦點的坐標分別是(0,-2),(0,2),并且橢圓經過點; (3)經過點P,Q. 考點 橢圓標準方程的求法 題點 待定系數法求橢圓的標準方程 解 (1)因為橢圓的焦點在y軸上, 所以設它的標準方程為+=1(a>b>0). 又橢圓經過點(0,2)和(1,0), 所以所以 所以所求的橢圓的標準方程為+x2=1. (2)因為橢圓的焦點在y軸上, 所以設它的標準方程為+=1(a>b>0), 由橢圓的定義知, 2a=+ =2, 即a=, 又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求橢圓的標準方程為+=1. (3)方法一?、佼敊E圓焦點在x軸上時,可設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0). 依題意,有解得 由a>b>0,知不合題意,故舍去; ②當橢圓焦點在y軸上時,可設橢圓的標準方程為 +=1(a>b>0). 依題意,有解得 所以所求橢圓的標準方程為+=1. 方法二 設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 則解得 所以所求橢圓的方程為5x2+4y2=1, 故橢圓的標準方程為+=1. 反思感悟 求橢圓標準方程的方法 (1)定義法:根據橢圓定義,確定a2,b2的值,結合焦點位置寫出橢圓方程. (2)待定系數法:先判斷焦點位置,設出標準方程形式,最后由條件確定待定系數即可.即“先定位,后定量”. 當所求橢圓的焦點位置不能確定時,應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論,但要注意a>b>0這一條件. (3)當已知橢圓經過兩點,求橢圓的標準方程時,把橢圓的方程設成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有兩個優(yōu)點:①列出的方程組中分母不含字母;②不用討論焦點所在的位置,從而簡化求解過程. 跟蹤訓練2 求適合下列條件的橢圓的標準方程. (1)橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(-4,0),F2(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10; (2)橢圓過點(3,2),(5,1); (3)橢圓的焦點在x軸上,且經過點(2,0)和點(0,1). 解 (1)設其標準方程為+=1(a>b>0). 則2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9, ∴所求橢圓的標準方程為+=1. (2)設橢圓的一般方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), 則解得 故所求橢圓的標準方程為+=1. (3)設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0). 則解得 ∴所求橢圓的標準方程為+y2=1. 題型三 橢圓中焦點三角形問題 例3 (1)已知P是橢圓+=1上的一點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,且∠F1PF2=30,求△F1PF2的面積; (2)已知橢圓+=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上.若|PF1|=4,求∠F1PF2的大?。? 解 (1)由橢圓的標準方程,知a=,b=2, ∴c==1,∴|F1F2|=2. 又由橢圓的定義,知|PF1|+|PF2|=2a=2. 在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos30, 即4=20-(2+)|PF1||PF2|, ∴|PF1||PF2|=16(2-). ∴=|PF1||PF2|sin∠F1PF2 =16(2-)=8-4. (2)由+=1,知a=3,b=,∴c=, ∴|PF2|=2a-|PF1|=2, ∴cos∠F1PF2==-, 又∵0<∠F1PF2<180, ∴∠F1PF2=120. 反思感悟 在橢圓中,當橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時,這個點與橢圓的兩個焦點可以構成一個三角形,這個三角形就是焦點三角形.這個三角形中一條邊長等于焦距,另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數. 在處理橢圓中的焦點三角形問題時,可結合橢圓的定義|MF1|+|MF2|=2a及三角形中的有關定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解. 跟蹤訓練3 已知兩定點F1(-1,0),F2(1,0),動點P滿足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|. (1)求點P的軌跡方程; (2)若∠F1PF2=60,求△PF1F2的面積. 解 (1)依題意知|F1F2|=2, |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2=|F1F2|, ∴點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓, 且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,b=, 故所求點P的軌跡方程為+=1. (2)設m=|PF1|,n=|PF2|,則m+n=2a=4. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2, ∴4=(m+n)2-2mn(1+cos60),解得mn=4. ∴=mnsin∠F1PF2=4sin60=. 待定系數法求橢圓的標準方程 典例 求焦點在坐標軸上,且經過兩點(2,-)和的橢圓的標準方程. 考點 橢圓標準方程的求法 題點 待定系數法求橢圓的標準方程 解 方法一 若焦點在x軸上,設橢圓的標準方程為 +=1(a>b>0). 由已知條件得 解得 所以所求橢圓的標準方程為+=1. 若焦點在y軸上,設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0). 由已知條件得 解得 則a2- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓的標準方程學案含解析新人教B版選修2-1 2020 高中數學 第二 圓錐曲線 方程 2.2 橢圓 標準 解析 新人 選修
裝配圖網所有資源均是用戶自行上傳分享,僅供網友學習交流,未經上傳用戶書面授權,請勿作他用。
鏈接地址:http://www.hcyjhs8.com/p-3859829.html