考點(diǎn)測(cè)試20　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì) 高考概覽 考綱研讀 1．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫(huà)出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響 2．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 一、基礎(chǔ)小題 1．要得到函數(shù)f(x)＝cos2x－的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2x的圖象(　　) A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　A 解析　由f(x)＝cos2x－＝cos2x－，可知將y＝cos2x圖象向右平移個(gè)單位可得f(x)＝cos2x－的圖象．故選A． 2．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin 答案　A 解析　由題圖可知，函數(shù)y＝f(x)的最小正周期為T(mén)＝＝4＝π，所以ω＝2，又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以sin＝1，則＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函數(shù)f(x)＝sin．故選A． 3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線(xiàn)y＝2所得線(xiàn)段長(zhǎng)為，則f的值是(　　) A．－ B． C．1 D． 答案　D 解析　由已知得f(x)的最小正周期為，則＝，所以ω＝2，f(x)＝tan2x，所以f＝tan＝． 4．將函數(shù)y＝3sin2x＋的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　) A．在區(qū)間，上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間，上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間－，上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間－，上單調(diào)遞增 答案　B 解析　函數(shù)y＝3sin2x＋的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為y＝3sin2x－＋＝3sin2x－．令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故y＝3sin2x－在區(qū)間＋kπ，＋kπ(k∈Z)上單調(diào)遞增，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增．A錯(cuò)誤，B正確．令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，C，D錯(cuò)誤．故選B． 5．若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直線(xiàn)x＝是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列各式中符合條件的解析式是(　　) A．y＝4sin4x＋ B．y＝2sin2x＋＋2 C．y＝2sin4x＋＋2 D．y＝2sin4x＋＋2 答案　D 解析　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小值是0，排除A；最小正周期是，排除B；將x＝代入y＝2sin4x＋＋2，得y＝2sin＋＋2＝2sin－＋2＝2－．而2－既不是y＝2sin4x＋＋2的最大值，也不是最小值，排除C．故選D． 6．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為(　　) A．2－ B．0 C．－1 D．－1－ 答案　A 解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2，∴函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為2－．故選A． 7．已知ω>0,0<φ<π，直線(xiàn)x＝和x＝是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸，則φ＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由題意可知函數(shù)f(x)的周期T＝2－＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，將x＝代入可得φ＝kπ＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝．故選A． 8．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對(duì)任意x都有f＝f，則f＝________． 答案　2 解析　函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對(duì)任意x都有f＋x＝f－x，則其對(duì)稱(chēng)軸為x＝，所以f＝2． 二、高考小題 9．(xx天津高考)將函數(shù)y＝sin2x＋的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　) A．在區(qū)間，上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間，π上單調(diào)遞減 C．在區(qū)間，上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間，2π上單調(diào)遞減 答案　A 解析　將y＝sin2x＋的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝sin2x－＋＝sin2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以y＝sin2x的遞增區(qū)間為kπ－，kπ＋(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，y＝sin2x在，上單調(diào)遞增，故選A． 10．(xx全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線(xiàn)C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 B．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線(xiàn)C2 答案　D 解析　y＝sin2x＋＝cos2x＋－＝cos2x＋＝cos2x＋，由y＝cosx的圖象得到y(tǒng)＝cos2x的圖象，需將曲線(xiàn)C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變；由y＝cos2x的圖象得到y(tǒng)＝cos2x＋的圖象，需將y＝cos2x的圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．故選D． 11．(xx天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 答案　A 解析　∵f＝2，f＝0，f(x)的最小正周期大于2π，∴＝－＝，得T＝3π，則ω＝＝．又f＝2sin＋φ＝2，∴sin＋φ＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z．∵|φ|＜π，∴φ＝．故選A． 12．(xx北京高考)將函數(shù)y＝sin圖象上的點(diǎn)P向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P′．若P′位于函數(shù)y＝sin2x的圖象上，則(　　) A．t＝，s的最小值為 B．t＝，s的最小值為 C．t＝，s的最小值為 D．t＝，s的最小值為 答案　A 解析　點(diǎn)P在函數(shù)y＝sin的圖象上，∴t＝sin＝．函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)y＝sin2x的圖象，故s的最小值為． 13．(xx北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx－(ω>0)．若f(x)≤f對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵f(x)≤f對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，∴f＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋，k∈Z．又ω>0，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ω取得最小值． 14．(xx江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)－<φ<的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，則φ的值是________． 答案?。? 解析　∵函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，∴x＝時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，∴sin＋φ＝1．∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又－<φ<，∴φ＝－． 三、模擬小題 15．(xx福州期末)將函數(shù)y＝2sinx＋cosx的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(　　) A．y＝sinx－2cosx B．y＝2sinx－cosx C．y＝－sinx＋2cosx D．y＝－2sinx－cosx 答案　D 解析　因?yàn)閥＝2sinx＋cosx＝sin(x＋φ)，tanφ＝，所以函數(shù)f(x)＝2sinx＋cosx的周期為2π．從而將其圖象向右平移個(gè)周期后，有f(x－π)＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sinx－cosx，故選D． 16．(xx佛山模擬)已知x0＝是函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A．， B．， C．，π D．，π 答案　B 解析　由題意得sin2＋φ＝1，解得φ＝2kπ－，k∈Z．不妨取φ＝－，此時(shí)f(x)＝sin2x－，令2kπ＋<2x－<2kπ＋，得kπ＋<x<kπ＋．取k＝0，得函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，． 17．(xx長(zhǎng)沙統(tǒng)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分圖象如圖所示，則f(0)＝(　　) A． B． C． D．1 答案　D 解析　T＝＝4－＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f＝2sin＋φ＝－2，所以sin＋φ＝－1，所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin2x＋．所以f(0)＝2sin＝1．故選D． 18．(xx太原三模)已知函數(shù)f(x)＝2cos＋φ的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(2,0)，且f(1)>f(3)，要得到函數(shù)f(x)的圖象，可將函數(shù)y＝2cos的圖象(　　) A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　A 解析　由題意＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，所以可取φ＝－．f(x)＝2cos－滿(mǎn)足f(1)>f(3)．所以可將y＝2cos的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到f(x)＝2cos－的圖象．故選A． 19．(xx合肥質(zhì)檢二)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為且f＝0，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．ω＝2 B．函數(shù)y＝f(x－π)為偶函數(shù) C．函數(shù)f(x)在－π，－上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱(chēng) 答案　C 解析　依題意，有＝＝，則ω＝．又f＝2sin＋φ＝0，得＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)，且0<φ<π，故φ＝．從而f(x)＝2sinx＋，由x＋∈－＋2kπ，＋2kπ得x∈－＋3kπ，－＋3kπ(k∈Z)，知f(x)在－＋3kπ，－＋3kπ(k∈Z)上單調(diào)遞增，而－π，－?－＋3kπ，－＋3kπ．f(x－π)＝2sinx是奇函數(shù)．當(dāng)x＝時(shí)，f(x)＝2sin＋＝2cos＝－1．故選C． 20．(xx衡陽(yáng)二模)已知ω>0，a>0，f(x)＝asinωx＋acosωx，g(x)＝2cosax＋，h(x)＝．這3個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＋h(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可以為(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 答案　C 解析　因?yàn)閒(x)＝asinωx＋acosωx＝2asinωx＋，g(x)＝2cosax＋，又由函數(shù)圖象可知，三個(gè)函數(shù)的最大值均為2，可得a＝1，所以f(x)＝2sinωx＋，g(x)＝2cosx＋．由h(x)＝，可知h(x)在x＝處無(wú)定義，從而圖象有空心點(diǎn)的為h(x)的圖象．又當(dāng)x＝－時(shí)，g(x)＝2，從而y軸左側(cè)圖象在最上面的為g(x)的圖象．g(x)的最小正周期為2π，則由圖象可知，f(x)的最小正周期為π，得ω＝2．h(x)＝＝＝2sinx＋．那么函數(shù)g(x)＋h(x)＝2cosx＋＋2sinx＋＝2sinx＋＋＝2sinx＋．令x＋＝＋kπ(k∈Z)，可得對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝－2時(shí)，可得x＝－．故選C． 一、高考大題 1．(xx北京高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－－2sinxcosx． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥－． 解　(1)f(x)＝cos2x＋sin2x－sin2x ＝sin2x＋cos2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)證明：因?yàn)椋躼≤，所以－≤2x＋≤， 所以sin≥sin＝－， 所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥－． 2．(xx山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx－＋sinωx－，其中0<ω<3．已知f＝0． (1)求ω； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在－，上的最小值． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sinωx－＋sinωx－， 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ＝sinωx－cosωx＝sinωx－cosωx ＝sinωx－． 由題設(shè)知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z． 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2． (2)由(1)得f(x)＝sin2x－， 所以g(x)＝sinx＋－＝sinx－． 因?yàn)閤∈－，，所以x－∈－，， 當(dāng)x－＝－，即x＝－時(shí)， g(x)取得最小值－． 3．(xx湖北高考)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式； (2)將y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象．若y＝g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，求θ的最小值． 解　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A＝5，ω＝2，φ＝－． 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： ωx＋φ 0 π 2π x Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0 且函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝5sin． (2)由(1)知f(x)＝5sin， 則g(x)＝5sin． 因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的對(duì)稱(chēng)中心為(kπ，0)，k∈Z． 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z． 由于函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)， 所以令＋－θ＝，k∈Z， 解得θ＝－，k∈Z． 由θ>0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值． 二、模擬大題 4．(xx合肥質(zhì)檢三)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，可以得到函數(shù)y＝cos2x的圖象． (1)求f(x)的解析式； (2)比較f(1)與f(π)的大?。? 解　(1)將函數(shù)y＝cos2x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)y＝cos4x的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝cos4x－＝cos4x－的圖象，即f(x)＝cos4x－． (2)f(π)＝cos4π－＝cos， 而f(1)＝cos4－．因?yàn)?lt;4－<π， 所以f(1)<0<f(π)，即f(1)<f(π)． 5．(xx山東天成第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin8xcos4xsin4x＋－cos8xsin4x(sin4x＋cos4x)． (1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間－，上的最值． 解　(1)f(x)＝2sin8xcos4xsin4x＋－cos8xsin4xsin4x＋cos4x ＝2sin8xcos4xsin4x＋cos4x－cos8xsin4x(sin4x＋cos4x) ＝sin8xcos4x(sin4x＋cos4x)－cos8xsin4x(sin4x＋cos4x) ＝(sin4x＋cos4x)(sin8xcos4x－cos8xsin4x) ＝(sin4x＋cos4x)sin(8x－4x) ＝(sin4x＋cos4x)sin4x ＝sin24x＋sin4xcos4x ＝＋sin8x ＝sin8x－cos8x＋ ＝sin8x－＋． 令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)由(1)得f(x)＝sin8x－＋． 因?yàn)閤∈－，， 所以8x－∈－，． 故sin8x－∈－1，． 所以－1＋≤sin8x－＋≤， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間－，上的最大值為，最小值為－1＋． 6．(xx長(zhǎng)沙模擬)為迎接夏季旅游旺季的到來(lái)，少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個(gè)專(zhuān)門(mén)安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很?chē)?yán)重，為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)客棧入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律： ①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同； ②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人； ③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多． (1)試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系； (2)請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？ 解　(1)設(shè)該函數(shù)為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根據(jù)條件①，可知這個(gè)函數(shù)的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故該函數(shù)的振幅為200； 由③可知，f(x)在[2,8]上單調(diào)遞增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500． 根據(jù)上述分析可得，＝12，故ω＝， 且解得 根據(jù)分析可知，當(dāng)x＝2時(shí)f(x)最小， 當(dāng)x＝8時(shí)f(x)最大， 故sin2＋φ＝－1，且sin8＋φ＝1． 又因?yàn)?<|φ|<π，故φ＝－． 所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系式為 f(x)＝200sinx－＋300． (2)由條件可知，200sinx－＋300≥400， 化簡(jiǎn)得sinx－≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z． 因?yàn)閤∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10． 即只有6,7,8,9,10五個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物．