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第八章　概率與統(tǒng)計 考點測試51　隨機事件的概率 高考概覽 考綱研讀 1．了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別 2．了解兩個互斥事件的概率加法公式 一、基礎(chǔ)小題 1．從一批產(chǎn)品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，下列事件是互斥事件的是(　　) ①恰好有1件次品和恰好有兩件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 答案　D 解析　根據(jù)互斥事件概念可知選D． 2．下列說法： ①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性大小； ②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率； ③百分率是頻率，但不是概率； ④頻率是不能脫離n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值； ⑤頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值． 其中正確的是(　　) A．①②③④ B．①④⑤ C．①②③④⑤ D．②③ 答案　B 解析　由概率的相關(guān)定義知①④⑤正確．故選B． 3．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0．65，P(B)＝0．2，P(C)＝0．1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(　　) A．0．7 B．0．65 C．0．35 D．0．3 答案　C 解析　事件“抽到的不是一等品”與事件A是對立事件，由于P(A)＝0．65，所以由對立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0．65＝0．35．選C． 4．甲、乙兩位同學(xué)在國際象棋比賽中，和棋的概率為，乙同學(xué)獲勝的概率為，則甲同學(xué)不輸?shù)母怕适?　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因為乙獲勝的概率為，所以甲不輸?shù)母怕蕿?－＝．故選D． 5．正三棱錐A－BCD的所有棱長均相等，從此三棱錐6條棱的中點中任意選3個點連成三角形，再把剩下的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于(　　) A．0 B． C． D．1 答案　D 解析　從三棱錐6條棱的中點中任意選3個點能組成兩類三角形：一類是等邊三角形，另一類是等腰三角形．若任意選3個點連成等邊三角形，則剩下的3個點也是等邊三角形，且它們?nèi)?；若任意選3個點連成等腰三角形，則剩下的3個點也是等腰三角形，且它們?nèi)龋@是必然事件，其概率為1．故選D． 6．設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若事件A與事件B是對立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“3次出現(xiàn)正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要條件． 7．一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6．將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字不小于4”，則(　　) A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件 C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件 答案　D 解析　A∩B＝{出現(xiàn)數(shù)字1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件．故選D． 8．對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 解析　設(shè)I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事件．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件． 二、高考小題 9．(xx全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0．45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0．15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0．3 B．0．4 C．0．6 D．0．7 答案　B 解析　設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，事件C為既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因為P(A)＝0．45，P(C)＝0．15，所以P(B)＝0．4．故選B． 10．(xx上海高考)有編號互不相同的五個砝碼，其中5克、3克、1克砝碼各一個，2克砝碼兩個，從中隨機選取三個，則這三個砝碼的總質(zhì)量為9克的概率是________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)． 答案　 解析　記5克、3克、1克砝碼分別為5，3，1，兩個2克砝碼分別為2a，2b，則從這五個砝碼中隨機選取三個，有以下選法：(5，3，1)，(5，3，2a)，(5，3，2b)，(5，1，2a)，(5，1，2b)，(5，2a，2b)，(3，1，2a)，(3，1，2b)，(3，2a，2b)，(1，2a，2b)，共10種，其中滿足三個砝碼的總質(zhì)量為9克的有(5，3，1)，(5，2a，2b)，共2種，故所求概率P＝＝． 11．(xx江蘇高考)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________． 答案　 解析　記兩只黃球為黃A與黃B，從而所有的摸球結(jié)果為：(白、紅)，(紅、黃A)，(紅、黃B)，(白、黃A)，(白、黃B)，(黃A、黃B)，共6種情況，其中顏色不同的有5種情況，則所求概率P＝． 12．(xx四川高考)從2，3，8，9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________． 答案　 解析　所有的基本事件有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12個，記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A，則事件A包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2個，∴P(A)＝＝． 三、模擬小題 13．(2019福建泉州模擬)從含有質(zhì)地均勻且大小相同的2個紅球、n個白球的口袋中隨機取出一球，若取到紅球的概率是，則取得白球的概率等于(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　取得紅球與取得白球為對立事件，∴取得白球的概率P＝1－＝．故選C． 14．(xx河南新鄉(xiāng)二模)已知隨機事件A，B發(fā)生的概率滿足條件P(A∪B)＝，某人猜測事件∩發(fā)生，則此人猜測正確的概率為(　　) A．1 B． C． D．0 答案　C 解析　∵事件∩與事件A∪B是對立事件，∴事件∩發(fā)生的概率為P(∩)＝1－P(A∪B)＝1－＝，則此人猜測正確的概率為．故選C． 15．(xx湖南郴州第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左邊的概率是(　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6種，其中甲排在左邊的站法為2種，∴甲排在左邊的概率是＝．故選D． 16．(xx福建漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當(dāng)然不會是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響，∴這三個人獲得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是．故選B． 17．(xx云南昆明質(zhì)檢)中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙奪得冠軍的概率為，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________． 答案　 解析　由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝． 一、高考大題 1．(xx全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率． 解　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0．6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0．6． (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6450－4450＝900； 若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6300＋2(450－300)－4450＝300； 若最高氣溫低于20，則Y＝6200＋2(450－200)－4450＝－100，所以，Y的所有可能值為900，300，－100． Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0．8，因此Y大于零的概率的估計值為0．8． 2．(xx全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出 險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0．85a a 1．25a 1．5a 1．75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”．求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值． 解　(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2． 由所給數(shù)據(jù)知一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0．55，故P(A)的估計值為0．55． (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4．由所給數(shù)據(jù)知一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0．3，故P(B)的估計值為0．3． (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0．85a a 1．25a 1．5a 1．75a 2a 頻率 0．30 0．25 0．15 0．15 0．10 0．05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為 0．85a0．30＋a0．25＋1．25a0．15＋1．5a0．15＋1．75a0．10＋2a0．05＝1．1925a． 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1．1925a． 二、模擬大題 3．(xx河南洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0．1 0．16 0．3 0．3 0．1 0．04 求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？ (2)至少3人排隊等候的概率是多少？ 解　記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥． (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C， 所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56． (2)解法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44． 解法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0．44． 4．(xx山西太原一模)某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)如下：質(zhì)量不超過1 kg的包裹收費10元；質(zhì)量超過1 kg的包裹，除1 kg收費10元之外，超過1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg計算)需再收5元． 該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表： 包裹件數(shù)范圍 0～ 100 101～ 200 201～ 300 301～ 400 401～ 500 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 (1)某人打算將A(0．3 kg)，B(1．8 kg)，C(1．5 kg)三件禮物隨機分成兩個包裹寄出，求該人支付的快遞費不超過30元的概率； (2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用．前臺工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺有工作人員3人，那么公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤是否更有利？ 解　(1)由題意，寄出方式有以下三種可能： 所有3種可能中，有1種可能快遞費未超過30元，根據(jù)古典概型概率計算公式，所求概率為． (2)由題目中的天數(shù)得出頻率，如下： 包裹件數(shù)范圍 0～ 100 101～ 200 201～ 300 301～ 400 401～ 500 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 天數(shù) 6 6 30 12 6 頻率 0．1 0．1 0．5 0．2 0．1 若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下： 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 350 450 頻率 0．1 0．1 0．5 0．2 0．1 平均攬件數(shù) 500．1＋1500．1＋2500．5＋3500．2＋4500．1＝260 故公司每日利潤為2605－3100＝1000(元)； 若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下： 包裹件數(shù)(近似處理) 50 150 250 350 450 實際攬件數(shù) 50 150 250 300 300 頻率 0．1 0．1 0．5 0．2 0．1 平均攬件數(shù) 500．1＋1500．1＋2500．5＋3000．2＋3000．1＝235 故公司平均每日利潤為2355－2100＝975(元)． 綜上，公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利． 5．(xx河北石家莊質(zhì)檢)交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表： 交強險浮動因素和浮動費率比率表 浮動因素 浮動比率 A1 上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% A2 上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% A3 上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% A4 上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 上浮10% A6 上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格： 類型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 (1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率； (2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車．假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元，且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題： ①若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選兩輛車，求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率； ②若該銷售商一次購進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求一輛車盈利的平均值． 解　(1)一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為＝． (2)①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的六輛該品牌車齡已滿三年的二手車有兩輛事故車，設(shè)為b1，b2，四輛非事故車設(shè)為a1，a2，a3，a4．從六輛車中隨機挑選兩輛車共有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，總共15種情況． 其中兩輛車恰好有一輛事故車共有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，總共8種情況． 所以該顧客在店內(nèi)隨機挑選的兩輛車恰好有一輛事故車的概率為． ②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進(jìn)120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車80輛，所以一輛車盈利的平均值為[(－5000)40＋1000080]＝5000元．