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考點測試58 不等式選講
高考概覽
考綱研讀
1．理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：
|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；
|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)
2．會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
|ax＋b|≤c；
|ax＋b|≥c；
|x－c|＋|x－b|≥a
3．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法
一、基礎小題
1．不等式1<|x＋1|<3的解集為( )
A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4)
C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2)
答案 D
解析 由－3
的解集是( )
A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案 A
解析 由|t|>t知t<0，故<0，其解集為00，下面四個不等式中，正確的是( )
①|(zhì)a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|．
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
答案 C
解析 ∵ab>0，即a，b同號，則|a＋b|＝|a|＋|b|，
∴①④正確，②③錯誤．選C．
4．若|mx－1|<3的解集為(－1，2)，則m的值是( )
A．2或－4 B．2或－1
C．2或－4或－1 D．2
答案 D
解析 由方程的思想，知－1和2是方程|mx－1|＝3的兩個根，∴|m(－1)－1|＝3，解得m＝2或m＝－4；
|2m－1|＝3，解得m＝2或m＝－1，故m＝2．選D．
5．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集為________．
答案
解析 |2x＋1|－2|x－1|>0?|2x＋1|>2|x－1|
?(2x＋1)2>4(x－1)2?12x>3?x>，
∴原不等式的解集為xx>．
6．若不等式|x－1|＋|x＋3|>a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．
答案 (－∞，4)
解析 由題意知(|x－1|＋|x＋3|)min>a．因為|x－1|＋|x＋3|≥|(x－1)－(x＋3)|＝4(當－3≤x≤1時取等號)，所以a<4．
二、高考小題
7．(xx山東高考)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1，4) D．(1，5)
答案 A
解析 ①當x<1時，原不等式等價于1－x－(5－x)<2，即－4<2，∴x<1；
②當1≤x≤5時，原不等式等價于x－1－(5－x)<2，即x<4，∴1≤x<4；
③當x>5時，原不等式等價于x－1－(x－5)<2，即4<2，無解．
綜合①②③知x<4．選A．
8．(xx重慶高考)若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實數(shù)a＝________．
答案?。?或4
解析 當a≤－1時，f(x)＝
∴f(x)min＝－a－1，∴－a－1＝5，∴a＝－6；
當a>－1時，f(x)＝
∴f(x)min＝a＋1，∴a＋1＝5，∴a＝4．
綜上，a＝－6或a＝4．
三、模擬小題
9．(xx山東德州模擬)若關于x的不等式|x－2|＋|x＋3|1的解集；
(2)若x∈(0，1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)>1的解集為xx>．
(2)當x∈(0，1)時|x＋1|－|ax－1|>x成立等價于當x∈(0，1)時|ax－1|<1成立．
若a≤0，則當x∈(0，1)時，|ax－1|≥1，不符合題意；
若a>0，|ax－1|<1的解集為00，b>0，a3＋b3＝2．證明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2．
證明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4．
(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2．
二、模擬大題
6．(xx河南豫南九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－3|．
(1)若關于x的不等式f(x)f(x)min，
f(x)＝繪制函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，觀察函數(shù)的圖象，可得實數(shù)a的取值范圍是(4，＋∞)．
解法二：f(x)＝|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，當且僅當－1≤x≤3時，f(x)取得最小值4．
關于x的不等式f(x)4，即實數(shù)a的取值范圍是(4，＋∞)．
(2)由題意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，據(jù)此有a＝＋1＋－3＝5，求解絕對值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得－1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求證：abc≥8．
解 (1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝|x－1|－|x－2|＝則－1≤f(x)≤1，
由于?x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M＝{u|u≤1}．
(2)證明：由(1)知t＝1，則(a－1)(b－1)(c－1)＝1，
因為a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
則a＝(a－1)＋1≥2>0(當且僅當a＝2時等號成立)，
b＝(b－1)＋1≥2>0(當且僅當b＝2時等號成立)，
c＝(c－1)＋1≥2>0(當且僅當c＝2時等號成立)，
則abc≥8＝8(當且僅當a＝b＝c＝2時等號成立)．
10．(xx河南鄭州二模)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a．
(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝0時，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，兩邊平方整理得3x2＋4x＋1≥0，
解得x≤－1或x≥－，
∴原不等式的解集為(－∞，－1]∪－，＋∞．
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|－|x|，
令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
則h(x)＝
故h(x)min＝h－＝－，
所以實數(shù)a的取值范圍為a≥－．
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