2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 第1篇 專題7 解析幾何 第3講 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題學(xué)案.doc
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第一課時 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及證明問題 考向一 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 【典例】 (2018合肥三模)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,以拋物線上一動點M為圓心的圓經(jīng)過點F.若圓M的面積最小值為π. (1)求p的值; (2)當點M的橫坐標為1且位于第一象限時,過M作拋物線的兩條弦MA,MB,且滿足∠AMF=∠BMF. 若直線AB恰好與圓M相切,求直線AB的方程. [思路分析] 總體 設(shè)計 看到:求p的值,想到:建立關(guān)于p的方程求解. 看到:求直線的方程,想到:求出直線斜率后設(shè)出直線的斜截式方程,待定系數(shù)法求解. 解題 指導(dǎo) (1)由拋物線的性質(zhì)知,當圓心M位于拋物線的頂點時,圓M的面積最小,由=π可得p的值; (2)依橫坐標相等可得,MF⊥x軸,kMA+kMB=0,設(shè)kMA=k(k≠0),則直線MA的方程為y=k(x-1)+2,代入拋物線的方程得,利用韋達定理求出A的坐標,同理求出B的坐標,求出AB的斜率為定值-1,設(shè)直線AB的方程為y=-x+m,由圓心到直線的距離等于半徑,列方程解得m=32,從而可得直線AB的方程. [規(guī)范解答] (1)由拋物線的性質(zhì)知,當圓心M位于拋物線的頂點時,圓M的面積最小, 1分 此時圓的半徑為|OF|=,∴=π,解得p=2. 3分 (2)依題意得,點M的坐標為(1,2),圓M的半徑為2.由F(1,0)知,MF⊥x軸. 4分 由∠AMF=∠BMF知,弦MA,MB所在直線的傾斜角互補,∴kMA+kMB=0. 5分 設(shè)kMA=k(k≠0),則直線MA的方程為y=k(x-1)+2,∴x=(y-2)+1, 6分 代入拋物線的方程得y2=4, ∴y2-y+-4=0, 7分 ∴yA+2=,yA=-2. 8分 將k換成-k,得yB=--2, 9分 ∴kAB=====-1. 10分 設(shè)直線AB的方程為y=-x+m,即x+y-m=0. 由直線AB與圓M相切得,=2,解得m=32. 11分 經(jīng)檢驗m=3+2不符合要求,故m=3+2舍去. ∴所求直線AB的方程為y=-x+3-2. 12分 [技法總結(jié)] 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的步驟 (1)設(shè)方程及點的坐標; (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零) ; (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式; (4)結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解. [變式提升] 1.(2018佛山二模)已知直線l過點P(2,0),且與拋物線T:y2=4x相交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中點A在第四象限,O為坐標原點. (1)當A是PC中點時,求直線l的方程; (2)以AB為直徑的圓交直線OB于點D,求|OB||OD|的值. 解 (1)因為A是PC中點,P(2,0),點C在y軸上, 所以A的橫坐標x=1,代入y2=4x得,y=2, 又點A在第四象限,所以A的坐標為(1,-2), 所以直線AP即直線l的方程為y=2x-4. (2)顯然直線l的斜率不為0,設(shè)直線l的方程為 x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 又B,O,D三點共線, 則可設(shè)D為(λx2,λy2)(λ≠1且λ≠0), 聯(lián)立方程化簡得到y(tǒng)2-4my-8=0, 由韋達定理得y1y2=-8, 又A,B在y2=4x上,所以x1x2=4, 因為D在以AB為直徑的圓上, 所以⊥,即=0, 又=(λx2-x1,λy2-y1),=(λx2,λy2), 所以(λx2-x1)(λx2)+(λy2-y1)(λy2)=0, 即λ(x+y)=-4, 所以|OB||OD|=|λ||OB|2=|λ|(x+y)=4. 考向二 圓錐曲線中的證明問題 【典例】 已知橢圓C的兩個頂點分別為A(-2,0),B(2,0),焦點在x軸上,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)點D為x軸上一點,過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線交BN于點E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. (1)解 設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0). 由題意得解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. (2)證明 設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n). 由題設(shè)知m≠2,且n≠0. 直線AM的斜率kAM=, 故直線DE的斜率kDE=-. 所以直線DE的方程為y=-(x-m). 直線BN的方程為y=(x-2). 聯(lián)立 解得點E的縱坐標yE=-. 由點M在橢圓C上,得4-m2=4n2,所以yE=-n. 又S△BDE=|BD||yE|=|BD||n|, S△BDN=|BD||n|, 所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5. [技法總結(jié)] 圓錐曲線證明問題的類型及求解策略 (1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如:某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等). (2)解決證明問題時,主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明. [變式提升] 2.(2018大慶二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,且C過點. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)B1、B2分別是橢圓C的下頂點和上頂點,P是橢圓上異于B1、B2的任意一點,過點P作PM⊥y軸于M,N為線段PM的中點,直線B2N與直線y=-1交于點D,E為線段B1D的中點,O為坐標原點. 求證:ON⊥EN. (1)解 由題設(shè)知焦距為2,所以c=. 又因為橢圓過點, 所以代入橢圓方程得+=1, 因為a2=b2+c2,解得a=2,b=1, 故所求橢圓C的方程是+y2=1. (2)證明 設(shè)P(x0,y0),x0≠0,則M(0,y0),N. 因為點P在橢圓C上,所以+y=1.即x=4-4y. 又B2(0,1),所以直線B2N的方程為y-1=x. 令y=-1,得x=,所以D. 又B1(0,-1),E為線段B1D的中點, 所以E. 所以=, =. 因=+y0(y0+1) =-+y+y0 =1-+y0=1-y0-1+y0=0, 所以⊥, 即ON⊥EN.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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