2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx
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第三章 概率 1 辨析頻率與概率 概率與頻率雖只有一字之差，但意義大不相同，同時(shí)二者之間又有一定的聯(lián)系．下面和同學(xué)們一起認(rèn)識一下這對“孿生兄弟”． 一、頻率與概率的區(qū)別 頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它的值等于隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比．頻率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的某事件發(fā)生的頻率不一定相同．而概率是一個(gè)確定的值，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)，與試驗(yàn)次數(shù)也無關(guān)． 例1連續(xù)拋擲一枚硬幣10次，落地后正面向上出現(xiàn)了6次，設(shè)“拋一次硬幣，正面向上”為事件A，則下列說法正確的有________． ①P(A)＝；②P(A)≈； ③再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)還是6； ④事件A發(fā)生的頻率為； ⑤無論哪一次拋，硬幣落地后正面向上的概率相同． 解析?、堍菡_．在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為，再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)不確定． 答案?、堍? 點(diǎn)評 頻率的隨機(jī)性和概率的確定性是二者的本質(zhì)區(qū)別． 二、頻率與概率的聯(lián)系 1．在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動．由于事件的隨機(jī)性，有時(shí)候頻率也可能出現(xiàn)偏離該“常數(shù)”較大的情形，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種情形出現(xiàn)的可能性會減?。怕适穷l率的穩(wěn)定值，可看作是頻率在 理論上的平均值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。? 2．在實(shí)際問題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切的得到，因此我們常常通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)概率． 例2一個(gè)不透明的袋中裝有大小質(zhì)地相同的紅、白兩種顏色的小球，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，每次從袋中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻后再摸．試驗(yàn)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 摸球次數(shù) 30 60 90 120 150 180 210 270 300 摸到紅球的次數(shù) 6 25 31 38 45 53 67 摸到紅球的頻率 0.300 0.247 (1)將表格補(bǔ)充完整；(所求頻率保留3位小數(shù)) (2)估計(jì)從中隨機(jī)摸一個(gè)球，求摸到紅球的概率P.(保留2位小數(shù)) 解 (1)第二行依次填：18,74. 第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248. (2)由(1)知，雖然抽取次數(shù)不同，所得頻率值不同，但隨試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在常數(shù)0.250附近擺動，故P≈0.25. 點(diǎn)評 只有當(dāng)頻率值在某一常數(shù)附近擺動時(shí)，才能將此常數(shù)近似看作該事件發(fā)生的概率．現(xiàn)實(shí)生活中很多事件的概率是難以確切得到的，鑒于隨機(jī)事件的發(fā)生帶有隨機(jī)性的同時(shí)又存在一定的規(guī)律性，故一般通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件的頻率來估計(jì)概率. 2 概率加法公式應(yīng)用點(diǎn)撥 概率的加法公式是計(jì)算概率的一個(gè)最基本的公式，根據(jù)它可以計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率．概率的加法公式可推廣為若事件A1，A2，…，An彼此互斥(兩兩互斥)，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和．用此公式時(shí)，同學(xué)們首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式．下面舉例說明概率加法公式的應(yīng)用． 一、計(jì)算互斥事件和的概率 例1由經(jīng)驗(yàn)得知，某市某大型超市付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表： 排隊(duì)人數(shù) 0 1 2 3 4 5人以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.3 0.10 0.04 求：(1)至多2人排隊(duì)的概率； (2)至少2人排隊(duì)的概率． 解 (1)記“沒有人排隊(duì)”為事件A，“1人排隊(duì)”為事件B，“2人排隊(duì)”為事件C，則A，B，C彼此互斥． P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (2)記“至少2人排隊(duì)”為事件D，“少于2人排隊(duì)”為事件A∪B，那么事件D與事件A∪B是對立事件，則P(D)＝P()＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.10＋0.16)＝0.74. 點(diǎn)評 應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個(gè)：一是所求事件是幾個(gè)事件的和，二是這幾個(gè)事件彼此互斥．在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系，把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率． 二、求解“至少”與“至多”型問題 例2甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加一等級考試，已知恰有1人過關(guān)(事件A)的概率為0.198，恰有2人過關(guān)(事件B)的概率為0.38，恰有3人過關(guān)(事件C)的概率為0.302,4人都過關(guān)(事件D)的概率為0.084.求： (1)至少有2人過關(guān)的概率P1； (2)至多有3人過關(guān)的概率P2. 分析 “至少有2人過關(guān)”即事件B∪C∪D.“至多有3人過關(guān)”即事件A，B，C與事件“4人均未過關(guān)”的并事件，其對立事件為D.(注意“4人均未過關(guān)”這種可能情況) 解 由條件知，事件A，B，C，D彼此互斥． (1)P1＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766. (2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916. 點(diǎn)評 處理“至多”“至少”型問題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮，即借助對立事件的概率間接求解．當(dāng)事件包含的情況較多時(shí)，常利用P(A)＝1－P()求P(A)． 三、列方程求解概率問題 例3某班級同學(xué)的血型分別為A型、B型、AB型、O型，從中任取一名同學(xué)，其血型為AB型的概率為0.09，為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0.6，試求任取一人，血型為A型、B型、O型的概率各是多少？ 分析 設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可． 解 記“任取一人，血型為A型”，“任取一人，血型為B型”，“任取一人，血型為AB型”，“任取一人，血型為O型”分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥． 故 解得 所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0.31、0.3、0.3. 點(diǎn)評 本題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點(diǎn)．挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問題的關(guān)鍵，同學(xué)們應(yīng)注重這種能力的培養(yǎng). 3 隨機(jī)事件的概率 結(jié)論1 概率大的隨機(jī)事件不一定意味著肯定發(fā)生．在一次試驗(yàn)中，概率大的隨機(jī)事件的發(fā)生不一定優(yōu)于概率小的隨機(jī)事件的發(fā)生． 釋義 對于概率的大小問題，只能說明相對于同一隨機(jī)事件而言，概率大的發(fā)生的可能性大，概率小的發(fā)生的可能性?。? 例1 在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是0.3，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率是0.7，你認(rèn)為如果做一次試驗(yàn)，可能出現(xiàn)B不發(fā)生A發(fā)生的現(xiàn)象嗎？為什么？ 解 這是可能的．因?yàn)殡S機(jī)事件B的發(fā)生概率大于隨機(jī)事件A的發(fā)生概率，但并不意味著在一次試驗(yàn)中隨機(jī)事件B的發(fā)生一定優(yōu)于隨機(jī)事件A的發(fā)生，隨機(jī)事件的發(fā)生是不確定的． 結(jié)語 結(jié)論1實(shí)現(xiàn)實(shí)際生活中小概率事件發(fā)生的可能性．對于概率問題，必須注意的是概率是相對于大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下得到的理論值，但在少數(shù)的有限試驗(yàn)中，概率不一樣的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性無法確定． 結(jié)論2 概率是由巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)論，是一種大的整體的趨勢；而頻率是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律．概率可以看作頻率在理論上的期望值． 釋義 概率與頻率的關(guān)系是整體與具體、理論與實(shí)踐、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)的關(guān)系，頻率隨著隨機(jī)事件次數(shù)的增加會趨向于概率．在處理具體的隨機(jī)事件時(shí)，用概率作指導(dǎo)，以頻率為依據(jù)． 例2 在某次射擊比賽中，甲運(yùn)動員在決賽中以0.2環(huán)的微弱優(yōu)勢戰(zhàn)勝了乙運(yùn)動員，摘得該項(xiàng)的金牌．下表是兩人在參賽前訓(xùn)練中擊中10環(huán)以上的次數(shù)統(tǒng)計(jì)： 甲運(yùn)動員： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中10環(huán)以上的次數(shù)m 9 17 44 92 179 450 擊中10環(huán)以上的頻率 乙運(yùn)動員： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中10環(huán)以上的次數(shù)m 8 19 44 93 177 453 擊中10環(huán)以上的頻率 請根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)回答以下問題： (1)分別計(jì)算出兩位運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率； (2)根據(jù)(1)中計(jì)算的結(jié)果預(yù)測兩位運(yùn)動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率． 解 (1)兩運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率分別為： 甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9； 乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906； (2)由(1)中的數(shù)據(jù)可知兩位運(yùn)動員擊中10環(huán)以上的頻率都集中在0.9這個(gè)數(shù)的附近，所以可以預(yù)測兩位運(yùn)動員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率為0.9，即兩人的實(shí)力相當(dāng)． 結(jié)語 結(jié)論2實(shí)現(xiàn)頻率與概率既有聯(lián)系又有區(qū)別，頻率隨著隨機(jī)事件的試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而趨向于概率． 結(jié)論3 兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立． 釋義 對立事件是互斥事件的一個(gè)特例，兩個(gè)互斥事件不一定是對立事件，而兩個(gè)對立事件必為互斥事件． 例3 一個(gè)不透明的袋中裝入4個(gè)白球與4個(gè)黑球，從中任意摸出3個(gè)球． (1)可能發(fā)生哪些事件？ (2)指出其中每個(gè)事件的互斥事件； (3)事件“至少摸出1個(gè)白球”是哪幾個(gè)事件的和事件？它的對立事件是哪個(gè)事件？ 解 (1)以白球或黑球的個(gè)數(shù)作為討論標(biāo)準(zhǔn)，可能發(fā)生下列事件： ①摸出3個(gè)白球，記為事件A； ②摸出2個(gè)白球，1個(gè)黑球，記為事件B； ③摸出1個(gè)白球，2個(gè)黑球，記為事件C； ④摸出3個(gè)黑球，記為事件D； (2)事件A，B，C，D彼此互斥； (3)“至少摸出1個(gè)白球”的事件為A，B，C的和事件，即“至少摸出1個(gè)白球”的對立事件是D. 結(jié)語 結(jié)論3實(shí)現(xiàn)對立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別．特別在解答一些問題時(shí)，在把復(fù)雜事件加以分解的事件個(gè)數(shù)不是太多的情況下，可以把所有的事件羅列下來，結(jié)合互斥事件與對立事件的概念加以辨析. 4 點(diǎn)擊互斥事件 一、互斥事件、對立事件的概念 1．“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，也就是說互斥事件至多有一個(gè)發(fā)生，也有可能兩個(gè)都不發(fā)生，而對立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件．因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說對立事件是互斥事件的充分不必要條件． 2．從集合的角度理解：兩個(gè)互斥事件對應(yīng)的基本事件所組成的集合的交集為空集，并集可能是全集，也可能不是全集；當(dāng)A，B是對立事件時(shí)，其交集為空集，并集是全集． 3．互斥事件之間的關(guān)系中的“不能同時(shí)發(fā)生”體現(xiàn)了分類討論的原則“不重復(fù)”，而“不遺漏”則表現(xiàn)在所有互斥事件的和是整個(gè)事件(必然事件)． 二、例題點(diǎn)擊 1．互斥事件、對立事件的判斷 例1 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥但不對立的事件是( ) A．至少有1個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 C．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)紅球 D．至少有1個(gè)黑球與都是紅球 解析 “從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球”這一事件共包含3個(gè)基本事件：(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，黑)，故恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)紅球互斥但不對立，所以選C. 答案 C 評注 借助于列舉基本事件，結(jié)合定義，易判斷出互斥與對立事件． 2．互斥事件的計(jì)算 例2 袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色不全相同的概率． 解 記“3只顏色全相同”為事件A，則所求事件為A的對立事件． 因?yàn)椤?只顏色全相同”又可分為“3只全是紅球(事件B)”“3只全是黃球(事件C)”“3只全是白球(事件D)”，且它們彼此互斥，故3只顏色全相同即為事件B＋C＋D， 由于紅球、黃球、白球的個(gè)數(shù)一樣， 故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝， 所以P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝， 因此有P()＝1－＝. 答 3只顏色不全相同的概率是. 評注 本題可將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，但比較麻煩，故轉(zhuǎn)化為其對立事件求解，體現(xiàn)了“正難則反”的思想．注意“3只顏色全相同”可分為三個(gè)彼此互斥的基本事件，它的對立事件為“3只顏色不全相同”. 5 解古典概型的幾個(gè)注意 解古典概型問題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)：(1)有限性：做一次試驗(yàn)，可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件．(2)等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的．其計(jì)算公式P(A)＝也比較簡單，但是這類問題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，下面說一下在解題中需要注意的幾個(gè)問題． 注意1——有限性和等可能性 例1 擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率． 分析 這個(gè)試驗(yàn)的基本事件(所有可能結(jié)果)共有4種：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出現(xiàn)一正一反”的所有可能結(jié)果為：(正，反)，(反，正)． 解 P(A)＝＝. 評注 均勻硬幣在拋擲過程中出現(xiàn)正、反面的概率是相等的，并且試驗(yàn)結(jié)果是有限個(gè)． 注意2——計(jì)算基本事件的數(shù)目時(shí)，必須做到不重不漏 例2 從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)A＝{三個(gè)數(shù)字中不含1和5}；(2)B＝{三個(gè)數(shù)字中含1或5}． 分析 這個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種． 解 (1)事件A為(2,3,4)，故P(A)＝. (2)事件B的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9種．故P(B)＝. 評注 在計(jì)算事件數(shù)目時(shí)，要做到不重不漏，如B中可分為含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)．含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)．在歸于集合B中時(shí)，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)這三個(gè)不能重復(fù)計(jì)算． 注意3——利用事件間的關(guān)系 例3 有3個(gè)完全相同的小球a，b，c，隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子中，求兩個(gè)盒子都不空的概率． 分析 先分析三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本事件，再確定兩個(gè)盒子都不空的對立事件是至少有一個(gè)盒子為空所包含事件，從而確定該事件的概率． 解 a，b，c三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本事件為： 甲盒 a，b，c a，b a a，c b，c b c 空 乙盒 空 c b，c b a c，a a，b a，b，c 兩個(gè)盒子都不空的對立事件是至少有一個(gè)盒子為空， 所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共兩個(gè)，故P＝1－＝. 評注 在求解較復(fù)雜事件的概率時(shí)，可將其分解為幾個(gè)互斥的簡單事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得. 6 走出解幾何概型的幾個(gè)誤區(qū) 幾何概型和古典概型是概率中典型的問題，幾何概型和古典概型有共同點(diǎn)，也有很多不一樣的地方．我們在求解幾何概型問題時(shí)，經(jīng)常會出現(xiàn)一些典型的錯(cuò)誤．下面用具體的例子幫你走出誤區(qū)． 一、若P(A)＝0，則A未必是不可能事件；若P(A)＝1，則A未必是必然事件 例1 有一個(gè)底面是圓形的容器，底面圓半徑是一枚硬幣半徑的10倍，現(xiàn)在把這枚硬幣隨機(jī)地扔進(jìn)容器，求硬幣與底面恰好相切的概率． 解 記“硬幣與底面圓相切”為事件A，由題意知所求問題是以面積為測度的幾何概型的概率問題，事件A中硬幣的位置可由硬幣的中心確定，當(dāng)硬幣與底面相切時(shí)，硬幣的中心形成一個(gè)圓周(不包括圓周內(nèi)部)，故其對應(yīng)的面積可以認(rèn)為是0，故P(A)＝0. 點(diǎn)評 在古典概型中，P(A)＝0?A是不可能事件；而在幾何概型P(A)＝0，則A未必是不可能事件；P(A)＝1，A也未必是必然事件． 二、背景相似的問題，當(dāng)試驗(yàn)的角度不同時(shí)，其概率不一樣 例2 (1)在直角三角形ABC中，∠A＝90，AB＝AC，過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，求BM≤AB的概率． (2)在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90，在線段BC上取一點(diǎn)M，求BM≤AB的概率． 解 (1)記“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω，由于是過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的， 又當(dāng)AB＝BM時(shí)∠BAM＝67.5， 所以P(Ω)＝＝＝. (2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝， 設(shè)“在線段BC上取一點(diǎn)M，使BM≤AB”為事件Ω， 則P(Ω)＝＝＝. 點(diǎn)評 幾何概型有關(guān)問題，有的背景相似，試驗(yàn)的角度不同時(shí)，其概率是不一樣的． 三、錯(cuò)用測度類型 例3 在區(qū)間[0,2]中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之和小于1的概率． 錯(cuò)解 兩數(shù)之和小于1，那么每一個(gè)數(shù)是[0,1]之間，故每一個(gè)數(shù)對應(yīng)的概率為，那么所求兩個(gè)數(shù)的概率為＝. 錯(cuò)因分析 因?yàn)閮蓴?shù)之和小于1，故兩個(gè)數(shù)之間有相互制約的關(guān)系，即兩個(gè)變量之間不是相互獨(dú)立的，不可將兩個(gè)變量的概率相乘，故這種做法是錯(cuò)誤的，應(yīng)用面積做測度，計(jì)算概率． 正確答案 設(shè)x，y表示所取的任意兩個(gè)數(shù)，由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，∴以兩數(shù)x，y為坐標(biāo)的點(diǎn)在以2為邊長的正方形區(qū)域內(nèi)，設(shè)兩數(shù)和小于1為事件A，則事件A所在區(qū)域?yàn)橹本€x＋y＝1的下方且在正方形內(nèi)的陰影區(qū)域．∴P(A)＝＝. 四、忽視等可能 例4 以等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，則截得弦長不大于直角邊的概率為多少？ 錯(cuò)解 如圖所示， 設(shè)MN是以C為圓心，以MC為半徑的圓所截取的線段， 故所求事件發(fā)生的概率為P＝＝. 錯(cuò)因分析 本試驗(yàn)以直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，因此用圓和線段相交的長度反映概率，忽視了等可能． 正確答案 以直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，半徑r的取值范圍在CH下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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