《2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx（11頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1.1.1　算法的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解算法的含義.2.了解算法的思想.3.會用自然語言描述一些具體問題的算法． 知識點(diǎn)一　算法的概念 思考1　有一碗醬油，一碗醋和一個空碗．現(xiàn)要把兩碗盛的物品交換過來，試用自然語言表述你的操作辦法． 答案　先把醋倒入空碗，再把醬油倒入原來盛醋的碗，最后把倒入空碗中的醋倒入原來盛醬油的碗，就完成了交換． 思考2　某笑話有這樣一個問題：把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步？答案是分三步．第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門關(guān)上．這是一個算法嗎？ 答案　是． 梳理　算法概念 12世紀(jì)的算法 是指用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算的過程 數(shù)學(xué)中的算法 通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟 現(xiàn)代算法 通常可以編成計(jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題 知識點(diǎn)二　算法的特征 思考　算法與一般意義上具體問題的解法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ 答案　(1)它們之間是一般與特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系． (2)要設(shè)計(jì)出解決一類問題的算法，可以借助于此類問題中的某一個問題的解決過程和思路進(jìn)行設(shè)計(jì)，而此類問題中的任何一個具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決． 梳理　算法的五個特征 (1)有限性：一個算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的，并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不是模棱兩可的． (3)邏輯性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能進(jìn)行下一步，而且每一步都是正確無誤的，從而組成具有很強(qiáng)邏輯性的步驟序列． (4)普遍性：一個確定的算法，應(yīng)該能夠解決一類問題． (5)不唯一性：求解某一個問題的算法不一定只有唯一的一個，也可以有不同的算法． 特別提醒：判斷一個問題是不是算法，關(guān)鍵是明確算法的含義及算法的特征． 知識點(diǎn)三　算法的設(shè)計(jì) 思考　自然語言是唯一描述算法的語言嗎？ 答案　不是．描述算法可以有不同的方式，常用的有自然語言、框圖(流程圖)、程序設(shè)計(jì)語言等． 梳理　(1)設(shè)計(jì)算法的目的 設(shè)計(jì)算法的目的實(shí)際上是尋求一類問題的解決方法，它可以通過計(jì)算機(jī)來完成．設(shè)計(jì)算法的關(guān)鍵是把過程分解成若干個明確的步驟，然后用計(jì)算機(jī)能夠接受的“語言”準(zhǔn)確地描述出來，從而達(dá)到讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行的目的． (2)設(shè)計(jì)算法的要求 ①寫出的算法必須能解決一類問題． ②要使算法盡量簡單、步驟盡量少． ③要保證算法步驟有效，且計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行． 1．算法是解決一個問題的方法．(　　) 2．一個算法可以產(chǎn)生不確定的結(jié)果．(　　) 3．算法的步驟必須是明確的、有限的．(　√　) 題型一　算法概念的理解 例1　下列關(guān)于算法的說法，正確的個數(shù)有(　　) ①求解某一類問題的算法是唯一的； ②算法必須在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必須是明確的，不能有歧義或模糊； ④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果． A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　由于算法具有有限性、確定性等特點(diǎn)，因而②③④正確，而解決某類問題的算法不一定唯一，從而①錯． 反思與感悟　算法實(shí)際上是解決問題的一種程序性方法，它通常用來解決某一個或某一類問題，在用算法解決問題時，體現(xiàn)了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想． 跟蹤訓(xùn)練1　下列描述不能看作算法的是(　　) A．做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟 B．洗衣機(jī)的使用說明書 C．解方程2x2＋x－1＝0 D．利用公式S＝πr2，計(jì)算半徑為4的圓的面積，就是計(jì)算π42 答案　C 解析　A，B，D都描述了解決問題的過程，可以看作算法，而C只描述了一個事實(shí)，沒說明怎么解決問題，不是算法． 題型二　算法的閱讀理解 例2　下面算法要解決的問題是_______________________________________________． S1　輸入三個數(shù)，并分別用a，b，c表示． S2　比較a與b的大小，如果ab. 第三步運(yùn)行后a>c. 第四步運(yùn)行后b>c，所以a>b>c. 第五步運(yùn)行后，顯示a，b，c的值，且從大到小排列． 反思與感悟　一個算法的作用往往并不顯而易見，這需要我們結(jié)合具體數(shù)值去執(zhí)行一下才知道． 跟蹤訓(xùn)練2　下面給出了一個問題的算法： S1　輸入a. S2　若a≥4，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步． S3　輸出2a－1. S4　輸出a2－2a＋3. 這個算法解決的問題是________________________________________________________． 答案　求函數(shù)f(x)＝當(dāng)x＝a時的函數(shù)值f(a) 題型三　算法的設(shè)計(jì)與應(yīng)用 例3　有一個底面半徑為3，母線為5的圓錐，寫出求該圓錐體積的算法． 解　如圖，先給r，l賦值，計(jì)算h，再根據(jù)圓錐體積公式V＝πr2h計(jì)算V，然后輸出結(jié)果． S1　令r＝3，l＝5. S2　計(jì)算h＝. S3　計(jì)算V＝πr2h. S4　輸出運(yùn)算結(jié)果． 反思與感悟　利用公式解決問題時，必須先求出公式中的各個量，在設(shè)計(jì)算法時，應(yīng)優(yōu)先考慮未知量的求法． 跟蹤訓(xùn)練3　已知一個等邊三角形的周長為a，求這個三角形的面積．設(shè)計(jì)一個算法解決這個問題． 解　S1　輸入a的值． S2　計(jì)算l＝的值． S3　計(jì)算S＝l2的值． S4　輸出S的值． 例4　已知函數(shù)f(x)＝設(shè)計(jì)一個算法求函數(shù)的任一函數(shù)值． 解　S1　輸入x＝a. S2　若a≥2，則執(zhí)行第三步；若a＜2，則執(zhí)行第四步． S3　輸出f(a)＝a2－a＋1. S4　輸出f(a)＝a＋1. 反思與感悟　首先結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式的特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ言進(jìn)行描述． 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1, 設(shè)計(jì)一個算法求函數(shù)的任一函數(shù)值． 解　S1　輸入x＝a. S2　若a＜2，則執(zhí)行第三步，否則執(zhí)行第四步． S3　輸出f(a)＝3－a. S4　輸出f(a)＝a－1. 例5　所謂正整數(shù)p為素?cái)?shù)是指：p的所有約數(shù)只有1和p.例如，35不是素?cái)?shù)，因?yàn)?5的約數(shù)除了1,35外，還有5與7；29是素?cái)?shù)，因?yàn)?9的約數(shù)只有1和29.試設(shè)計(jì)一個能夠判斷一個任意正整數(shù)n(n＞1)是否為素?cái)?shù)的算法． 解　算法如下： S1　給出任意一個正整數(shù)n(n＞1)． S2　若n＝2，則輸出“2是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束． S3　令m＝1. S4　m＝m＋1. S5　如果m≥n，則輸出“n是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束． S6　判斷m能否整除n， ①如果能整除，則輸出“n不是素?cái)?shù)”，判斷結(jié)束； ②如果不能整除，則轉(zhuǎn)第四步． 反思與感悟　設(shè)計(jì)一個具體問題的算法，通常按以下步驟： (1)認(rèn)真分析問題，找出解決該問題的一般數(shù)學(xué)方法． (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對算法加以表述． (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟． (4)用簡練的語言將這個步驟表示出來． 跟蹤訓(xùn)練5　判斷一個大于2的整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的算法步驟如何設(shè)計(jì)？ 解　S1　給定大于2的整數(shù)n. S2　令i＝2. S3　用n除以i，得到余數(shù)r. S4　判斷“r＝0”是否成立．若成立，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示． S5　判斷“i>(n－1)”是否成立．若成立，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步．  1．下列關(guān)于算法的說法正確的是(　　) A．一個算法的步驟是可逆的 B．描述算法可以有不同的方式 C．算法可以看成是按照要求設(shè)計(jì)好的、有限的、確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列只能解決當(dāng)前問題 D．算法只能用一種方式顯示 答案　B 解析　由算法的定義知A，C，D錯． 2．計(jì)算下列各式中S的值，能設(shè)計(jì)算法求解的是(　　) ①S＝＋＋＋…＋； ②S＝＋＋＋…＋＋…； ③S＝＋＋＋…＋(n≥1，n∈N＋)． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　由算法的有限性知②不能設(shè)計(jì)算法求解，①③都能通過有限步輸出確定結(jié)果． 3．已知直角三角形兩直角邊長為a，b，求斜邊長c的一個算法分下列三步： (1)計(jì)算c＝； (2)輸入直角三角形兩直角邊長a，b的值； (3)輸出斜邊長c的值． 其中正確的順序是________． 答案　(2)(1)(3) 解析　算法的步驟是有先后順序的，第一步是輸入，最后一步是輸出，中間的步驟是賦值、計(jì)算． 4．求過P(a1，b1)，Q(a2，b2)兩點(diǎn)的直線的斜率有如下的算法，請?jiān)跈M線上填出適當(dāng)步驟． S1　令x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2. S2　判斷“x1＝x2”是否成立．若成立，則輸出“斜率不存在”；否則，執(zhí)行第三步． S3　________________________________________________________________________. S4　輸出k. 答案　計(jì)算斜率k＝ 解析　由題意可知，“第三步”應(yīng)根據(jù)直線斜率公式計(jì)算斜率k的值． 5．寫出解二元一次方程組的算法． 解　S1?、伲?②得7x＝1.③ S2　解③得x＝. S3　②3－①2得7y＝5.④ S4　解④得y＝. S5　得到方程組的解為 1．算法的特點(diǎn)：有限性、確定性、邏輯性、不唯一性、普遍性． 2．算法設(shè)計(jì)的要求： (1)寫出的算法必須能夠解決一類問題(如判斷一個整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，求任意一個方程的近似解等)，并且能夠重復(fù)使用． (2)要使算法盡量簡單，步驟盡量少． (3)要保證算法正確，且算法步驟能夠一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切，不能含混不清，而且在有限步后能得到結(jié)果． 一、選擇題 1．下列可以看成算法的是(　　) A．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽講并記好筆記，課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè)，之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題 B．今天餐廳的飯真好吃 C．這道數(shù)學(xué)題難做 D．方程2x2－x＋1＝0無實(shí)數(shù)根 答案　A 解析　A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個步驟，所以是算法． 2．下面是判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有實(shí)數(shù)根的算法步驟．對該算法步驟排序正確的是(　　) ①輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c. ②計(jì)算Δ＝b2－4ac的值． ③判斷Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立，則輸出“方程有實(shí)數(shù)根”；否則輸出“方程無實(shí)數(shù)根”，結(jié)束算法． A．①②③B．②①③C．③①②D．②③① 答案　A 解析　根據(jù)該算法的構(gòu)成，容易得到答案為A. 3．在用二分法求方程零點(diǎn)的算法中，下列說法正確的是(　　) A．這個算法可以求所有的零點(diǎn) B．這個算法可以求任何方程的零點(diǎn) C．這個算法能求所有零點(diǎn)的近似解 D．這個算法可以求變號零點(diǎn)的近似解 答案　D 解析　二分法的理論依據(jù)是函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理．它解決的是求變號零點(diǎn)的問題，并不能求所有零點(diǎn)的近似值． 4．有藍(lán)、黑兩個墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換，現(xiàn)有空墨水瓶若干，解決這一問題最少需要的步驟數(shù)為(　　) A．2B．3C．4D．5 答案　B 解析　S1　將藍(lán)墨水裝到一個空墨水瓶中； S2　將黑墨水裝到黑墨水瓶中； S3　將藍(lán)墨水裝到藍(lán)墨水瓶中，這樣就解決了這個問題，故選B. 5．已知一個算法： (1)給出三個數(shù)x、y、z； (2)計(jì)算M＝x＋y＋z； (3)計(jì)算N＝M； (4)得出每次計(jì)算結(jié)果． 則上述算法是(　　) A．求和 B．求余數(shù) C．求平均數(shù) D．先求和再求平均數(shù) 答案　D 解析　由算法過程可知，M為三數(shù)之和，N為這三數(shù)的平均數(shù)，故選D. 6．下面是對高斯消去法的理解： ①它是解方程組的一種方法； ②它可以用來解多元一次方程組； ③用它來解方程組時，有些方程組的答案可能不準(zhǔn)確． 其中正確的是(　　) A．①②B．③C．①③D．②③ 答案　A 解析　只有①②符合題意． 7．下列各式中T的值不能用算法求解的是(　　) A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002 B．T＝＋＋＋＋…＋ C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋… D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100 答案　C 解析　根據(jù)算法的有限性知C不能用算法求解． 8．對于算法： S1　輸入n. S2　判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件；若n＞2，則執(zhí)行第三步． S3　依次從2到(n－1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒鼙籲整除，若不能被n整除，則執(zhí)行第四步；若能整除n，則結(jié)束算法． S4　輸出n. 滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù)B．奇數(shù)C．偶數(shù)D．約數(shù) 答案　A 解析　此題首先要理解質(zhì)數(shù)，只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù)，這個算法通過對2到(n－1)一一驗(yàn)證，看是否有其他約數(shù)，來判斷其是否為質(zhì)數(shù)． 二、填空題 9．下面是解決一個問題的算法： S1　輸入x. S2　若x≥6，轉(zhuǎn)到S3；否則轉(zhuǎn)到S4. S3　輸出3x－2. S4　輸出x2－2x＋4. 當(dāng)輸入x的值為________時，輸出的數(shù)值最小，且最小值為________． 答案　1　3 解析　所給算法解決的是求分段函數(shù)f(x)＝的函數(shù)值的問題．當(dāng)x≥6時，f(x)＝3x－2≥36－2＝16；當(dāng)x＜6時，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3.所以f(x)min＝3，此時x＝1，即當(dāng)輸入x的值為1時，輸出的數(shù)值最小，且最小值是3. 10．一個算法的步驟如下： S1　令i＝0，S＝2. S2　如果i≤15，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S6. S3　計(jì)算S＋i并將結(jié)果代替S. S4　用i＋2的值代替i. S5　轉(zhuǎn)去執(zhí)行S2. S6　輸出S. 運(yùn)行該算法輸出的結(jié)果S＝________. 答案　58 解析　據(jù)題意知，S＝2＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝58. 11．下面給出了解決問題的算法： S1　輸入x. S2　若x≤1，則y＝2x－1，否則y＝x2＋3. S3　輸出y. 當(dāng)輸入的x值為________時，輸入值與輸出值相等． 答案　1 解析　該算法的作用是求分段函數(shù)y＝的函數(shù)值．解得x＝1；無解． 12．給出下列算法： S1　輸入x的值． S2　當(dāng)x＞4時，計(jì)算y＝x＋2；否則執(zhí)行下一步． S3　計(jì)算y＝. S4　輸出y. 當(dāng)輸入x＝0時，輸出y＝________. 答案　2 解析　0＜4，執(zhí)行第三步，y＝＝2. 三、解答題 13．某商場舉辦優(yōu)惠促銷活動．若購物金額在800元以上(不含800元)，打7折；若購物金額在400元以上(不含400元)，800元以下(含800元)，打8折；否則，不打折．請為商場收銀員設(shè)計(jì)一個算法，要求輸入購物金額x，輸出實(shí)際交款額y. 解　算法步驟如下： S1　輸入購物金額x(x>0)． S2　判斷“x>800”是否成立，若成立，則y＝0.7x，轉(zhuǎn)第四步；否則，執(zhí)行第三步． S3　判斷“400＜x≤800”是否成立，若成立，則y＝0.8x，轉(zhuǎn)第四步；否則，y＝x. S4　輸出y，結(jié)束算法． 四、探究與拓展 14．下面是求15和18的最小公倍數(shù)的算法，其中不恰當(dāng)?shù)囊徊绞莀_______． S1　先將15分解素因數(shù)：15＝35. S2　然后將18分解素因數(shù)：18＝322. S3　確定它們的所有素因數(shù)：2,3,5. S4　計(jì)算出它們的最小公倍數(shù)：235＝30. 答案　第四步 解析　素因數(shù)2,3,5的最高指數(shù)分別是1,2,1，算出它們的最小公倍數(shù)為2325＝90. 15．如圖所示，漢諾塔問題是指有3根桿子A，B，C，桿子上有若干碟子，把所有的碟子從B桿移動到A桿上，每次只能移動一個碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面．把B桿上的3個碟子全部移動到A桿上，最少需要移動的次數(shù)是________． 答案　7 解析　直接進(jìn)行分析，將最小的碟子命名為①，中間的碟子命名為②，最大的碟子命名為③，進(jìn)行如下移動：①→A，②→C，①→C，③→A，①→B，②→A，①→A，此時按要求全部放好，移動7次．