2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第一課時） 本節(jié)課是高中《數(shù)學必修一》（人教A版）第二章第二節(jié)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》的內(nèi)容。函數(shù)是高中數(shù)學學習的重點和難點，函數(shù)的思想貫穿于整個高中數(shù)學之中。本節(jié)課是學生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)和簡單的指數(shù)運算的基礎(chǔ)上，進一步研究指數(shù)函數(shù)及其圖象與性質(zhì)，它一方面可以進一步深化學生對函數(shù)概念的理解與認識，使學生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，同時也為今后進一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用，研究對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅實的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。 1.教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其運用。 2.教學難點：指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程及圖象與底的關(guān)系。 1． 問題導(dǎo)學 知識點一 指數(shù)函數(shù) 思考 細胞分裂時，第一次由1個分裂成2個，第2次由2個分裂成4個，第3次由4個分裂成8個，如此下去，如果第x次分裂得到y(tǒng)個細胞，那么細胞個數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？這個函數(shù)式與y＝x2有什么不同？ 答案 y＝2x.它的底為常數(shù)，自變量為指數(shù)，而y＝x2恰好反過來． 梳理 一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R. 知識點二 指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 思考 函數(shù)的性質(zhì)包括哪些？如何探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？ 答案 函數(shù)的性質(zhì)通常包括定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最值、奇偶性．可以通過描點作圖，先研究具體的指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，再推廣至一般． 梳理 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖像和性質(zhì)： a>1 0<a<1 圖像 性質(zhì) (1)定義域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)過點(0,1)，即x＝0時，y＝1 (4)當x>0時，y>1； x<0時，0<y<1 (4)當x>0時，0<y<1； x<0時，y>1 (5)是R上的增函數(shù) (5)是R上的減函數(shù) 知識點三 不同底指數(shù)函數(shù)圖像的相對位置 思考 y＝2x與y＝3x都是增函數(shù)，都過點(0,1)，在同一坐標系內(nèi)如何確定它們兩個的相對位置？ 答案 經(jīng)描點觀察，在y軸右側(cè)，2x<3x，即y＝3x圖像在y＝2x上方，經(jīng)(0,1)點交叉，位置在y軸左側(cè)反轉(zhuǎn)，y＝2x在y＝3x圖像上方． 梳理 一般地，在同一坐標系中有多個指數(shù)函數(shù)圖像時，圖像的相對位置與底數(shù)大小有如下關(guān)系： (1)在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變?。礋o論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．這一性質(zhì)可通過令x＝1時，y＝a去理解，如圖． (2)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝x(a＞0且a≠1)的圖像關(guān)于y軸對稱． 知識點四 比較冪的大小 思考 若x1<x2，則與(a＞0且a≠1)的大小關(guān)系如何？ 梳理 一般地，比較冪大小的方法有 (1)對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷． (2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖像的變化規(guī)律來判斷． (3)對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小，則通過中間值來判斷． 二．例題講解 例1：已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過點（3，π），求 分析：要求再把0，1，3分別代入，即可求得 例2：比較下列各題中的個值的大小 （1）1.72.5 與 1.73 ( 2 )與 (3 ) 1.70.3 與 0.93.1 例3.截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平均均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到億）？ 分析：可以先考試一年一年增長的情況，再從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題： 1999年底 人口約為13億 經(jīng)過1年 人口約為13（1+1%）億 經(jīng)過2年 人口約為13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2億 經(jīng)過3年 人口約為13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3億 經(jīng)過年 人口約為13(1+1%)億 經(jīng)過20年 人口約為13(1+1%)20億 解：設(shè)今后人口年平均增長率為1%，經(jīng)過年后，我國人口數(shù)為億，則 當=20時， 答：經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為16億. 小結(jié)：類似上面此題，設(shè)原值為N，平均增長率為P，則對于經(jīng)過時間后總量，＞0且≠1）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù) . 三．達標檢測 1．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是( ) A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1 D．y＝x 2．若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是( ) A．a(chǎn)>0，且a≠1 B．a(chǎn)≥0，且a≠1 C．a(chǎn)>，且a≠1 D．a(chǎn)≥ 考點 指數(shù)函數(shù)的概念 題點 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù) 答案 C 3．下面關(guān)于函數(shù)y＝2x與y＝x的性質(zhì)的說法不正確的是( ) A．定義域都是R B．值域都為R C．單調(diào)性不同 D．均過點(0,1) 考點 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 題點 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 答案 B 解析 值域都為{y|y>0}． 4．若則a，b，c的大小關(guān)系是( ) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)<b<c C．a(chǎn)<c<b D．b<c<a