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第1講 坐標系與參數方程 1．(2018合肥質檢)已知直線l的參數方程為(t為參數)．在以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的方程為sin θ－ρcos2θ＝0. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標． 解析：(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0， ∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0， 即y－x2＝0. 故曲線C的直角坐標方程為y－x2＝0. (2)將代入y－x2＝0得， ＋t－2＝0， 解得t＝0， 從而交點坐標為(1，)， ∴交點的一個極坐標為. 2．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈. (1)求半圓C的參數方程； (2)若半圓C與圓D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常數，m>0)相切，試求切點的直角坐標． 解析：(1)半圓C的普通方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，則半圓C的參數方程為(t為參數，0≤t≤π)． (2)C，D的圓心坐標分別為(2,0)，(5，)，于是直線CD的斜率k＝＝. 由于切點必在兩個圓心的連線上， 故切點對應的參數t滿足tan t＝， t＝，所以切點的直角坐標為 ，即(2＋，1)． 3．(2018寶雞質檢)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2(cos θ＋sin θ)． (1)求C的直角坐標方程； (2)直線l：(t為參數)與曲線C交于A，B兩點，與y軸交于點E，求|EA|＋|EB|. 解析：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ) 得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)， 得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2x＋2y， 即(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程， 化簡得t2－t－1＝0， 點E對應的參數t＝0， 設點A，B對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝1，t1t2＝－1， 所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2| ＝＝. 4．在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(α為參數)，在以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρcos＝－，曲線C3：ρ＝2sin θ. (1)求曲線C1與C2的交點M的直角坐標； (2)設點A，B分別為曲線C2，C3上的動點，求|AB|的最小值． 解析：(1)曲線C1：消去參數α， 得y＋x2＝1，x∈[－1,1]．?、? 曲線C2：ρcos＝－?x＋y＋1＝0，?、? 聯立①②，消去y可得：x2－x－2＝0， 解得x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1,0)． (2)曲線C3：ρ＝2sin θ的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1，是以(0,1)為圓心，半徑r＝1的圓． 設圓心為C，則點C到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝，所以|AB|的最小值為－1.