考點測試34　一元二次不等式及其解法 高考概覽 考綱研讀 1．會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型 2．通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 3．會解一元二次不等式 一、基礎(chǔ)小題 1．不等式2x2－x－3＞0的解集是(　　) A．－，1 B．(－∞，－1)∪，＋∞ C．－1， D．－∞，－∪(1，＋∞) 答案　B 解析　2x2－x－3＞0可因式分解為(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＞或x＜－1，∴不等式2x2－x－3＞0的解集是(－∞，－1)∪，＋∞．故選B． 2．若不等式ax2＋bx－2<0的解集為，則ab＝(　　) A．－28 B．－26 C．28 D．26 答案　C 解析　∵－2，是方程ax2＋bx－2＝0的兩根， ∴∴∴ab＝28． 3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－4，4] B．(－4，4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 答案　D 解析　不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4．故選D． 4．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由x2－2ax－8a2＝0的兩個根為x1＝－2a，x2＝4a，得6a＝15，所以a＝． 5．若函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．{k|0＜k≤1} B．{k|k＜0或k＞1} C．{k|0≤k≤1} D．{k|k＞1} 答案　C 解析　當k＝0時，8＞0恒成立；當k≠0時，只需 即則0＜k≤1．綜上，0≤k≤1． 6．不等式|x2－x|<2的解集為(　　) A．(－1，2) B．(－1，1) C．(－2，1) D．(－2，2) 答案　A 解析　由|x2－x|<2，得－2<x2－x<2， 即由①，得－1<x<2． 由②，得x∈R．所以解集為(－1，2)．故選A． 7．某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件應定為(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之間 D．10元到14元之間 答案　C 解析　設(shè)銷售價定為每件x元，利潤為y，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即x2－28x＋192<0，解得12<x<16，所以每件銷售價應定為12元到16元之間． 8．如果二次函數(shù)y＝3x2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2] D．[2，＋∞) 答案　C 解析　∵二次函數(shù)y＝3x2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，∴－≥1，解得a≤－2．故選C． 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1] C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞) 答案　C 解析　當x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其對稱軸為x＝－＝－2，∴b＝4．又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4．當x≤0時，令x2＋4x＋4≤1，有－3≤x≤－1；當x>0時，f(x)＝－2≤1顯然成立，故不等式的解集為[－3，－1]∪(0，＋∞)． 10．設(shè)a∈R，關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集有下列四個命題： ①原不等式的解集不可能為?；②若a＝0，則原不等式的解集為(2，＋∞)；③若a<－，則原不等式的解集為；④若a>0，則原不等式的解集為－∞，－∪(2，＋∞)． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　原不等式等價于(ax＋1)(x－2)>0．當a＝0時，不等式化為x－2>0，得x>2．當a≠0時，方程(ax＋1)(x－2)＝0的兩根分別是2和－，若a<－，解不等式得－<x<2；若a＝－，不等式的解集為?；若－<a<0，解不等式得2<x<－；若a>0，解不等式得x<－或x>2．故①為假命題，②③④為真命題． 11．若不等式－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，則a的值是(　　) A．2或－1 B． C． D．2 答案　A 解析　令f(x)＝x2－2ax＋a，即f(x)＝(x－a)2＋a－a2，因為－3≤x2－2ax＋a≤－2有唯一解，所以a－a2＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1．故選A． 12．已知三個不等式：①x2－4x＋3<0，②x2－6x＋8<0，③2x2－9x＋m<0．要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，則m的取值范圍為________． 答案　m≤9 解析　由①②得2<x<3，要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，即不等式2x2－9x＋m<0在x∈(2，3)上恒成立，即m<－2x2＋9x在x∈(2，3)上恒成立，又－2x2＋9x在x∈(2，3)上大于9，所以m≤9． 二、高考小題 13．(經(jīng)典浙江高考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則(　　) A．c≤3 B．3<c≤6 C．6<c≤9 D．c>9 答案　C 解析　由得 解得則有f(－1)＝c－6，由0<f(－1)≤3，得6<c≤9． 14．(2015廣東高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集為________(用區(qū)間表示)． 答案　(－4，1) 解析　不等式－x2－3x＋4>0等價于x2＋3x－4<0，解得－4<x<1． 15．(經(jīng)典江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，則實數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　由題可得f(x)<0對于x∈[m，m＋1]恒成立，等價于解得－<m<0． 16．(經(jīng)典四川高考)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－4x．那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． 答案　(－7，3) 解析　當x≥0時，f(x)＝x2－4x<5的解集為[0，5)，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)<5的解集為(－5，5)．所以f(x＋2)<5的解集為(－7，3)． 三、模擬小題 17．(2018溫州九校聯(lián)考)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集為{x|－3<x<－2}，則不等式bx2－5x＋a>0的解集為(　　) A．x－＜x＜－ B．xx＞－或x＜－ C．{x|－3＜x＜2} D．{x|x＜－3或x＞2} 答案　A 解析　由題意得解得a＝－1， b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a＞0為－6x2－5x－1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，所以解集為x－＜x＜－．故選A． 18．(2018貴陽一模)已知函數(shù)f(x)＝ln (x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞) 答案　D 解析　依題意得函數(shù)f(x)的值域為R，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，則函數(shù)g(x)的值域取遍一切正實數(shù)，因此對方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故選D． 19．(2018湖南湘潭一中模擬)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．－∞，－ D．－∞，－∪(1，＋∞) 答案　C 解析?、佼攎＝－1時，不等式化為2x－6<0，即x<3，顯然不對任意實數(shù)x恒成立．②當m≠－1時，由題意得所以m<－．故選C． 20．(2018河北石家莊二中月考)在R上定義運算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，則滿足x☆(x－2)<0的實數(shù)x的取值范圍為(　　) A．(0，2) B．(－2，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2) 答案　B 解析　根據(jù)定義得x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，所以實數(shù)x的取值范圍為(－2，1)，故選B． 21．(2018湖北沙市中學月考)已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1．若對于任意的x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．－∞， B．(－∞，1) C．(1，5) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　因為f(x)<－m＋5?m(x2－x＋1)<6，而x2－x＋1>0，所以將不等式變形為m<，即不等式m<對于任意x∈[1，3]恒成立，所以只需求在[1，3]上的最小值即可．記g(x)＝，x∈[1，3]，記h(x)＝x2－x＋1＝x－2＋，顯然h(x)在x∈[1，3]上為增函數(shù)．所以g(x)在[1，3]上為減函數(shù)，所以g(x)min＝g(3)＝，所以m<．故選A． 22．(2018江西八校聯(lián)考)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，且y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)－f(x＋1)>0的解集為(　　) A．－∞，－∪(2，＋∞) B．－，2 C．－∞，∪(2，＋∞) D．，2 答案　D 解析　∵y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱．又∵f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴由f(2x－1)－f(x＋1)>0得f(2x－1)>f(x＋1)，∴|2x－1－2|<|x＋1－2|，∴(2x－3)2<(x－1)2，即3x2－10x＋8<0，(x－2)(3x－4)<0，解得<x<2，故選D． 23．(2018福建漳州八校聯(lián)考)對于問題：“已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，解關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，給出如下一種解法：由ax2＋bx＋c＞0的解集為(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集為(－2，1)，即關(guān)于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集為(－2，1)． 參考上述解法，若關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為－2，－∪，1，則關(guān)于x的不等式＋＜0的解集為________． 答案　－3，－∪(1，2) 解析　由＋＜0的解集為－2，－∪，1，且＋＜0，即＋＜0， 得－2＜＜－或＜＜1， 即－3＜x＜－或1＜x＜2， 故不等式＋＜0的解集為－3，－∪(1，2)． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018黑龍江虎林一中模擬)已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)． (1)求f(x)的解析式； (2)若對于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)， ∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，－＝5，＝0， ∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x． (2)f(x)＋t≤2恒成立等價于2x2－10x＋t－2≤0恒成立， ∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0． 設(shè)g(x)＝2x2－10x＋t－2，則由二次函數(shù)的圖象可知 g(x)＝2x2－10x＋t－2在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)， ∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，∴10＋t≤0，即t≤－10． ∴t的取值范圍為(－∞，－10]． 2．(2018湖北宜昌月考)已知拋物線y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)． (1)當m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？ (2)若關(guān)于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的兩個不等實根的倒數(shù)平方和不大于2，求m的取值范圍． 解　(1)根據(jù)題意，m≠1且Δ>0， 即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0， 所以m≠1且m≠0． (2)在m≠0且m≠1的條件下， 因為＋＝＝m－2， 所以＋＝2－ ＝(m－2)2＋2(m－1)≤2． 得m2－2m≤0，所以0≤m≤2． 所以m的取值范圍是{m|0<m<1或1<m≤2}． 3．(2018遼寧沈陽月考)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(－2)＝0，且2x≤f(x)≤對一切實數(shù)x都成立． (1)求f(2)的值； (2)求f(x)的解析式． 解　(1)∵2x≤f(x)≤對一切實數(shù)x都成立， ∴4≤f(2)≤4，∴f(2)＝4． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(－2)＝0，f(2)＝4， ∴? ∵ax2＋bx＋c≥2x，即ax2－x＋2－4a≥0， ∴Δ＝1－4a(2－4a)≤0，即(4a－1)2≤0， 得a＝，同理f(x)≤對一切實數(shù)x都成立，也解得a＝， ∴當a＝，滿足2x≤f(x)≤， ∴a＝，c＝2－4a＝1，故f(x)＝＋x＋1． 4．(2018江西八校聯(lián)考)已知二次函數(shù)f(x)＝mx2－2x－3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f(x)≤0的解集為[－1，n]． (1)當a>0時，解關(guān)于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax； (2)是否存在實數(shù)a∈(0，1)，使得關(guān)于x的函數(shù)y＝f(ax)－3ax＋1(x∈[1，2])的最小值為－5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由． 解　(1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集為[－1，n]知關(guān)于x的方程mx2－2x－3＝0的兩根為－1和n， 且m>0，由根與系數(shù)關(guān)系得 解得所以原不等式化為(x－2)(ax－2)>0． ①當0<a<1時，原不等式化為(x－2)x－>0且2<，解得x<2或x>； ②當a＝1時，原不等式化為(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2； ③當a>1時，原不等式化為(x－2)x－>0且2>，解得x<或x>2； 綜上所述，當0<a≤1時，原不等式的解集為 x； 當a>1時，原不等式的解集為x． (2)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，由(1)得m＝1， f(x)＝x2－2x－3， y＝f(ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3， 令ax＝t(a2≤t≤a)，則y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，對稱軸為t＝，因為a∈(0，1)， 所以a2<a<1，1<<， 所以函數(shù)y＝t2－(3a＋2)t－3在[a2，a]單調(diào)遞減， 所以當t＝a時，y的最小值為ymin＝－2a2－2a－3＝－5，解得a＝(負值舍去)．