1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性（第二課時(shí)） 本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》人教A版必修1第一章第三節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)的第1課時(shí)《函數(shù)的單調(diào)性》. 函數(shù)的單調(diào)性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象局部變化趨勢(shì),是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì).學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，但是缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述，所以本節(jié)課是學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一次重要提高。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有著示范性的作用，對(duì)解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題有著廣泛作用。此外在比較數(shù)的大小、導(dǎo)數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題中也有廣泛的應(yīng)用，它是整個(gè)高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識(shí)之一. 1.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念；判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。 2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的符號(hào)語(yǔ)言的認(rèn)知；應(yīng)用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。 1、 知識(shí)梳理 （一）.定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮： (1)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)． (2)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)． （二）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 1.設(shè)值:設(shè)任意x1、x2屬于給定區(qū)間，且； 2.作差:差； 3.變形：變形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等； 4.判號(hào):確定的正負(fù)； 5.下結(jié)論:由定義得出函數(shù)的單調(diào)性。 二、題型探究 類型一 求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性 例1.函數(shù)y＝|x2－2x－3|的圖象如圖所示，試寫出它的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性． 反思與感悟 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“∪”，可以用“和”來(lái)表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有． 類型二 證明單調(diào)性 例2.求證：函數(shù)f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函數(shù)． 反思與感悟 運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意取x1，x2且x1<x2的條件下，轉(zhuǎn)化為確定f(x1)與f(x2)的大小，要牢記五大步驟：取值→作差→變形→定號(hào)→小結(jié)． 類型三 單調(diào)性的應(yīng)用 命題角度1 利用單調(diào)性求參數(shù)范圍 例3 ① 已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞) 【解析】 由于二次函數(shù)開(kāi)口向上，故其增區(qū)間為[a，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，a]，而f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2. ② 若函數(shù)f(x)＝是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為( ) A. B. C. D.∪ 答案 A 【解析】 要使f(x)在R上是減函數(shù)，需滿足： 解得≤a＜. 反思與感悟 分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，除了要保證各段上單調(diào)外，還要接口處不能反超．另外，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖象不一定是連續(xù)不斷的． 命題角度2 用單調(diào)性解不等式 例4 已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范圍． 解 f(1－a)<f(2a－1)等價(jià)于 解得0<a<， 即所求a的取值范圍是0<a<. 反思與感悟 若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，則由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大??；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小． 3． 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有＞0，則必有( ) A．函數(shù)f(x)先增后減 B．函數(shù)f(x)先減后增 C．函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù) D．函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù) 【解析】由＞0知，當(dāng)a＞b時(shí)，f(a)＞f(b)；當(dāng)a＜b時(shí)，f(a)＜f(b)，所以函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)． 【答案】 C 2.若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且為增函數(shù)，f (1－a)<f(2a－1)，則a的取值范圍是 。 3.f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是____________． 【解析】 依題意，得不等式組解得＜x≤4. 【答案】 4.求證函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)．