《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運(yùn)算 2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運(yùn)算 2.2.3 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版必修4（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.2.3　向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(重點(diǎn))2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算．(重點(diǎn))3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)向量共線問(wèn)題．(難點(diǎn))4.理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．向量的數(shù)乘運(yùn)算 定義 實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積是一個(gè)向量 記法 λa 長(zhǎng)度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ＞0 方向與a的方向相同 λ＜0 方向與a的方向相反 思考：(1)何時(shí)有λa＝0? (2)從幾何角度考慮，向量2a和－a

2、與向量a分別有什么關(guān)系？ [提示]　(1)若λ＝0或a＝0則λa＝0. (2)2a與a方向相同，2a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的2倍，－a與a方向相反，－a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的. 2．向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律 設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù) ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 4．向量的線性運(yùn)算 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向 量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1aμ2b)＝λμ1aλμ2b. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨

3、析 (1)對(duì)于任意的向量a，總有0a＝0.(　　) (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，|λa|＝λa.(　　) (3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．(　　) [解析]　(1)錯(cuò)誤.0a＝0；(2)錯(cuò)誤．|λa|＝λ|a|(λ＞0)．(3)錯(cuò)誤．當(dāng)λ＜0時(shí)，－λ＞0，a與－λa的方向相同． [答案]　(1)　(2)　(3) 2．點(diǎn)C是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，下列正確的是(　　) A.＝3　　　　　　 B.＝2 C.＝ D.＝2 D　[由題意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正確．] 3．如圖2227，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝____

4、____. 圖2227 2　[由向量加法的平行四邊形法則知＋＝. 又∵O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO， ∴＝2，∴＋＝2， ∴λ＝2.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量的線性運(yùn)算 　(1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________. (2)化簡(jiǎn)下列各式： ①3(6a＋b)－9； ②－2； ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. (1)4b－3a　[(1)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. (2)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝

5、－a－b＝a＋b－a－b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.] [規(guī)律方法]　　向量數(shù)乘運(yùn)算的方法 (1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù). (2)向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算. [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)化簡(jiǎn)； (2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關(guān)系式3x－2y＝a，－4x

6、＋3y＝b，求向量x，y. [解]　(1)原式 ＝ ＝ ＝＝a－b. (2)由①3＋②2得，x＝3a＋2b，代入①得3(3a＋2b)－2y＝a， 所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 用已知向量表示未知向量 　(1)如圖2228，?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則＝(　　) 圖2228 A．a(chǎn)－b　　　　　 B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b (2)如圖2229所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，試用a，b分別表示，，. 圖2229 [思路探究]　先用向量加減法的幾何意義設(shè)計(jì)好總

7、體思路，然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示． (1)D　[(1)＝＋＝＋ ＝－＝a－b.] (2)由三角形中位線定理，知DE綊BC，故＝，即＝a. ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. ＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b. 母題探究：1.本例(1)中，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段OD的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G，試用a，b表示. [解]　因?yàn)镈G∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又因?yàn)镈F＝＝BD＝BD， 所以＝＝， 所以＝＋＝＋＝a＋b. 2．本例(1)中，若點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，設(shè)a＝，b＝，用a，b表示. [解]　由題意 解得 所以＝－＝a＋

8、b. [規(guī)律方法]　用已知向量表示其他向量的兩種方法 (1)直接法． (2)方程法． 當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程． 提醒：用已知向量表示未知向量的關(guān)鍵是弄清向量之間的數(shù)量關(guān)系. 向量共線問(wèn)題 [探究問(wèn)題] 1．已知m，n是不共線向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判斷a與b是否共線？ 提示：要判斷兩向量是否共線，只需看是否能找到一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb即可． 若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)． ∵m，n不共線，∴ ∵不存在λ同時(shí)

9、滿足此方程組，∴a與b不共線． 2．設(shè)兩非零向量e1和e2不共線，是否存在實(shí)數(shù)k，使ke1＋e2和e1＋ke2共線？ 提示：設(shè)ke1＋e2與e1＋ke2共線， ∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 則(k－λ)e1＝(λk－1)e2. ∵e1與e2不共線，∴只能有則k＝1. 　(1)已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，則共線的三個(gè)點(diǎn)是________． (2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若＝x＋y，求x＋y的值． [思路探究]　(1)將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題，例如∥可推出A，B，D三點(diǎn)共線．

10、(2)先用共線向量定理引入?yún)?shù)λ得＝λ，再用向量減法的幾何意義向＝x＋y變形，最后對(duì)比求x＋y. (1)A，B，D　[(1)∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2. ∴，共線，且有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線．] (2)由于A，B，P三點(diǎn)共線，則，在同一直線上，由共線向量定理可知，必存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ. ∴x＝1－λ，y＝λ，則x＋y＝1. [規(guī)律方法]　1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法 (1)一般來(lái)說(shuō)，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用結(jié)論：若

11、A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 2．利用向量共線求參數(shù)的方法 判斷、證明向量共線問(wèn)題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值． [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝(　　) A．－4　　 B．－8 C．4 D．8 A　[因?yàn)橄蛄縦a＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb

12、)??k＝－4(因?yàn)榉较蛳喾矗驭耍??k＜0)．] 2．(2018全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ A　[由題可得＝＋＝－(＋)＋＝－.] 3．對(duì)于向量a，b有下列表示： ①a＝2e，b＝－2e； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. 其中，向量a，b一定共線的有(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ A　[對(duì)于①，b＝－a，有a∥b； 對(duì)于②，b＝－2a，有a∥b； 對(duì)于③

13、，a＝4b，有a∥b； 對(duì)于④，a與b不共線．] 4．若|a|＝5，b與a方向相反，且|b|＝7，則a＝________b. －　[由題意知a＝－b.] 5．如圖2230所示，已知＝，用，表示. 圖2230 [解]?。剑剑剑?－) ＝－＋. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375