2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離練習(xí) 理.doc
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第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用(二) 空間的角與距離 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則sin〈,〉的值等于( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建系, 令A(yù)D=1, ∴=(1,1,1),=(1,-,0). ∴cos〈,〉==. ∴sin〈,〉=. 2.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2AB,E為AA1的中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AA1=2AB=2,則B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2). ∴=(0,-1,1),=(0,-1,2). ∴cos〈,〉==. 3.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120,則直線l與平面α所成的角等于( ) A.120 B.60 C.30 D.150 答案 C 解析 設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,則sinθ=|cos120|=,又0≤θ≤90.∴θ=30. 4.(2018天津模擬)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,則直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由題意,連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O,連接BO.∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,∴C1O⊥B1D1.易得C1O⊥平面DBB1D1,∴∠C1BO即為直線BC1與平面DBB1D1所成的角. 在Rt△OBC1中,OC1=2,BC1=2,∴直線BC1與平面DBB1D1所成角的正弦值為,故選C. 5.(2018遼寧沈陽(yáng)和平區(qū)模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,則直線BB1與平面ACD1所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系. 則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4). 設(shè)平面ACD1的法向量為n=(x,y,z),則 即取x=2,則y=2,z=1,故n=(2,2,1)是平面ACD1的一個(gè)法向量. 設(shè)直線BB1與平面ACD1所成的角是θ,則sinθ=|cos〈n,〉|===.故選A. 6.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,D是A1C1的中點(diǎn),則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 間接法:由正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等,依據(jù)題設(shè)條件,可知B1D⊥平面ACD,∴B1D⊥DC,故△B1DC為直角三角形. 設(shè)棱長(zhǎng)為1,則有AD=,B1D=,DC=,∴S△B1DC==. 設(shè)A到平面B1DC的距離為h,則有VA-B1DC=VB1-ADC, ∴hS△B1DC=B1DS△ADC. ∴h=,∴h=. 設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為θ,則sinθ==. 向量法: 如圖,取AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)各棱長(zhǎng)為2, 則有A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2). 設(shè)n=(x,y,z)為平面B1CD的法向量, 則有??n=(0,2,1). ∴sin〈,n〉==. 7.(2018山東師大附中模擬,理)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,AD=CD=,AB=,PA=,DA⊥AB,點(diǎn)Q在PB上,且滿足PQ∶QB=1∶3,則直線CQ與平面PAC所成角的正弦值為_(kāi)_______. 答案 解析 方法一:如圖,過(guò)點(diǎn)Q作QH∥CB交PC于點(diǎn)H. ∵DA⊥AB,DC∥AB,∴在Rt△ADC中,AC==. ∵PA⊥平面ABCD,∴在Rt△PAC中,PC==. 取AB的中點(diǎn)M,連接CM,∵DC∥AB,CM=AD=, ∴在Rt△CMB中,CB==, 又PB2=PA2+AB2=16,∴PC2+CB2=PB2,∴CB⊥PC. ∵QH∥BC,∴QH⊥PC.① ∵PA⊥CB,∴PA⊥QH.② 由①②可得,QH⊥平面PAC,∴∠QCH是直線CQ與平面PAC所成的角. ∵QH=BC=,HC=PC=,∴CQ==,∴sin∠QCH==. 方法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,),C(,,0),B(0,,0), ∵PQ=PB,∴Q(0,,),可知平面PAC的一個(gè)法向量為m=(-1,1,0),又=(-,-,), ∴|cos〈m,〉|==,故直線CQ與平面PAC所成角的正弦值為. 8.(2018上海八校聯(lián)考)如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體,已知AE⊥底面BCFE,DF∥AE,DF=AE=1,CE=,四邊形ABCD是正方形. (1)《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑,判斷四面體EABC是否為鱉臑,若是,寫出其每一個(gè)面的直角,并證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由. (2)記AB與平面AEC所成的角為θ,求cos2θ的值. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)∵AE⊥底面BCFE,EC,EB,BC都在底面BCFE上,∴AE⊥EC,AE⊥EB,AE⊥BC.∵四邊形ABCD是正方形,∴BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE.又∵BE?平面ABE,∴BC⊥BE,∴四面體EABC是鱉臑,∠AEB,∠AEC,∠CBE,∠ABC為直角. (2)∵AE=1,CE=,AE⊥EC, ∴AC=2,又ABCD為正方形. ∴BC=2,∴BE=. 作BO⊥EC于O,則BO⊥平面AEC,連接OA,則OA為AB在面AEC上的射影.∴θ=∠BAO,由等面積法得BEBC=ECOB. ∴OB=,sinθ==,cos2θ=1-2sin2θ=. 提示 本題也可用向量法求解. 9.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,理)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn). (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)由已知得AM=AD=2. 取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN. 由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB. (2)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,且AE===. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N(,1,2),=(0,2,-4),=(,1,-2),=(,1,2). 設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則即 可取n=(0,2,1). 于是|cos〈n,〉|==. 所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為. 10.如圖所示,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120,AB=AA1=2A1B1=2. (1)若M為CD中點(diǎn),求證:AM⊥平面AA1B1B; (2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120,連接AC,如圖,則△ACD為等邊三角形, 又M為CD中點(diǎn),∴AM⊥CD,由CD∥AB,得AM⊥AB, ∵AA1⊥底面ABCD,AM?平面ABCD,∴AM⊥AA1, 又AB∩AA1=A, ∴AM⊥平面AA1B1B. (2)∵四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120,AB=AA1=2A1B1=2,∴DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90,又AA1⊥底面ABCD, ∴以AB,AM,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz, 則A1(0,0,2),B(2,0,0),D(-1,,0),D1(-,,2), ∴=(,-,2),=(-3,,0),=(2,0,-2), 設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z), 則??y=x=z,令x=1,則n=(1,,1), ∴直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值為 sinθ=|cos〈n,〉|=||=. 11.(2018山西太原一模)如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3. (1)證明:平面ACF⊥平面BEFD; (2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直線AE與平面ABCD所成角的正切值. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面ABCD,∴BE⊥AC, ∵BD∩BE=B,∴AC⊥平面BEFD, ∴平面ACF⊥平面BEFD. (2)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,由(1)得AC⊥BD,分別以O(shè)A,OB為x軸和y軸,過(guò)點(diǎn)O作垂直于平面ABCD的直線為z,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz, ∵BE⊥平面ABCD,∴BE⊥BD,∵DF∥BE,∴DF⊥BD, ∴BD2=EF2-(DF-BE)2=8,∴BD=2. 設(shè)OA=a(a>0),則A(a,0,0),C(-a,0,0),E(0,,1),F(xiàn)(0,-,2),∴=(0,-2,1),=(-a,,1),=(a,,1). 設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面AEF的法向量,則即 令z1=2,∴m=(,1,2)是平面AEF的一個(gè)法向量, 設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面CEF的法向量, 則即令z2=2, ∴n=(-,1,2)是平面CEF的一個(gè)法向量, ∵二面角A-EF-C是直二面角,∴mn=-+9=0,∴a=. ∵BE⊥平面ABCD,∴∠BAE是直線AE與平面ABCD所成的角, ∵AB==2,∴tan∠BAE==. 故直線AE與平面ABCD所成角的正切值為. 1.(2017山西臨汾一模)如圖所示,點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是( ) A.90 .60 C.45 .30 答案 B 解析 將其還原成正方體ABCD-PQRS,顯然PB∥SC,△ACS為正三角形,∴∠ACS=60. 2.(2018成都一診)如圖,正四棱錐P-ABCD的體積為2,底面積為6,E為側(cè)棱PC的中點(diǎn),則直線BE與平面PAC所成的角為( ) A.60 B.30 C.45 D.90 答案 A 解析 如圖,正四棱錐P-ABCD中,根據(jù)底面積為6可得,BC=.連接BD,交AC于點(diǎn)O,連接PO,則PO為正四棱錐P-ABCD的高,根據(jù)體積公式可得,PO=1.因?yàn)镻O⊥底面ABCD,所以PO⊥BD,又BD⊥AC,PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,連接EO,則∠BEO為直線BE與平面PAC所成的角.在Rt△POA中,因?yàn)镻O=1,OA=,所以PA=2,OE=PA=1,在Rt△BOE中,因?yàn)锽O=,所以tan∠BEO==,即∠BEO=60. 3.如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,四邊形ABCD是正方形,四邊形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中點(diǎn),則GB與平面AGC所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 設(shè)GB與平面AGC所成的角為θ. 如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),設(shè)平面AGC的法向量為n1=(x1,y1,1),由???n1=(1,-1,1).sinθ===. 4.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接C1O,過(guò)C作CH⊥C1O于點(diǎn)H. ∵???CH⊥平面C1BD, ∴∠HDC為CD與平面BDC1所成的角. 5.(2018黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,點(diǎn)D在棱BB1上,若BD=3,則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 取AC的中點(diǎn)E,連接BE,如圖所示,可得=(+)=,即52cosθ=42(θ為與的夾角),∴cosθ=,sinθ=,tanθ=,又BE⊥平面AA1C1C,∴所求角的正切值為. 6.(2016北京東城質(zhì)量調(diào)研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.則A1B與平面ABD所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,CC1所在直線為z軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)CA=CB=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),A1(a,0,2),D(0,0,1),∴E(,,1),G(,,),=(,,),=(0,-a,1), ∵點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G, ∴⊥平面ABD,∴=0,解得a=2. ∴=(,,),=(2,-2,2),∵⊥平面ABD,∴為平面ABD的一個(gè)法向量. ∵cos<,>===,∴A1B與平面ABD所成的角的余弦值為. 7.(2018太原模擬)在三棱錐A-BCD中,底面BCD為邊長(zhǎng)是2的正三角形,頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心,若E為BC的中點(diǎn),且直線AE與底面BCD所成角的正切值為2,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 答案 D 解析 ∵頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心,而且△BCD是正三角形,∴三棱錐A-BCD是正三棱錐,∴AB=AC=AD.令底面△BCD的重心(即中心)為P,∵△BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,DE是BC邊上的高,∴DE=,PE=,DP=.∵直線AE與底面BCD所成角的正切值為2,即tan∠AEP=2,∴AP=,∵AE2=AP2+EP2,∴AD=2,于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,∴三棱錐A-BCD為正四面體.構(gòu)造正方體,由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體,故正方體的棱長(zhǎng)為,∴正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為,∴外接球的半徑為,∴外接球的表面積為4π()2=6π. 8.(2018江西臨海上一中一模)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為1.點(diǎn)E是棱A1B1的中點(diǎn),則直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是________. 答案 解析 取AB的中點(diǎn)為F,連接B1F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD,垂足為G,連接B1G,由正方體性質(zhì)知BB1⊥FG,BD∩BB1=B,BD?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,所以FG⊥平面BDD1B1,故∠FB1G為FB1與平面BDD1B1所成的角,所以FG=,B1F=,所以sin∠FB1G==.又因?yàn)锳E∥B1F,所以直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值是. 9.(2014福建,理)在平面四邊形ABCD中.AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖所示. (1)求證:AB⊥CD; (2)若M為AD中點(diǎn),求直線AD與平面MBC所成角的正弦值. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面BCD. 又CD?平面BCD,∴AB⊥CD. (2)過(guò)點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖所示. 由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD, ∴AB⊥BE,AB⊥BD. 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系. 依題意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M, 則=(1,1,0),=,=(0,1,-1). 設(shè)平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0), 則即取z0=1,得平面MBC的一個(gè)法向量n=(1,-1,1). 設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ, 則sinθ=|cos〈n,〉|==, 即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為. 10.(2017浙江)如圖,已知四棱錐P-ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn). (1)證明:CE∥平面PAB; (2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值. 解析 (1)如圖,設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,F(xiàn)B. 因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PD,PA中點(diǎn),所以EF∥AD且EF=AD, 又因?yàn)锽C∥AD,BC=AD,所以EF∥BC且EF=BC, 即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE∥BF,因此CE∥平面PAB. (2)分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N.連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ. 因?yàn)镋,F(xiàn),N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF中點(diǎn),在平行四邊形BCEF中,MQ∥CE. 由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD,N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD. 所以AD⊥平面PBN, 由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN. 過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH. MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角. 設(shè)CD=1. 在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=, 在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=, 在Rt△MQH中,QH=,MQ=, 所以sin∠QMH=, 所以,直線CE與平面PBC所成角的正弦值是.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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