2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第二課時） 本節(jié)課是高中《數(shù)學(xué)必修一》（人教A版）第二章第二節(jié)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》的內(nèi)容。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和難點，函數(shù)的思想貫穿于整個高中數(shù)學(xué)之中。本節(jié)課是學(xué)生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)和簡單的指數(shù)運算的基礎(chǔ)上，進一步研究指數(shù)函數(shù)及其圖象與性質(zhì)，它一方面可以進一步深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解與認(rèn)識，使學(xué)生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，同時也為今后進一步熟悉函數(shù)的性質(zhì)和作用，研究對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)打下堅實的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。 1.教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)及其運用。 2.教學(xué)難點：指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程及圖象與底的關(guān)系。 1． 知識梳理 1.指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)。 2.指數(shù)函數(shù)有哪些特征？ 答案：①底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)； ②指數(shù)：自變量，且為單個； ③系數(shù)：1； ④項數(shù)：只有一項 3.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)： 函數(shù) 圖 象 性 質(zhì) 定義域 值域 定點 單調(diào)性 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 取值 情況 若，則 若，則 若，則 若，則 對稱性 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱 2． 典題探究 類型一 指數(shù)函數(shù)的概念 例3.(1)下列一定是指數(shù)函數(shù)的是( ) A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝x D．y＝(a－2)ax (2)函數(shù)y＝(a－2)2ax是指數(shù)函數(shù)，則( ) A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)>0且a≠1 【精彩點撥】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷、求解． 【答案】 (1)C (2)C 方法規(guī)律：1．指數(shù)函數(shù)具有形式上的嚴(yán)格性，在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住四點： (1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù)； (2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上； (3)ax的系數(shù)必須為1； (4)指數(shù)函數(shù)不會是多項式，如y＝ax＋1 (a>0且a≠1)不是指數(shù)函數(shù)． 2．求指數(shù)函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法． 類型二 指數(shù)函數(shù)的定義域和值域 例2.求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝4x＋2x＋1＋2. 【精彩點撥】 ―→指數(shù)函數(shù) 【自主解答】 (1)要使函數(shù)式有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，因為函數(shù)y＝3x在R上是增函數(shù)，所以x≤0，故函數(shù)y＝的定義域為(－∞，0]． 因為x≤0，所以0<3x≤1， 所以0≤1－3x<1. 所以∈[0,1)， 即函數(shù)y＝的值域為[0,1)． (3)因為對于任意的x∈R，函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2都有意義，所以函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的定義域為R.因為2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋22x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函數(shù)y＝4x＋2x＋1＋2的值域為(2，＋∞)． 方法規(guī)律： 1．求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時，首先觀察函數(shù)是y＝ax型還是y＝af(x)型，前者的定義域是R，后者的定義域與f(x)的定義域一致，而求y＝型函數(shù)的定義域時，往往轉(zhuǎn)化為解指數(shù)不等式(組)． 2．函數(shù)y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)換元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定義域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域． 3．求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要注意與求其它函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))值域的方法相結(jié)合，要注意指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，切記準(zhǔn)確運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性． 類型三 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的最值或值域問題 例3.已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，且x∈R時，總有f(－x)＝－f(x)成立． (1)求a的值； (2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (3)求f(x)在[0,2]上的值域． 【精彩點撥】 (1)根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求a的值； (2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (3)結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可求f(x)在[0,2]上的值域． 【自主解答】 (1)∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－， 即＝，∴a＝1，∴f(x)＝. 方法規(guī)律： 1．指數(shù)函數(shù)本身不具有奇偶性，但是與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)可以具有奇偶性，其解決方法一般是利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)． 2．證明指數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的單調(diào)性，一般用函數(shù)單調(diào)性的定義進行． 三．達(dá)標(biāo)檢測 1．設(shè)f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( ) A．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù) C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) D．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù) 【解析】 ∵f(x)＝|x|，x∈R，∴f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝x，是減函數(shù)，故選D. 【答案】 D 2．下列判斷正確的是( ) A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5 【解析】 ∵y＝0.9x在定義域上是減函數(shù)，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5. 【答案】 D 3．已知函數(shù)f(x)＝＋a為奇函數(shù)，則常數(shù)a＝______. 【解析】 ∵函數(shù)f(x)＝＋a為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝0，＋a＝0，a＝－. 【答案】 － 4．函數(shù)y＝2|x|的單調(diào)減區(qū)間是________． 【答案】 (－∞，0]． 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝a－， (1)判斷并說明函數(shù)的單調(diào)性； (2)確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)及此時f(x)的值域． 【解】 (1)任取x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝， ∵x1＜x2，∴2 x1＜2 x2， 即2 x1－2 x2＜0， 又∵2 x1＋1＞0,2 x2＋1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． ∴不論a為何值，f(x)總為增函數(shù)． (2)∵f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，a－＝－a＋， 解得a＝1，故f(x)＝1＋在其定義域內(nèi)是增函數(shù)， 當(dāng)x趨向－∞時，2x＋1趨向1，f(x)趨向－1， 當(dāng)x趨向＋∞時，2x＋1趨向＋∞，f(x)趨向1， ∴f(x)的值域(－1,1)．