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寒假訓(xùn)練08平行、垂直關(guān)系的證明 [2018伊春二中]如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，． 求證：（1）平面； （2）． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析． 【解析】（1）由題意知，為的中點(diǎn)， 又為的中點(diǎn)，因此． 又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面? （2）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以平面? 因?yàn)槠矫妫裕? 又因?yàn)?，平面，平面，? 所以平面， 又因?yàn)槠矫妫裕? 因?yàn)?，所以矩形是正方形，因此? 因?yàn)椋矫?，，所以平面? 又因?yàn)槠矫?，所以? 一、選擇題 1．[2018東北育才]已知互不重合的直線，，互不重合的平面，，給出下列四個(gè)命題，正確命題的個(gè)數(shù)是（） ①若，，，則 ②若，，，則 ③若，，，則 ④若，，則 A．1 B．2 C．3 D．4 2．[2018阜蒙二高]若、是兩個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A．如果，那么，與所成的角和與所成的角相等 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 3．[2018南康中學(xué)]下列四個(gè)正方體圖形中，，，為正方體所在棱的中點(diǎn)，則能得出平面平面的是（） A． B． C． D． 4．[2018安達(dá)田家炳中學(xué)]如圖所示，在正方體中，若是的中點(diǎn)，則直線垂直于（） A． B． C． D． 5．[2018九江二中]如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿、、把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使、、重合，重合后的點(diǎn)記為．給出下列關(guān)系： ①平面；②平面；③；④平面．其中成立的有（） A．①與② B．①與③ C．②與③ D．③與④ 6．[2018福州一中]如圖所示，在三棱錐中，平面平面，，，則（） A．平面 B．平面 C．與平面相交但不垂直 D．平面 7．[2018福州期末]如下圖，梯形中，，，，，將沿對(duì)角線折起．設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面．給出下面四個(gè)命題： ①；②三棱錐的體積為；③平面； ④平面平面．其中正確命題的序號(hào)是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 8．[2018鶴崗一中]如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，， 且；則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A． B． C．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等 9．[2018惠民縣二中]如圖，矩形，下列結(jié)論中不正確的是（） A． B． C． D． 10．[2018東城二中]如圖，已知四邊形是正方形，，，，都是等邊三角形，、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)， 分別以、、、為折痕將四個(gè)等邊三角形折起，使得、、、四點(diǎn)重合于一點(diǎn)，得到一個(gè)四棱錐．對(duì)于下面四個(gè)結(jié)論： ①與為異面直線；②直線與直線所成的角為； ③平面；④平面平面． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 11．[2018泉州期末]某正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，則在這個(gè)正方體中（） A．與相交 B．與平行 C．與平行 D．與異面 12．[2018鄂州期中]如圖，所在的平面，是的直徑，是上的一點(diǎn)，于，，給出下列結(jié)論：①平面；②平面；③；④平面．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題 13．[2018姜堰期中]已知，是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面給出下列四個(gè)命題： （1）若，，則 （2）若，，則 （3）若，，，則 （4）若，，則 其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號(hào)) 14．[2018姜堰期中]如圖，直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，的面積為_(kāi)______． 15．[2018南寧三中]，是兩個(gè)平面，，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果，，，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么； ④如果，，那么與所成的角和與所成的角相等． 其中正確的命題有_________．（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)） 16．[2018洛陽(yáng)名校]正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，給出以下命題： ①當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有平面； ②當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有平面； ③過(guò)點(diǎn)且與直線和所成的角都為的直線有且只有3條． 其中正確命題為_(kāi)_______． 三、解答題 17．[2018桂林十八中]如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，分別為，的中點(diǎn)． （1）證明：直線； （2）求三棱錐的體積． 18．[2018正定縣三中]如圖，三棱柱，底面，且為正三角形，，為中點(diǎn)． （1）求三棱錐的體積； （2）求證：平面平面； （3）求證：直線平面．  寒假訓(xùn)練08平行、垂直關(guān)系的證明 一、選擇題 1．【答案】C 【解析】由題意，已知互不重合的直線，和互不重合的平面，， 在A中，由于，，，過(guò)直線與平面，都相交的平面， 記，，則且，所以，又，所以， 故A是正確的； 在B中，若，，，則由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)得， 所以是正確； 在C中，若，，，則由線面垂直的判定定理得， 所以是正確； 在D中，若，，則或，所以是不正確的，故選C． 2．【答案】B 【解析】A，如果，，根據(jù)線面角的定義可知，與所成的角和，與所成的角均相等，故A正確； B，如果，，，、可平行也可以相交，不能得出， 故B錯(cuò)誤； C，如果，，那么與無(wú)公共點(diǎn)，則，故C正確； D，如果，則存在直線，使，由，可得，那么， 故D正確，故選B． 3．【答案】B 【解析】B中，可證，，故可以證明平面， 平面．又，所以平面平面．故選B． 4．【答案】B 【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，，，，，，，，，，，，則，即，故選B． 5．【答案】B 【解析】∵，，∴，，∴平面， 故①正確； 同理可得平面，又∵平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理， 得，故③正確，故選B． 6．【答案】B 【解析】∵，，∴． 又∵平面平面，平面平面，∴平面，故選B． 7．【答案】B 【解析】①，，， ，，， 平面平面，且平面平面，平面， 平面，，故不成立，故①錯(cuò)誤； ②棱錐的體積為，故②錯(cuò)誤； ③由①知平面，故③正確； ④由①知平面，又平面，， 又，且、平面，， 平面，又平面， 平面平面，故④正確．故選B． 8．【答案】D 【解析】在正方體中，平面， 而平面，故，故A正確． 又平面，因此平面，故B正確． 當(dāng)變化時(shí)，三角形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離，它是一個(gè)定值，故三棱錐的體積為定值（此時(shí)可看成三棱錐的體積），故C正確． 在正方體中，點(diǎn)到的距離為，而到的距離為1，D是錯(cuò)誤的． 綜上，故選D． 9．【答案】A 【解析】∵矩形，∴， 若，則平面， 又平面，則過(guò)平面外一面有兩條直線與平面垂直，不成立， 故不正確，故A不正確； ∵矩形，∴，， ∴平面，∴，故B正確； ∵矩形，∴由三垂線定理得，故C正確； ∵矩形，∴由直線與平面垂直的性質(zhì)得，故D正確．故選A． 10．【答案】D 【解析】①錯(cuò)誤．所得四棱錐中，設(shè)中點(diǎn)為，則、兩點(diǎn)重合， ∵，即，即與不是異面直線； ②正確．∵，與重合，且與所成角為， 說(shuō)明與所成角為； ③正確．∵，平面，平面， ∴平面，∴平面； ④正確．∵平面，平面，點(diǎn)， ∴平面平面，即平面平面，故選D． 11．【答案】B 【解析】根據(jù)題意得到立體圖如圖所示： A．與是異面直線，故不相交； B．與平行，由立體圖知是正確的； C．與位于兩個(gè)平行平面內(nèi)，故不正確； D．與是相交的． 故答案為B． 12．【答案】C 【解析】因?yàn)樗诘钠矫?，所在的平面，所以? 而，，所以平面，故①正確； 又因?yàn)槠矫?，所以，而，? 所以平面，故②正確； 而平面，所以，而，， 所以平面，而平面，所以，故③正確； 因?yàn)槠矫?，假設(shè)平面，所以，顯然不成立，故④不正確；故選C． 二、填空題 13．【答案】（1） 【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知若，，則成立； （2）若，，則或與相交；故（2）不成立； （3）根據(jù)面面平行的可知，當(dāng)與相交時(shí)，，若兩直線不相交時(shí)，結(jié)論不成立； （4）若，，則或，故（4）不成立． 故正確的是（1），故答案為（1）． 14．【答案】 【解析】將直三棱柱沿棱展開(kāi)成平面連接，與的交點(diǎn)即為滿足最小時(shí)的點(diǎn)， 由于，，，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得， 由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得，，，．∴， 的面積為，故答案為． 15．【答案】②③④ 【解析】①如果，不一定相交，不能得出，故錯(cuò)誤； ②如果，則存在直線，使，由，可得，那么．故正確； ③如果，，那么與無(wú)公共點(diǎn)，則．故正確； ④如果，，那么，與所成的角和，與所成的角均相等．故正確； 故答案是②③④． 16．【答案】②③ 【解析】①當(dāng)位于與平面的交點(diǎn)處時(shí)，在平面內(nèi)， ②因?yàn)榇怪庇诤?，所以成立? ③和成角，過(guò)點(diǎn)與兩直線成的直線有三條 故答案為②③． 三、解答題 17．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）． 【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連，， ∵為的中點(diǎn)，∴，， 又，，∴為平行四邊形，∴， ，，∴． （2）∵，為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)． 又，∴， 即三棱錐的體積為． 18．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析． 【解析】（1）∵為正三角形，為中點(diǎn)，∴， 由可知，，，∴． 又∵底面，且，∴底面，且， ∴． （2）∵底面，∴． 又，∴平面． 又平面，∴平面平面． （3）連接交于，連接， 在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以， 又平面，∴直線平面．