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11.1　隨機事件及其概率 命題探究 (2017課標全國Ⅱ,18,12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下: (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計A的概率; (2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān); 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01). 附: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 , K2=. 解析　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”. 由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C). 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62, 故P(B)的估計值為0.62. 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66, 故P(C)的估計值為0.66. 因此,事件A的概率估計值為0.620.66=0.409 2. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+≈52.35(kg). 核心考點 1.頻率分布直方圖; 2.獨立性檢驗; 3.相互獨立事件的概率乘法公式; 4.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征. 思路分析 (1)由題意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分別求得B,C發(fā)生的頻率,即可求得A的概率; (2)完成22列聯(lián)表,求得觀測值,與參考值比較,即可求得有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān); (3)根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù)的估計值. 思維拓展 第3問解法二:根據(jù)已知數(shù)據(jù)分析可得中位數(shù)一定落在第四組[50,55)中,設(shè)中位數(shù)是x, 則0.0045+0.025+0.0445+(x-50)0.068=0.5,解得x≈52.35,即新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為52.35 kg. 方法總結(jié) 解決統(tǒng)計圖表問題時,應(yīng)正確理解圖表中各量的意義,通過圖表掌握信息是解決該類問題的關(guān)鍵.頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布. 儲備知識 頻率分布直方圖的特征: (1)各小矩形的面積和為1. (2)縱軸的含義為頻率/組距,小矩形的面積=組距=頻率. (3)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘其底邊中點的橫坐標之和. (4)眾數(shù)的估計值為最高的小矩形的底邊中點的橫坐標. (5)中位數(shù)是把頻率分布直方圖劃分為左、右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標. 命題規(guī)律 1.必考內(nèi)容:各種統(tǒng)計圖表與概率的有關(guān)內(nèi)容相結(jié)合或與統(tǒng)計案例相結(jié)合. 2.考查形式:以解答題為主,將統(tǒng)計與概率知識結(jié)合起來考查. 3.分值:約12分. 能力要求 1.會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖,會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征,理解用樣本估計總體的思想; 2.了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單的應(yīng)用. 考綱解讀 考點 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測熱度 事件與概率 ①了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義,了解頻率與概率的區(qū)別; ②了解兩個互斥事件的概率加法公式 掌握 2016北京,16; 2014課標Ⅰ,5 選擇題 解答題 ★★★ 分析解讀　1.了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.2.了解等可能事件的概率的意義,會用排列、組合的基本公式計算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式計算一些事件的概率是高考的熱點. 五年高考 考點　事件與概率 1.(2014課標Ⅰ,5,5分)4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動,則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D 2.(2015江蘇,5,5分)袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為　　　　. 答案　 3.(2016北京,16,13分)A,B,C三個班共有100名學生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)試估計C班的學生人數(shù); (2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率; (3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時).這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結(jié)論不要求證明) 解析　(1)由題意知,抽出的20名學生中,來自C班的學生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學生人數(shù)估計為100=40. (2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5, 事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”, j=1,2,…,8. 由題意可知,P(Ai)=,i=1,2,…,5;P(Cj)=, j=1,2,…,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)==,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8. 設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15=. (3)μ1<μ0. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組 考點　事件與概率 1.(2018江西宜春昌黎實驗學校第二次段考,7)五個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的硬幣,所有人同時翻轉(zhuǎn)自己的硬幣.若硬幣正面朝上,則這個人站起來;若硬幣正面朝下,則這個人繼續(xù)坐著.那么,沒有相鄰的兩個人站起來的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 2.(2017廣東清遠清新一中一模,3)從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A.至少有1個白球;都是白球 B.至少有1個白球;至少有1個紅球 C.恰有1個白球;恰有2個白球 D.至少有1個白球;都是紅球 答案　C 3.(2017山西運城4月模擬,4)已知五條長度分別為1,3,5,7,9的線段,現(xiàn)從這五條線段中任取三條,則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 4.(2016湖南衡陽八中一模,6)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為(　　) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 答案　C B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:35分　時間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共15分) 1.(2017湖南郴州三模,3)從集合A={-2,-1,2}中隨機抽取一個數(shù)記為a,從集合B={-1,1,3}中隨機抽取一個數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　A 2.(2017東北三省四市二模,8)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次,事件“至少有一次正面向上”的概率為p,且p≥,則n的最小值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 3.(2016上海二模,16)設(shè)M、N為兩個隨機事件,如果M、N為互斥事件,那么(　　) A.∪是必然事件 B.M∪N是必然事件 C.與一定為互斥事件 D.與一定不為互斥事件 答案　A 二、填空題(共5分) 4.(2018安徽皖南八校12月聯(lián)考,13)在1,2,3,4,5,6,7,8中任取三個不同的數(shù),取到3的概率為　　　　. 答案　 三、解答題(共15分) 5.(2018湖北荊州中學第二次月考,18)某影院為了宣傳影片《戰(zhàn)狼Ⅱ》,準備采用以下幾種方式來擴大影響,吸引市民到影院觀看影片,根據(jù)以往經(jīng)驗,預(yù)測: ①分發(fā)宣傳單需要費用1.5萬元,可吸引30%的市民,增加收入4萬元; ②網(wǎng)絡(luò)上宣傳,需要費用8千元,可吸引20%的市民,增加收入3萬元; ③制作小視頻上傳微信群,需要費用2.5萬元,可吸引35%的市民,增加收入5.5萬元; ④與商場合作需要費用1萬元,購物滿800元者可免費觀看影片(商場購票),可吸引15%的市民,增加收入2.5萬元. 問: (1)在三名觀看影片的市民中,至少有一名是通過微信群宣傳方式被吸引來的概率是多少? (2)影院預(yù)計可增加的盈利是多少? 解析　(1)設(shè)事件A:不是通過微信宣傳方式被吸引來的觀眾,則P(A)=1-0.35=0.65, 設(shè)事件B:三名觀眾中至少有一名是通過微信宣傳方式被吸引的觀眾,則P(B)=1-0.653=0.725 375. (2)增加盈利為(4-1.5)0.3+(3-0.8)0.2+(5.5-2.5)0.35+(2.5-1)0.15=2.465萬元. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　隨機事件的頻率與概率的常見類型及解題策略 1.(2017廣東韶關(guān)六校聯(lián)考,18)某商店計劃每天購進某商品若干件,商店每銷售1件該商品可獲利50元.若供大于求,剩余商品全部退回,則每件商品虧損10元;若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑,此時每件調(diào)劑商品可獲利30元. (1)若商店一天購進該商品10件,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于日需求量n(單位:件,n∈N)的函數(shù)關(guān)系式; (2)商店記錄了50天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表: 日需求量n 8 9 10 11 12 頻數(shù) 10 10 15 10 5 ①假設(shè)該店在這50天內(nèi)每天購進10件該商品,求這50天的日利潤(單位:元)的平均數(shù); ②若該店一天購進10件該商品,記“當天的利潤在區(qū)間[400,550]”為事件A,求P(A)的估計值. 解析　(1)當日需求量n≥10,n∈N時,利潤y=5010+(n-10)30=30n+200; 當日需求量n<10,n∈N時,利潤y=50n-(10-n)10=60n-100. 所以利潤y與日需求量n的函數(shù)關(guān)系式為 y= (2)50天內(nèi)有10天獲得的利潤為380元,有10天獲得的利潤為440元,有15天獲得的利潤為500元,有10天獲得的利潤為530元,有5天獲得的利潤為560元. ①=476. 故這50天的日利潤的平均數(shù)為476元. ②當且僅當日需求量n為9或10或11時,事件A發(fā)生.由所給數(shù)據(jù)知,當n=9或10或11時的頻率為=0.7.故P(A)的估計值為0.7. 方法2　互斥事件、對立事件的概率問題的解題方法 2.(2017江西七校聯(lián)考一模)做一個擲骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于4的點數(shù)出現(xiàn)”,在一次試驗中,事件A+發(fā)生的概率為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　C 3.(2017江蘇常州期末,9)男隊有號碼分別為1,2,3的三名乒乓球運動員,女隊有號碼為1,2,3,4的四名乒乓球運動員,現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場,則出場的兩名運動員號碼不同的概率為　　　　. 答案