1.3.3 函數(shù)的奇偶性（第二課時） 一．選擇題 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為( ) A． y＝ B． y＝ C． y＝x2 D． y＝x 【答案】A 【解析】易判斷A，C為偶函數(shù)，B，D為奇函數(shù)，但函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以選A. 2．對于定義域為R的任意奇函數(shù)f(x)都恒成立的是( ) A． f(x)－f(－x)≥0 B． f(x)－f(－x)≤0 C． f(x)f(－x)≤0 D． f(x)f(－x)>0 【答案】C 【解析】由f(－x)＝－f(x)知f(－x)與f(x)互為相反數(shù)，∴只有C成立. 3．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是( ) A． f(1)＜f＜f B． f＜f(1)＜f C． f＜f＜f(1) D． f＜f(1)＜f 【答案】B 【點睛】本題考查的知識點是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知條件，判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上函數(shù)）滿足，是解答本題的關(guān)鍵． 4．定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f(x)( ) A． 在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù) B． 在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù) C． 在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù) D． 在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù) 【答案】B 【解析】由f(x)＝f(2－x)，得f(x)關(guān)于x=1對稱，則由[1，2]上是減函數(shù)得[0，1]上是增函數(shù)，再由偶函數(shù)性質(zhì)得[-1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)f(x)關(guān)于x=1對稱，得[2，3]上是增函數(shù)，依次類推得在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)，選B. 5．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，則f(x)＝( ) A． x2 B． 2x2 C． 2x2＋2 D． x2＋1 【答案】D 6．已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(a)≥f(－2)，則a的取值范圍是( ) A． a≤－2 B． a≥2 C． a≤－2或a≥2 D． －2≤a≤2 【答案】D 【解析】由已知，函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)， 若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2； 若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2. 綜上知－2≤a≤2. 答案：D. 點睛：1、函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求解析式中字母的值有兩種方法：①f(?x)=f(x)；②特殊的實數(shù)x0,f(?x0)=f(x0)；2、對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 2． 填空題 7．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且對于任意實數(shù)x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________. 【答案】0 【解析】∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4， ∴f[f(7)]＝f(－4)＝f(－4＋4)＝f(0)＝0. 點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 8．若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則滿足f(π)<f(a)的實數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】(－π，π) 9．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)且f(1)＝0，則不等式的解集為________. 【答案】{x|－1<x<0或0<x<1} 【解析】由得，所以當x時; 當x時;因為f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以; 當x時,因此解集為{x|－1<x<0或0<x<1} 10．定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖像與f(x)的圖像重合，設(shè)a>b>0，給出下列不等式： ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)<g(a)－g(b)； ③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a). 其中成立的是________. 【答案】①③ 【解析】－f(－a)＝f(a)，g(－b)＝g(b)， ∵a>b>0，∴f(a)>f(b)，g(a)>g(b). ∴f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a) >g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴①成立. 又∵g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)，∴③成立. 3． 解答題 11．（2013江蘇11）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當x>0時，f(x)=x2-4x； （1）求f(0); （2）求f(x)的解析式； （3）求不等式f(x)>x的解集. 【答案】(1)f(0)=0;(2)f(x)= (3)(-5,0)∪(5,+∞) 【解析】試題分析：（1）由奇函數(shù)定義得，再令x=0，可得f(0)（2）時由奇函數(shù)定義，將所求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，即得解析式（3）分段列不等式組，最后求兩個不等式組的并集 試題解析：(1) f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(0)=0;(2),f(x)= (3) f(x)>x , 12．已知函數(shù)y＝f(x)(x≠0)對于任意的x，y∈R且x，y≠0都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判斷函數(shù)y＝f(x)(x≠0)的奇偶性． 【答案】（1）f(1)＝0，f(－1)＝0；（2）偶函數(shù). 【解析】試題分析：（1）令x＝y(tǒng)＝1即可得f(1)，令x＝y(tǒng)＝－1即可得f(－1)＝0； （2）令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由（1）可得偶函數(shù). (2)由題意可知，函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱， 令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f (－1)， 因為f(－1)＝0， 所以f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)(x≠0)為偶函數(shù)．