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培優(yōu)點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn) 1．零點(diǎn)的判斷與證明 例1：已知定義在上的函數(shù)， 求證：存在唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)屬于． 【答案】見解析 【解析】，，，在單調(diào)遞增， ，，，，使得 因?yàn)閱握{(diào)，所以的零點(diǎn)唯一． 2．零點(diǎn)的個數(shù)問題 例2：已知函數(shù)滿足，當(dāng)，，若在區(qū)間內(nèi)， 函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，當(dāng)時，， 所以，而有三個不同零點(diǎn)與有三個不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得： 3．零點(diǎn)的性質(zhì) 例3：已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在中，通過作圖可發(fā)現(xiàn)在關(guān)于中心對稱， 由可得是周期為2的周期函數(shù)，則在下一個周期中，關(guān)于中心對稱，以此類推。 從而做出的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)值在何處取到），再看圖像，，可視為將的圖像向左平移2個單位后再向上平移2個單位， 所以對稱中心移至，剛好與對稱中心重合，如圖所示：可得共有3個交點(diǎn)， 其中，與關(guān)于中心對稱，所以有。所以． 4．復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn) 例4：已知函數(shù)，若方程恰有七個不相同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考慮通過圖像變換作出的圖像（如圖），因?yàn)樽疃嘀荒芙獬?個，若要出七個根，則，，所以，解得：． 對點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、選擇題 1．設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，∴， ∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的，且為增函數(shù)， ∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間是． 2．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足（ ） A． B． C． D．的符號不確定 【答案】C 【解析】在上是增函數(shù)，若，則． 3．函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則由題意得，解得， 故選C． 4．若，則函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間（ ） A．和內(nèi) B．和內(nèi) C．和內(nèi) D．和內(nèi) 【答案】A 【解析】∵，∴，，， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間，內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)是二次函數(shù)， 最多有兩個零點(diǎn)．因此函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間，內(nèi)，故選A． 5．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的零點(diǎn)個數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即0是函數(shù)的一個零點(diǎn)，當(dāng)時，令，則，分別畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，所以函數(shù)有一個零點(diǎn)， 根據(jù)對稱性知，當(dāng)時函數(shù)也有一個零點(diǎn)． 綜上所述，的零點(diǎn)個數(shù)為3． 6．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ） A．3 B．2 C．7 D．0 【答案】B 【解析】方法一：由得或，解得或， 因此函數(shù)共有2個零點(diǎn)． 方法二：函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)共有2個零點(diǎn)． 7．已知函數(shù)，則使方程有解的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】當(dāng)時，，即，解得；當(dāng)時，，即， 解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D． 8．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當(dāng)時，與軸無交點(diǎn)，不合題意，所以；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以，即，解得或．故選B． 9．已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，畫出的大致圖象（圖略）．觀察它與直線的交點(diǎn)，得知當(dāng)或時，有交點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)．故選D． 10．已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，則，因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以，只有一個實(shí)根，即只有一個實(shí)根，則，解得． 11．已知當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)與的大致圖象．分兩種情形： （1）當(dāng)時，，如圖①，當(dāng)時，與的圖象有一個交點(diǎn)，符合題意． （2）當(dāng)時，，如圖②，要使與的圖象在上只有一個交點(diǎn)， 只需，即，解得或（舍去）． 綜上所述，．故選B． 12．已知函數(shù)和在的圖像如下，給出下列四個命題： （1）方程有且只有6個根 （2）方程有且只有3個根 （3）方程有且只有5個根 （4）方程有且只有4個根 則正確命題的個數(shù)是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】每個方程都可通過圖像先拆掉第一層，找到內(nèi)層函數(shù)能取得的值，從而統(tǒng)計(jì)出的總數(shù)． （1）中可得，，，進(jìn)而有2個對應(yīng)的，有2個，有2個，總計(jì)6個，（1）正確； （2）中可得，，進(jìn)而有1個對應(yīng)的，有3個，總計(jì)4個， （2）錯誤； （3）中可得，，，進(jìn)而有1個對應(yīng)的，有3個，有1個，總計(jì)5個，（3）正確； （4）中可得：，，進(jìn)而有2個對應(yīng)的，有2個，共計(jì)4個，（4）正確 則綜上所述，正確的命題共有3個． 二、填空題 13．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為________． 【答案】2 【解析】由，得，作出函數(shù)和的圖象， 由上圖知兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，故函數(shù)有2個零點(diǎn)． 14．設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，若，，則所在的區(qū)間是______． 【答案】 【解析】令，則，易知為增函數(shù)，且，，∴所在的區(qū)間是． 15．函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是________． 【答案】2 【解析】當(dāng)時，令，解得（正根舍去），所以在上有一個零點(diǎn)； 當(dāng)時，恒成立，所以在上是增函數(shù)．又因?yàn)椋?，所以在上有一個零點(diǎn)，綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為2． 16．已知函數(shù)，，若方程恰有4個互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】設(shè)，， 在同一直角坐標(biāo)系中作出，的圖象如圖所示． 由圖可知有4個互異的實(shí)數(shù)根等價于與的圖象有4個不同的交點(diǎn)且4個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，所以有兩組不同解， 消去得有兩個不等實(shí)根， 所以，即， 解得或．又由圖象得，∴或． 三、解答題 17．關(guān)于的二次方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】 【解析】顯然不是方程的解， 時，方程可變形為， 又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴在上的取值范圍是，∴，∴， 故的取值范圍是． 18．設(shè)函數(shù)． （1）作出函數(shù)的圖象； （2）當(dāng)且時，求的值； （3）若方程有兩個不相等的正根，求的取值范圍． 【答案】（1）見解析；（2）2；（3）． 【解析】（1）如圖所示． （2）∵ 故在上是減函數(shù)，而在上是增函數(shù)． 由且，得且，∴． （3）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，方程有兩個不相等的正根．