《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 階段復(fù)習(xí)課 第3課 平面向量學(xué)案 新人教A版必修4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 階段復(fù)習(xí)課 第3課 平面向量學(xué)案 新人教A版必修4(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三課 平面向量
[核心速填]
1.向量的運(yùn)算
(1)加法:①+=,②若四邊形OABC為平行四邊形,則+=.
(2)減法:-=.
(3)數(shù)乘:|λa|=|λ||a|.
(4)數(shù)量積:ab=|a||b|cos θ(a與b的夾角為θ).
2.兩個重要定理
(1)向量共線定理:向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.
(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底.
3.兩個非零向量平行、垂直的充要條件
若a=(x1,y
2、1)b=(x2,y2),則:
(1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0.
4.平面向量的三個性質(zhì)
(1)若a=(x,y),則|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ==.
[體系構(gòu)建]
[題型探究]
平面向量的線性運(yùn)算
(1)平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三點(diǎn),點(diǎn)C在直線AB上,且=,連接DC延長至E,使||=||,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________.
圖21
(2)
3、如圖21,在正五邊形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e. 【導(dǎo)學(xué)號:84352275】
(1) [(1)∵=,
∴-=(-).
∴=2-=(3,-6),
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,-6).
由||=||,且E在DC的延長線上,
∴=-.設(shè)E(x,y),
則(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),
得
解得即E.
(2)a-c+b-d-e
=(a+b)-(c+d+e)
=(+)-(++)
=-=+.
如圖,連接AC,并延長至點(diǎn)F,使CF=AC,則=,所以=+,即為所求作的向量a-c+b-d-e.]
[規(guī)律方法] 1.向量加法是由三角
4、形法則定義的,要點(diǎn)是“首尾相連”,即+=.
向量加法的平行四邊形法則:將兩向量移至共起點(diǎn),分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點(diǎn)對角線的向量即為向量的和.加法滿足交換律、結(jié)合律.
2.向量減法實質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算,是相反向量的作用.
幾何意義有兩個:一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量;二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量.注意兩向量要移至共起點(diǎn).
3.?dāng)?shù)乘運(yùn)算即通過實數(shù)與向量的乘積,實現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換.
[跟蹤訓(xùn)練]
1.如圖22所示,在△ABC中,=,P是BN上的一點(diǎn),若=m+,則實數(shù)m的值為________.
圖22
[設(shè)=λ,
5、
則=+=-+m+=(m-1)+.
=+=-+.
∵與共線,∴(m-1)+=0,
∴m=.]
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
(1)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為( )
A. B.
C.- D.-
(2)如圖23,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,=2.若=-3,則=________. 【導(dǎo)學(xué)號:84352276】
圖23
(1)A (2) [(1)=(2,1),=(5,5),向量=(2,1)在=(5,5)上的投影為||cos〈,〉=||===.
(2)因為==-2-=
6、-3,
所以=.]
[規(guī)律方法] 向量數(shù)量積的求解策略
(1)利用數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解.
在數(shù)量積運(yùn)算律中,有兩個形似實數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛,即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,上述兩公式以及(a+b)(a-b)=a2-b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.
(2)借助零向量.
即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進(jìn)行向量的移項以及平方等變形,求解數(shù)量積.
(3)借助平行向量與垂直向量.
即借助向量的拆分,將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積,借助a⊥b
7、,則ab=0等解決問題.
(4)建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.在邊長為1的菱形ABCD中,∠BAD=60,E是BC的中點(diǎn),則等于
( )
A. B.
C. D.
D [建立如圖平面直角坐標(biāo)系,則A,C,B.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為,
∴=(,0),=,
∴==.]
平面向量的平行與垂直問題
(1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ=
( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
(2)設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點(diǎn),且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).
①若=,求
8、D點(diǎn)的坐標(biāo).
②設(shè)向量a=,b=,若ka-b與a+3b平行,求實數(shù)k的值.
(1)B [(1)因為m+n=(2λ+3,3),
m-n=(-1,-1),
且(m+n)⊥(m-n),
所以(m+n)(m-n)=-2λ-3-3=0,
解得λ=-3.
(2)①設(shè)D(x,y).
因為=,
所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1),
化為(1,-5)=(x-4,y-1),
所以
解得
所以D(5,-4).
②因為a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3),
所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k
9、-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4).
因為ka-b與a+3b平行,
所以7(-5k-3)-4(k-2)=0,
解得k=-.所以k=-.]
母題探究:1.將例3(2)②中的“”改為“”,“平行”改為“垂直”,求實數(shù)k的值.
[解] 因為a==(1,-5),b==(3,-2),
所以ka-b=(k-3,-5k+2),
a+3b=(10,-11),
因為(ka-b)⊥(a+3b),
所以(ka-b)(a+3b)=10(k-3)-11(-5k+2)
=65k-52=0,
解得k=.
2.在例3(2)中若A,B,D三點(diǎn)共線,且AC⊥CD,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
[
10、解] 設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則
=(1,-5),=(x-1,y-3),
=(3,-2),=(x-4,y-1),
由題意得∥,⊥,
所以整理得
解得x=2,y=-2,
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-2).
[規(guī)律方法] 1.證明共線問題常用的方法
(1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一實數(shù)λ,使b=λa.
(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.
(3)向量a與b共線?|ab|=|a||b|.
(4)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.
2.證明平面向量垂直問題的常用方法
a⊥b?ab=0?x1x2+
11、y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).
平面向量的模、夾角
(1)已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________.
(2)已知c=ma+nb,c=(-2,2),a⊥c,b與c的夾角為,bc=-4,|a|=2,求實數(shù)m,n的值及a與b的夾角θ. 【導(dǎo)學(xué)號:84352278】
(1)3 [(1)因為向量a,b夾角為45,
且|a|=1,|2a-b|=,
所以=,
化為4+|b|2-4|b|cos 45=10,化為|b|2-2|b|-6=0,因為|b|≥0,
解得|b|=3.
(2)∵c=(-2,2),∴|c|=4.
12、∵a⊥c,∴ac=0.
∵bc=|b||c|cos=|b|4=-4,
∴|b|=2.∵c=ma+nb,∴c2=mac+nbc,
∴16=n(-4),∴n=-4.
在c=ma+nb兩邊同乘以a,
得0=8m-4ab. ①
在c=ma+nb兩邊同乘以b,得mab=12. ②
由①②,得m=,
∴ab=2,
∴cos θ==,
∴θ=或.]
[規(guī)律方法] 1.解決向量模的問題常用的策略
(1)應(yīng)用公式:|a|=(其中a=(x,y)).
(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則.
(3)應(yīng)用向量不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|.
(4)研究模的平方|ab|2=
13、(ab)2.
2.求向量的夾角
設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),兩向量夾角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ==.
[跟蹤訓(xùn)練]
3.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(c-b)a=,則a與c的夾角為( )
A.30 B.60
C.120 D.150
C [ab=-10,則(c-b)a=ca-ba=ca+10=,
所以ca=-,設(shè)a與c的夾角為θ,則cos θ===-,又θ∈[0,180],所以θ=120.]
平面向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用
(1)用兩條成120角的等長的繩子懸掛一個物體,如圖24所示,已知物體的重力大小為
14、10 N,則每根繩子的拉力大小是________.
圖24
(2)如圖25所示,在正方形ABCD中,P為對角線
AC上任一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分別為E,F(xiàn),連接DP,EF,求證:DP⊥EF. 【導(dǎo)學(xué)號:84352279】
圖25
(1)10 N [因繩子等長,所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60,故每根繩子的拉力大小都是10 N.]
(2)證明:法一:(基向量法)設(shè)正方形ABCD的邊長為1,AE=a(0<a<1),則EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a,
∴=(+)(+)=+++
=1acos 180+1(1-a)cos 90+aac
15、os 45+a(1-a)cos 45=-a+a2+a(1-a)=0,
∴⊥,即DP⊥EF.
法二:(坐標(biāo)法)設(shè)正方形邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,x),則D(0,1),E(x,0),F(xiàn)(1,x),
所以=(x,x-1),=(1-x,x),
由=x(1-x)+x(x-1)=0,
所以⊥,即DP⊥EF.
[規(guī)律方法] 平面向量兩個方面的應(yīng)用
(1)平面幾何應(yīng)用
向量
幾何問題
共線向量
點(diǎn)共線問題、直線與直線平行
數(shù)乘向量
求線段長度之比
數(shù)量積
線段的長度、直線與直線的夾角
(2)物理應(yīng)用:速度、位移、力、功.
[跟蹤訓(xùn)練]
4.已知點(diǎn)O,
16、N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,==,則點(diǎn)O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心
C [因為點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)距離相等,
所以點(diǎn)O是△ABC的外心.
因為++=0,所以+=-,
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則2=-.
由此時可知N為AB邊中線的三等分點(diǎn)(靠近中點(diǎn)M)
所以N是△ABC的重心.
因為=,所以(-)=0,
即=0,所以⊥.
同理由=可證⊥,所以P是△ABC的垂心.]
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375