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單元質(zhì)檢七　不等式、推理與證明 (時間:45分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分) 1.(2018山東濟寧期末)已知a>0,b>0,且1a,12,1b成等差數(shù)列,則a+9b的最小值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.16 B.9 C.5 D.4 答案A 解析∵1a,12,1b成等差數(shù)列,∴1a+1b=1. ∴a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba≥10+2ab9ba=16, 當且僅當ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43時等號成立. 故選A. 2.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù).以上推理(　　) A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確 答案C 解析因為f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù),所以小前提不正確. 3.若x,y滿足約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0,則z=x+2y的取值范圍是 (　　) A.[0,6] B.[0,4] C.[6,+∞) D.[4,+∞) 答案D 解析畫出約束條件x≥0,x+y-3≥0,x-2y≤0所表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分所示, 由目標函數(shù)z=x+2y得直線l:y=-12x+12z, 當l經(jīng)過點B(2,1)時,z取最小值,zmin=2+21=4. 又因為z無最大值,所以z的取值范圍是[4,+∞),故選D. 4.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是(　　) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案D 解析∵2x+2y=1≥22x+y, ∴122≥2x+y,即2x+y≤2-2.∴x+y≤-2. 5.袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則(　　) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 答案B 解析若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,直到袋中所有球都被放入盒中時,抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)一定是相等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,故選B. 6.已知實數(shù)x,y滿足x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,則z=4x+3y的最大值為(　　) A.3 B.4 C.18 D.24 答案D 解析畫出滿足條件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2的平面區(qū)域,如圖所示: 由x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,結(jié)合圖象得直線過點A(3,4)時,z最大,z的最大值是24,故選D. 7.已知不等式1a-b+1b-c+λc-a>0對滿足a>b>c恒成立,則λ的取值范圍是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1) C.(-∞,4) D.(4,+∞) 答案C 解析變形得λ<(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(當且僅當(a-b)2=(b-c)2時等號成立),則λ<4.故選C. 8.已知關于x的不等式ax2-5x+b>0的解集為x　　x<-13或 x>12,則不等式bx2-5x+a>0的解集為(　　) A.x-1312 C.{x|-32} 答案C 解析由題意知a>0,且12,-13是關于x的方程ax2-5x+b=0的兩根,∴-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5, ∴bx2-5x+a>0為-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80時等號成立,故選B. 10.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0.若z=y+1x+1的最小值為-14,則正數(shù)a的值為(　　) A.76 B.1 C.34 D.89 答案D 解析實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+1≥0,2x+y-a≥0,2x-y-4≤0的可行域如圖陰影部分. 已知a>0,由z=y+1x+1表示過點(x,y)與點(-1,-1)的直線的斜率,且z的最小值為-14, 所以點A與點(-1,-1)連線的斜率最小, 由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值為-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故選D. 11.(2018山東煙臺二模)已知P(x,y)為區(qū)域y2-4x2≤0,a≤x≤0內(nèi)的任意一點,當該區(qū)域的面積為4時,z=x-2y的最小值是(　　) A.-52 B.-32 C.-2 D.0 答案A 解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,則A(a,2a),B(a,-2a), S△ABO=12|a||4a|=2a2=4, 解得a=-2(正值舍去), 所以A-2,-22,B-2,22. 由目標函數(shù)的幾何意義可得,當z=x-2y過點B時取得最小值,此時z=x-2y=-2-222=-52. 故選A. 12.已知任意非零實數(shù)x,y滿足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,則實數(shù)λ的最小值為(　　) A.4 B.5 C.115 D.72 答案A 解析依題意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(當且僅當x=2y時等號成立). 因此有3x2+4xyx2+y2≤4,當且僅當x=2y時等號成立, 即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,結(jié)合題意得λ≥3x2+4xyx2+y2, 故λ≥4,即λ的最小值是4. 二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分) 13.觀察分析下表中的數(shù)據(jù): 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 正方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是　　　　　　　　　　. 答案F+V-E=2 解析三棱柱中5+6-9=2;五棱錐中6+6-10=2;正方體中6+8-12=2;由此歸納可得F+V-E=2. 14.已知f(x)=lg(100x+1)-x,則f(x)的最小值為　　　　　. 答案lg 2 解析∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg100x+110x=lg(10x+10-x)≥lg2,當且僅當x=0時等號成立, ∴f(x)的最小值為lg2. 15.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.若y=sin x在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　　. 答案332 解析由題意知,凸函數(shù)f(x)滿足 f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn. ∵y=sinx在區(qū)間(0,π)內(nèi)是凸函數(shù). ∴sinA+sinB+sinC≤3sinA+B+C3=3sinπ3=332. 16.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x≥0,x≥y,2x-y≤1,則23x+2y的最大值是　　　　　. 答案32 解析設z=3x+2y,由z=3x+2y,得y=-32x+z2. 作出不等式組x≥0,x≥y,2x-y≤1對應的平面區(qū)域如圖陰影部分所示, 由圖象可知當直線y=-32x+z2經(jīng)過點B時,直線y=-32x+z2在y軸上的截距最大,此時z也最大. 由x=y,2x-y=1,解得x=1,y=1,即B(1,1). 故zmax=31+21=5,則23x+2y的最大值是25=32.