考點測試53　幾何概型 高考概覽 考綱研讀 1．了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率 2．了解幾何概型的意義 一、基礎小題 1．在區(qū)間(0，4)上任取一數(shù)x，則<2x－1<1的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由題設可得－2<x－1<0，即－1<x<1，所以d＝1，D＝4，則由幾何概型的概率公式可知所求概率P＝．故選C． 2．取一個正方形及其外接圓，隨機向圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入正方形外的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　設圓的半徑為r，所以正方形的邊長為r，正方形的面積為2r2，圓的面積為πr2，∴所求概率P＝1－＝． 3．要產(chǎn)生[－3，3]上的均勻隨機數(shù)y，現(xiàn)有[0，1]上的均勻隨機數(shù)x，則進行平移與伸縮變換為(　　) A．－3x B．3x C．6x－3 D．－6x－3 答案　C 解析　利用伸縮和平移變換進行判斷得－3≤6x－3≤3，故y取6x－3． 4．在圓心角∠AOB為90的扇形中，以圓心O為起點作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　記M＝“射線OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30”．如圖所示，作射線OD，OE使∠AOD＝30，∠AOE＝60．當OC在∠DOE內(nèi)時，使得∠AOC和∠BOC都不小于30，此時的測度為度數(shù)30，所有基本事件的測度為直角的度數(shù)90．所以P(M)＝＝． 5．一個長方體空屋子，長、寬、高分別為5 m，4 m，3 m，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　屋子的體積為543＝60 m3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為133＝ m3，故蒼蠅被捕捉的概率是＝＝． 6．如圖所示，A是圓上一定點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　 當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝，A′點在A點左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得所求概率P＝＝．故選C． 7．有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，即可中獎，小明希望中獎，則他應當選擇的游戲盤為(　　) 答案　A 解析　A游戲盤的中獎概率為，B游戲盤的中獎概率為，C游戲盤的中獎概率為＝(其中r為圓的半徑)，D游戲盤的中獎概率為＝(其中r為圓的半徑)，故A游戲盤的中獎概率最大．故選A． 8．向等腰直角三角形ABC(其中AC＝BC)內(nèi)任意投一點M，則AM小于AC的概率為(　　) A． B．1－ C． D． 答案　D 解析　以A為圓心，AC為半徑畫弧與AB交于點D．依題意，滿足條件的概率P＝＝＝．故選D． 9．在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形的面積大于20 cm2的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　不妨設矩形的長為x cm，則寬為(12－x) cm，由x(12－x)>20，解得2<x<10，所以該矩形的面積大于20 cm2的概率為＝．故選B． 10．如圖所示，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________． 答案　0．18 解析　由題意知，＝＝0．18．∵S正＝1，∴S陰＝0．18． 11．過等腰Rt△ABC的直角頂點C在∠ACB內(nèi)部隨機作一條射線，設射線與AB相交于點D，則AD<AC的概率是________． 答案　0．75 解析　在AB上取一點E，使AE＝AC，連接CE(如圖)，則當射線CD落在∠ACE內(nèi)部時，AD<AC．易知∠ACE＝67．5，∴AD<AC的概率P＝＝0．75． 12．利用隨機模擬方法計算y＝x2與y＝4圍成的面積時，利用計算器產(chǎn)生兩組0～1之間的均勻隨機數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND，然后進行平移與伸縮變換a＝a14－2，b＝b14，試驗進行100次，前98次中落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點數(shù)為65，已知最后兩次試驗的隨機數(shù)a1＝0．3，b1＝0．8及a1＝0．4，b1＝0．3，那么本次模擬得出的面積約為________． 答案　10．72 解析　由a1＝0．3，b1＝0．8，得a＝－0．8，b＝3．2，(－0．8，3．2)落在y＝x2與y＝4圍成的區(qū)域內(nèi)；由a1＝0．4，b1＝0．3，得a＝－0．4，b＝1．2，(－0．4，1．2)落在y＝x2與y＝4圍成的區(qū)域內(nèi)，所以本次模擬得出的面積約為16＝10．72． 二、高考小題 13．(2018全國卷Ⅰ)右圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 答案　A 解析　不妨取AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積為S△ABC＝2；區(qū)域Ⅲ的面積為π－2；區(qū)域Ⅱ的面積為π－(π－2)＝2，所以根據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1＝p2．故選A． 14．(2017全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　不妨設正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，S正方形＝4． 由圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，得S黑＝S白＝S圓＝，所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝．故選B． 15．(2016全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　解法一：7：30的班車小明顯然是坐不到的．當小明在7：50之后8：00之前到達，或者8：20之后8：30之前到達時，他等車的時間將不超過10分鐘，故所求概率為＝．故選B． 解法二：當小明到達車站的時刻超過8：00，但又不到8：20時，等車時間將超過10分鐘，7：50～8：30的其他時刻到達車站時，等車時間將不超過10分鐘，故等車時間不超過10分鐘的概率為1－＝．故選B． 16．(2016全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如圖，數(shù)對(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi)，則由幾何概型的概率公式可得＝?π＝．故選C． 17．(2015湖北高考)在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1<p2< B．p2<<p1 C．<p2<p1 D．p1<<p2 答案　D 解析　如圖，滿足條件的x，y構成的點(x，y)在正方形OBCA內(nèi)，其面積為1．事件“x＋y≤”對應的圖形為陰影△ODE，其面積為＝，故p1＝<；事件“xy≤”對應的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，故p2>，則p1<<p2，故選D． 18．(2017江蘇高考)記函數(shù)f(x)＝的定義域為D．在區(qū)間[－4，5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________． 答案　 解析　由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3]．如圖，區(qū)間[－4，5]的長度為9，定義域D的長度為5，∴P＝． 三、模擬小題 19．(2018唐山模擬)右圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 答案　B 解析　根據(jù)面積之比與點數(shù)之比相等的關系，得黑色部分的面積S＝44＝9．故選B． 20．(2018鄭州質(zhì)檢三)七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自黑色部分的概率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設正方形的邊長為2，則由幾何概型的概率公式，知所求概率為＝．故選C． 21．(2018合肥質(zhì)檢三)如圖所示的圖形是一個正六邊形及其內(nèi)切圓，現(xiàn)采取隨機模擬的方法估計圓周率的值：隨機撒一把豆子，若落在正六邊形內(nèi)的豆子個數(shù)為N，落在圓內(nèi)的豆子個數(shù)為M，則估計圓周率π的值為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　設圓的半徑為r，則根據(jù)幾何概型的概率公式，可得＝，故π＝，選D． 22．(2018福建質(zhì)檢)如圖，已知曲線y＝sin＋3把邊長為4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分．若在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　 如圖，點D，E在直線y＝3上，F(xiàn)為y＝3與曲線y＝sin＋3(0＜x＜4)的交點．將y＝3代入y＝sin＋3得sin＝0．又因為0＜x＜4，所以x＝2．由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知y＝sin＋3的圖象關于點F(2，3)對稱，所以陰影部分的面積S＝S四邊形BCDE＝4(4－3)＝4．又因為S正方形OABC＝44＝16，所以此點取自黑色部分的概率是＝．故選A． 23．(2018長春質(zhì)檢二)若向區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)投點，則該點到原點的距離小于1的概率為________． 答案　 解析　如圖，由題意知區(qū)域Ω的面積為1，在區(qū)域Ω內(nèi)，到原點的距離小于1的區(qū)域為陰影部分，即四分之一個圓，其面積為，所以所求概率為． 24．(2018合肥質(zhì)檢二)小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計劃在下午5：00～6：00之間送貨上門．已知小李下班到家的時間為下午5：30～6：00．快遞員到小李家時，若小李未到家，就將商品存放快遞柜中，則小李需要去快遞柜收取商品的概率等于________． 答案　 解析　設快遞員到小李家的時間為5點x分，小李到家的時間為5點y分，則依題意，若需要去快遞柜收取商品，需滿足 則可行域所表示的區(qū)域為圖中陰影部分．由于隨機試驗落在矩形方框內(nèi)的任何位置的等可能性，進而依據(jù)幾何概型的概率公式，可得小李需要去快遞柜收取商品的概率為＝． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018湖北黃岡、黃石等八市聯(lián)考)若張三每天的工作時間在6小時至9小時之間隨機均勻分布，求張三連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時的概率． 解　設第一天工作的時間為x小時，第二天工作的時間為y小時，則因為連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時，所以≥7，即x＋y≥14，表示的區(qū)域面積為9，其中滿足x＋y≥14的區(qū)域面積為9－22＝7，∴張三連續(xù)兩天平均工作時間不少于7小時的概率是． 2．(2018安徽皖南地區(qū)調(diào)研)某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r間(單位：小時)，如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，依此類推，統(tǒng)計結果如下表： ?？繒r間 2．5 3 3．5 4 4．5 5 5．5 6 輪船數(shù)量 12 12 17 20 15 13 8 3 (1)設該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為a小時，求a的值； (2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？縜小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r必須等待的概率． 解　(1)a＝(2．512＋312＋3．517＋420＋4．515＋513＋5．58＋63)＝4． (2)設甲船到達的時間為x，乙船到達的時間為y，則 若這兩艘輪船在?？吭摬次粫r至少有一艘船需要等待，則|y－x|<4，符合題意的區(qū)域為陰影部分(不包括x，y軸)， 所以所求概率P＝＝， 則這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率為． 3．(2018山東臨沂一模)設f(x)和g(x)都是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若對任意x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”，設f(x)＝ax，g(x)＝． (1)若a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率； (2)若a∈[1，4]，b∈[1，4]，求f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”的概率． 解　(1)設事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”， 則|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情況有： x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋， 共6種且每種情況被取到的可能性相同． 又當a>0，b>0時， ax＋在上遞減，在上遞增； x－和4x－在(0，＋∞)上遞增， ∴對x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－， 故事件A包含的基本事件有4種， ∴P(A)＝＝，故所求概率是． (2)設事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數(shù)”， ∵a是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)，b是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)， ∴點(a，b)所在區(qū)域是長為3，寬為3的矩形區(qū)域． 要使x∈[1，2]時，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立， 需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8， ∴事件B表示的點的區(qū)域是如圖所示的陰影部分． ∴P(B)＝＝， 故所求概率是．