2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例(第2課時)角度問題及其他學案(含解析)新人教B版必修5.docx
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2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例(第2課時)角度問題及其他學案(含解析)新人教B版必修5.docx
第2課時 角度問題及其他
學習目標 1.能夠運用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.了解解三角形在物理中的應用.
知識點一 實際應用問題中的有關術語
1.方向角
正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角.
2.方位角
從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的最小正角.
3.坡角
坡面與水平面的夾角.
4.坡比
坡面的垂直高度與水平距離之比.
知識點二 解三角形在物理中的應用
數(shù)學在物理學中的應用非常廣泛,某種角度上說,物理題實際上是數(shù)學應用題,解物理題就是先把實際問題抽象成數(shù)學問題,解決后再還原成實際問題的答案.
1.方位角和方向角是一樣的.( )
2.南偏東30指正南為始邊,在水平面內(nèi)向東旋轉(zhuǎn)30.( √ )
3.方位角可以是270.( √ )
題型一 角度的測量問題
例1 如圖,一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01 n mile)
解 在△ABC中,∠ABC=180-75+32=137,
根據(jù)余弦定理,
AC=
=
≈113.15.
根據(jù)正弦定理,=,
sin∠CAB=≈≈0.325 5,
所以∠CAB≈19.0,75-∠CAB=56.0.
所以此船應該沿北偏東56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.
反思感悟 解決航海問題一要搞清方位角(方向角),二要弄清不動點(三角形頂點),然后根據(jù)條件,畫出示意圖,轉(zhuǎn)化為解三角形問題.
跟蹤訓練1 甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時a海里,問甲船應沿著什么方向前進,才能最快與乙船相遇?
解 如圖所示.
設經(jīng)過t小時兩船在C點相遇,
則在△ABC中,BC=at(海里),AC=at(海里),
B=90+30=120,
由=,得
sin∠CAB====,
∵0<∠CAB<90,
∴∠CAB=30,
∴∠DAC=60-30=30,
∴甲船應沿著北偏東30的方向前進,才能最快與乙船相遇.
題型二 解三角形在物理中的應用
例2 如圖所示,對某物體施加一個大小為10N的力F,這個力被分解到OA,OB兩個方向上,已知∠AOB=120,力F與OA的夾角為45,求分力的大?。?
解 如圖,作=F,=F1,=F2,作?OGFC,
由題設知||=10,∠FOG=45,∠AOB=120,
則∠FOC=∠AOB-∠FOG=120-45=75,
由?OGFC知,∠GFO=∠FOC=75,
在△FOG中,∠FGO=180-75-45=60,
由正弦定理得
=,
即=,解得OG=5,
由正弦定理得=,
即=,解得FG=.
所以OA方向的力的大小為5N,OB方向的力的大小為N.
反思感悟 解決物理等實際問題的步驟
(1)把實際問題受力平衡用圖示表示.
(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,通過正、余弦定理解三角形.
(3)把數(shù)學問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解.
跟蹤訓練2 有一兩岸平行的河流,水速為1m/s,小船的速度為m/s,為使所走路程最短,小船行駛的方向應為( )
A.與水速成45 B.與水速成135
C.垂直于對岸 D.不能確定
答案 B
解析 如圖,設為水速,為船在靜水中的速度,為+.
依題意,當⊥時,所走路程最短,現(xiàn)需求∠BAD,只要求∠CAD即可,
在Rt△CAD中,||=||=1,||=,
∴sin∠CAD==,且∠CAD為銳角.
∴∠CAD=45,∴∠BAD=45+90=135.
即小船應朝與水速成135的方向行駛.
1.已知兩座燈塔A,B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40,燈塔B在觀察站C的南偏東60,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東10 B.北偏西10
C.南偏東10 D.南偏西10
答案 B
解析 如圖,因為△ABC為等腰三角形,
所以∠CBA=(180-80)=50,60-50=10.
2.如圖,甲、乙二人同時從點A出發(fā),甲沿正東方向走,乙沿北偏東30方向走.當乙走了2 km到達B點時,甲走到C點,此時兩人相距 km,則甲走的路程AC等于( )
A.2kmB.2kmC.kmD.1km
答案 D
解析 依題意知
BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠BAC,
即3=22+AC2-22ACcos 60,
AC2-2AC+1=0.
解得AC=1 km.
3.甲騎電動車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上,15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上,則電動車在點B時與電視塔S的距離是( )
A.6kmB.3kmC.3kmD.3km
答案 C
解析 由題意知,AB=24=6(km),∠BAS=30,∠ASB=75-30=45.
由正弦定理,得BS===3(km).
4.一艘海輪從A處出發(fā),以40nmile/h的速度沿南偏東40方向直線航行,30min后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點間的距離是( )
A.10nmile B.10nmile
C.20nmile D.20nmile
答案 A
解析 如圖所示,
由已知條件可得
∠CAB=30,∠ABC=105,
AB=40=20(n mile).
∴∠BCA=45,
∴由正弦定理可得=.
∴BC==10 (n mile).
5.作用于同一點的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3平衡,已知|F1|=30N,|F2|=50N,F(xiàn)1和F2之間的夾角是60,求F3的大小與方向.(精確到0.1)
解 F3應和F1,F(xiàn)2的合力F平衡,
所以F3和F在同一直線上,并且大小相等,方向相反.
如圖,在△OF1F中,由余弦定理,得
|F|==70(N),
再由正弦定理,得sin∠F1OF==,
所以∠F1OF≈38.2,從而∠F1OF3≈141.8.
所以F3為70 N,F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8.
1.在求解三角形中,我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解,但作為有關現(xiàn)實生活的應用題,必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解.
2.解三角形的應用題時,通常會遇到兩種情況:
(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形,這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究,再逐步在其余的三角形中求出問題的解.
一、選擇題
1.某船開始看見一燈塔在南偏東30方向,后來船沿南偏東60的方向航行45km后,看見該燈塔在正西方向,則這時船與燈塔的距離是( )
A.15kmB.15kmC.20kmD.20km
答案 A
解析 設燈塔位置為A,船的初始位置為O,船的終止位置為B,由題意知∠AOB=30,∠OAB=120,則∠OBA=30,所以由正弦定理,得AB=15,即此時船與燈塔的距離是15 km.
2.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過h,該船實際航程為( )
A.2km B.6km
C.2km D.8km
答案 B
解析 如圖在平行四邊形ABCD中,為河水流速,為船在靜水中的速度,為船在河水中的實際航速.
由題意得AB=2,AD=4,∠BAD=120,
∴2=2=2+2+2
=4+16+224cos 120=12,
∴||=2,即船實際航速為2 km/h.
∴船實際航程為2=6(km).
3.臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動,離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40km處,則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為( )
A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h
答案 B
解析 設A地東北方向上點P到B的距離為30km時,AP=x,
在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2APABcosA,
即302=x2+402-2x40cos45,
化簡得x2-40x+700=0.設該方程的兩根為x1,x2,
則P點的位置有兩處,即P1,P2.
則|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,
即P1P2=20(km),故t===1(h).故選B.
4.當太陽光與水平面的傾斜角為60時,一根長為2m的竹竿如圖所示放置,要使它的影子最長,則竹竿與地面所成的角是( )
A.150 B.30
C.45 D.60
答案 B
解析 設竹竿與地面所成的角為α,影子長為xm.
由正弦定理,得=,
∴x=sin(120-α).
∵30<120-α<120,
∴當120-α=90,即α=30時,x有最大值.
即竹竿與地面所成的角是30時,影子最長.
5.一艘船以每小時15km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔B在北偏東60,行駛4h后,船到達C處,看到這個燈塔在北偏東15,這時船與燈塔間的距離為( )
A.30kmB.30kmC.30kmD.20km
答案 B
解析 如圖所示,
在△ABC中,∠BAC=30,∠ACB=105,則∠ABC=45,
AC=60km,根據(jù)正弦定理,得
BC===30(km).
6.某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40m后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔的最大仰角為30,則塔高為( )
A.10m B.10(-1) m
C.m D.20m
答案 C
解析 如圖所示,
設AE為塔,B為塔正東方向一點,沿南偏西60前進40 m到達C處,
即BC=40,∠CAB=135,∠ABC=30,∠ACB=15.
在△ABC中,
=,
即=,∴AC=20.
過點A作AG⊥BC,垂足為G,此時仰角∠AGE最大,
在△ABC中,由面積公式知
BCAG=BCACsin∠ACB.
∴AG=
=ACsin ∠ACB=20sin 15,
∴AG=20sin(45-30)=20
=10(-1).
在Rt△AEG中,∵AE=AGtan∠AGE,
∴AE=10(-1)=10-,
∴塔高為 m.
二、填空題
7.一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲,然后向右轉(zhuǎn)105,爬行10cm捕捉到另一只小蟲,這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點,則x=________cm.
答案
解析 如圖所示,設蜘蛛原來在O點,先爬行到A點,再爬行到B點,
則在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75,∠ABO=45,則∠AOB=60,由正弦定理知
x=== (cm).
8.如圖,小明以每分鐘20米的速度向東行走,他在A處看到一電視塔B在北偏東30,行走1小時后,到達C處,看到這個電視塔在北偏西15,則此時小明與電視塔的距離為______米.
答案 3600
解析 由題意得∠BAC=60,
∠ACB=75,所以∠B=45,
AC=2060=1 200(米),
=,
所以BC=3 600(米).
9.如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5m,起吊的貨物與岸的距離AD為________m.
答案
解析 在△ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得,cos∠ACB=
==-,
∴sin∠ACB=,
又∠ACB+∠ACD=180,
∴sin∠ACD=sin∠ACB=.
在Rt△ADC中,
AD=ACsin∠ACD=15=.
10.海上一觀測站A測得南偏西60的方向上有一艘停止待維修的商船D,在商船D的正東方有一艘海盜船B正向它靠近,速度為每小時90海里,此時海盜船B距觀測站10海里,20分鐘后測得海盜船B位于距觀測站20海里的C處,再經(jīng)________分鐘海盜船B到達商船D處.
答案
解析 如圖,過A作AE⊥BD于點E,
由已知可知AB=10海里,BC=30海里,AC=20海里,
∴cos∠ACB
=
==,
∵0<∠ACB<180,
∴∠ACB=60,∴AE=10海里.
∵∠DAE=60,∴DE=10=30海里.
∵∠CAE=30,∴CE=10海里,∴DC=20海里,
∴t=60=(分鐘).
三、解答題
11.如圖所示,貨輪在海上以40km/h的速度由B向C航行,航行的方位角是140.A處有一燈塔,其方位角是110,在C處觀察燈塔A的方位角是35,由B到C需航行半個小時,求C到燈塔A的距離.
解 在△ABC中,BC=40=20(km),
∠ABC=140-110=30,
∠ACB=(180-140)+35=75,∴∠BAC=75.
由正弦定理,得=,∴AC=
==
=10(-)(km).
答 C到燈塔A的距離為10(-) km.
12.某漁船在航行中不幸遇險,發(fā)出呼叫信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁船在方位角為45距離為10海里的C處,并測得漁船正沿方位角為105的方向以10海里/小時的速度向小島B靠攏,我海軍艦艇立即以10海里/小時的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間.
解 如圖所示,設所需時間為t小時,
則AB=10t,BC=10t,∠ACB=120.
在△ABC中,根據(jù)余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,
可得(10t)2=102+(10t)2-21010tcos 120,
整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去).
即艦艇需1小時靠近漁船,此時AB=10,BC=10,
在△ABC中,由正弦定理,得=,
所以sin∠CAB===,
又因為∠CAB為銳角,所以∠CAB=30,
所以艦艇航行的方位角為75.
13.如圖所示,位于東海某島的雷達觀測站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45,與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛,半小時后,又測得該貨船位于觀測站A東偏北θ(0<θ<45)的C處,且cosθ=.已知A,C兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為( )
A.4海里/小時 B.3海里/小時
C.2海里/小時 D.4海里/小時
答案 A
解析 因為cos θ=,0<θ<45,所以sin θ=,
cos(45-θ)=+=,
在△ABC中,BC2=(20)2+102-22010=340,
所以BC=2,
該貨船的船速為=4(海里/小時).
14.為保障高考的公平性,高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀,要求在考點周圍1千米處不能收到手機信號,檢查員抽查某市一考點,在考點正西千米有一條北偏東60方向的公路,在此處檢查員用手機接通電話,以每小時12千米的速度沿公路行駛,問最長需要多少分鐘檢查員開始收不到信號,并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格?
解 如圖所示,考點為A,檢查開始處為B,
設檢查員行駛到公路上C,D兩點之間時收不到信號,即公路上C,D兩點到考點的距離為1千米.
在△ABC中,AB=(千米),
AC=1(千米),∠ABC=30,
由正弦定理,得sin∠ACB=AB=,
∴∠ACB=120(∠ACB=60不合題意),
∴∠BAC=30,∴BC=AC=1千米.
在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60,
∴△ACD為等邊三角形,∴CD=1千米.
∵60=5,
∴在BC上需5分鐘,CD上需5分鐘.
∴最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號,并持續(xù)至少5分鐘才算合格.