2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx
2.1.1 數(shù) 列
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式.
知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列及其有關(guān)概念
1.按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),第2項(xiàng),…,第n項(xiàng),….
2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.
思考 數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎?
答案 不是.順序不一樣.
知識(shí)點(diǎn)二 通項(xiàng)公式
如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an=f(n)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式,若數(shù)列有通項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式表達(dá)式不一定唯一.
知識(shí)點(diǎn)三 數(shù)列的分類
1.按項(xiàng)數(shù)分類:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列.
2.按項(xiàng)的大小變化分類:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列;從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列;各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列.
1.1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列.( √ )
2.?dāng)?shù)列1,3,5,7,…的第10項(xiàng)是21.( )
3.每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.( )
4.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.( )
題型一 數(shù)列的分類
例1 下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是( )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
答案 C
解析 A,B都是遞減數(shù)列,D是有窮數(shù)列,只有C符合題意.
反思感悟 判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng),不能有例外.
跟蹤訓(xùn)練1 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列?哪些是遞增數(shù)列?哪些是遞減數(shù)列?哪些是擺動(dòng)數(shù)列?哪些是常數(shù)列?
(1)2010,2012,2014,2016,2018;
(2)0,,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)-,,-,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)(6)是有窮數(shù)列;(1)(2)是遞增數(shù)列;(3)是遞減數(shù)列;(4)(5)是擺動(dòng)數(shù)列;(6)是常數(shù)列.
題型二 由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式
例2 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):
(1)1,-,,-;
(2),2,,8;
(3)9,99,999,9999.
解 (1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+.
(2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,,,,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+.
(3)各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,n∈N+.
反思感悟 要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化,哪些部分隨序號(hào)的變化而變化,確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律,繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系.
跟蹤訓(xùn)練2 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):
(1)-,,-,;
(2),,,;
(3)7,77,777,7777.
解 (1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+.
(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù),分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+.
(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?,99,999,9999,
即(10-1),(100-1),(1000-1),(10000-1),
即(10-1),(102-1),(103-1),(104-1),
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1),n∈N+.
題型三 數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例3 (1)已知數(shù)列,,,,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
答案 C
解析 數(shù)列,,,,…的通項(xiàng)公式為an=,
0.94==,0.96==,0.98==,0.99=,
,,都在數(shù)列中,故有3個(gè).
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2-10n+4.
問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?并求出最小值.
解 ∵an=2n2-10n+4=22-,
∴當(dāng)n=2或3時(shí),an取得最小值,其最小值為a2=a3=-8.
反思感悟 (1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng),相當(dāng)于已知y求x,若求出的x是正整數(shù),則y是該數(shù)列的項(xiàng),否則不是.
(2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N+),那么是這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng).
答案 10
解析 ∵=,∴n(n+2)=1012,∴n=10.
(2)已知數(shù)列{an}中,an=-n2+25n(n∈N+),則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第________項(xiàng).
答案 12或13
解析 ∵an=-2+2是關(guān)于n的二次函數(shù),又n∈N+,
∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),an最大.
歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
典例 觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有_______小圓圈.
答案 n2-n+1
解析 觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,12+1,23+1,34+1,45+1.故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n-1)n+1=n2-n+1.
[素養(yǎng)評(píng)析] 歸納是邏輯推理的一類,可以發(fā)現(xiàn)新命題.本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象,歸納規(guī)律,大膽猜想,小心求證”這一認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律.
1.下列敘述正確的是( )
A.?dāng)?shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列
B.?dāng)?shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n}
C.?dāng)?shù)列0,1,0,1,…是常數(shù)列
D.?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
答案 D
解析 由數(shù)列的通項(xiàng)an=知,
an+1-an=-=>0,
即數(shù)列是遞增數(shù)列,故選D.
2.?dāng)?shù)列2,3,4,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為( )
A.a(chǎn)n=n,n∈N+ B.a(chǎn)n=n+1,n∈N+
C.a(chǎn)n=n+2,n∈N+ D.a(chǎn)n=2n,n∈N+
答案 B
解析 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1,n∈N+.
3.?dāng)?shù)列{an}中,an=2n2-3,n∈N+,則125是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).
答案 8
解析 令2n2-3=125,解得n=8(n=-8舍去).
所以125是該數(shù)列的第8項(xiàng).
4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,n∈N+,則a1=________;an+1=________.
答案 1
解析 a1==1,
an+1==.
5.寫出數(shù)列:1,-3,5,-7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式.
解 該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1),n∈N+.
1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)
(1)確定性:一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中,即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的.
(2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù).
(3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān).
2.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.例如,π的不同近似值,依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,…,它沒(méi)有通項(xiàng)公式.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征:
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;
(3)拆項(xiàng)后的特征;
(4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征.并對(duì)此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納.
3.如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式,則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式.
一、選擇題
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,n∈N+,則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
答案 A
解析 當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí),a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,n∈N+,則-8是該數(shù)列的( )
A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)
C.第7項(xiàng) D.非任何一項(xiàng)
答案 C
解析 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
3.?dāng)?shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是( )
A.a(chǎn)n=n2-n+1 B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=n2+1
答案 C
解析 令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D檢驗(yàn),即可排除A,B,D,故選C.
4.?dāng)?shù)列,,,,…的第10項(xiàng)是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由數(shù)列的前4項(xiàng)可知,數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+,
當(dāng)n=10時(shí),a10==.
5.已知an+1-an-3=0,n∈N+,則數(shù)列{an}是( )
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.常數(shù)列 D.不能確定
答案 A
解析 an+1=an+3>an,n∈N+,即該數(shù)列每一項(xiàng)均小于后一項(xiàng),故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.
6.設(shè)an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an等于( )
A. B.
C.+ D.-
答案 D
解析 ∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
7.?dāng)?shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于( )
A.(10n-1) B.(10n-1)
C. D.(10n-1)
答案 C
解析 代入n=1檢驗(yàn),排除A,B,D,故選C.
8.如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )
A.a(chǎn)n=n,n∈N+ B.a(chǎn)n=,n∈N+
C.a(chǎn)n=,n∈N+ D.a(chǎn)n=n2,n∈N+
答案 C
解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,
∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
二、填空題
9.觀察數(shù)列的特點(diǎn),用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空:1,,,,________,,….
答案 3
解析 由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號(hào)下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù),所以需要填空的數(shù)為=3.
10.?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________________.
答案 an=2n+1,n∈N+
11.323是數(shù)列{n(n+2)}的第________項(xiàng).
答案 17
解析 由an=n2+2n=323,解得n=17(負(fù)值舍去).
∴323是數(shù)列{n(n+2)}的第17項(xiàng).
三、解答題
12.在數(shù)列{an}中,a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù).
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?
解 (1)設(shè)an=kn+b,k≠0.
則解得
∴an=4n-2,n∈N+.
(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5?N+.
∴88不是數(shù)列{an}中的項(xiàng).
13.在數(shù)列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)?
(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增?
(3)這個(gè)數(shù)列中有無(wú)最小值?若有,求出最小值;若無(wú),請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)因?yàn)閍n=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),
所以當(dāng)0<n<10,n∈N+時(shí),an<0,
所以數(shù)列{an}共有9項(xiàng)為負(fù).
(2)因?yàn)閍n+1-an=2n-7,
所以當(dāng)an+1-an>0時(shí),n>,
故數(shù)列{an}從第4項(xiàng)開始遞增.
(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)n=4時(shí),an取得最小值-36,
即這個(gè)數(shù)列有最小值,最小值為-36.
14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n∈N+),則a3+=________.
答案
解析 a3=2-3=,a4==,
∴=,∴a3+=.
15.已知數(shù)列,n∈N+.
(1)求證:該數(shù)列是遞增數(shù)列;
(2)在區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)?若有,有幾項(xiàng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明 ∵an=====1-,
∴an+1-an=-
==>0,n∈N+,
∴{an}是遞增數(shù)列.
(2)解 令<an=<,
∴
∴
∴<n<,
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),上式成立,
故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng),且只有一項(xiàng)為a2=.