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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx

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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1.1 數(shù)列學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx

2.1.1 數(shù) 列 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式,并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列,會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式. 知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列及其有關(guān)概念 1.按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),第2項(xiàng),…,第n項(xiàng),…. 2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}. 思考 數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎? 答案 不是.順序不一樣. 知識(shí)點(diǎn)二 通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an=f(n)來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式,若數(shù)列有通項(xiàng)公式,通項(xiàng)公式表達(dá)式不一定唯一. 知識(shí)點(diǎn)三 數(shù)列的分類 1.按項(xiàng)數(shù)分類:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列. 2.按項(xiàng)的大小變化分類:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列;從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列;各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列. 1.1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列.( √ ) 2.?dāng)?shù)列1,3,5,7,…的第10項(xiàng)是21.(  ) 3.每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(  ) 4.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(  ) 題型一 數(shù)列的分類 例1 下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(  ) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 答案 C 解析 A,B都是遞減數(shù)列,D是有窮數(shù)列,只有C符合題意. 反思感悟 判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng),不能有例外. 跟蹤訓(xùn)練1 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列?哪些是遞增數(shù)列?哪些是遞減數(shù)列?哪些是擺動(dòng)數(shù)列?哪些是常數(shù)列? (1)2010,2012,2014,2016,2018; (2)0,,,…,,…; (3)1,,,…,,…; (4)-,,-,,…; (5)1,0,-1,…,sin,…; (6)9,9,9,9,9,9. 解 (1)(6)是有窮數(shù)列;(1)(2)是遞增數(shù)列;(3)是遞減數(shù)列;(4)(5)是擺動(dòng)數(shù)列;(6)是常數(shù)列. 題型二 由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 例2 寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù): (1)1,-,,-; (2),2,,8; (3)9,99,999,9999. 解 (1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+. (2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:,,,,…,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+. (3)各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,n∈N+. 反思感悟 要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化,哪些部分隨序號(hào)的變化而變化,確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律,繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系. 跟蹤訓(xùn)練2 寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù): (1)-,,-,; (2),,,; (3)7,77,777,7777. 解 (1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+. (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù),分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+. (3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?,99,999,9999, 即(10-1),(100-1),(1000-1),(10000-1), 即(10-1),(102-1),(103-1),(104-1), 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1),n∈N+. 題型三 數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3 (1)已知數(shù)列,,,,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有(  ) A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 答案 C 解析 數(shù)列,,,,…的通項(xiàng)公式為an=, 0.94==,0.96==,0.98==,0.99=, ,,都在數(shù)列中,故有3個(gè). (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2-10n+4. 問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí),an取得最小值?并求出最小值. 解 ∵an=2n2-10n+4=22-, ∴當(dāng)n=2或3時(shí),an取得最小值,其最小值為a2=a3=-8. 反思感悟 (1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng),相當(dāng)于已知y求x,若求出的x是正整數(shù),則y是該數(shù)列的項(xiàng),否則不是. (2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N+),那么是這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng). 答案 10 解析 ∵=,∴n(n+2)=1012,∴n=10. (2)已知數(shù)列{an}中,an=-n2+25n(n∈N+),則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第________項(xiàng). 答案 12或13 解析 ∵an=-2+2是關(guān)于n的二次函數(shù),又n∈N+, ∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),an最大. 歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式 典例 觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個(gè)圖中有_______小圓圈. 答案 n2-n+1 解析 觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,12+1,23+1,34+1,45+1.故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n-1)n+1=n2-n+1. [素養(yǎng)評(píng)析] 歸納是邏輯推理的一類,可以發(fā)現(xiàn)新命題.本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象,歸納規(guī)律,大膽猜想,小心求證”這一認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律. 1.下列敘述正確的是(  ) A.?dāng)?shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列 B.?dāng)?shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n} C.?dāng)?shù)列0,1,0,1,…是常數(shù)列 D.?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 答案 D 解析 由數(shù)列的通項(xiàng)an=知, an+1-an=-=>0, 即數(shù)列是遞增數(shù)列,故選D. 2.?dāng)?shù)列2,3,4,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(  ) A.a(chǎn)n=n,n∈N+ B.a(chǎn)n=n+1,n∈N+ C.a(chǎn)n=n+2,n∈N+ D.a(chǎn)n=2n,n∈N+ 答案 B 解析 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1,所以,它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1,n∈N+. 3.?dāng)?shù)列{an}中,an=2n2-3,n∈N+,則125是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng). 答案 8 解析 令2n2-3=125,解得n=8(n=-8舍去). 所以125是該數(shù)列的第8項(xiàng). 4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,n∈N+,則a1=________;an+1=________. 答案 1  解析 a1==1, an+1==. 5.寫出數(shù)列:1,-3,5,-7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式. 解 該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1),n∈N+. 1.與集合中元素的性質(zhì)相比較,數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì) (1)確定性:一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中,即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的. (2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù). (3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān). 2.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.例如,π的不同近似值,依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1,3.14,3.141,…,它沒(méi)有通項(xiàng)公式.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí),需仔細(xì)觀察分析,抓住其幾方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相鄰項(xiàng)的變化特征; (3)拆項(xiàng)后的特征; (4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征.并對(duì)此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納. 3.如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式,則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式. 一、選擇題 1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,n∈N+,則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為(  ) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 答案 A 解析 當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí),a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,n∈N+,則-8是該數(shù)列的(  ) A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng) C.第7項(xiàng) D.非任何一項(xiàng) 答案 C 解析 解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 3.?dāng)?shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(  ) A.a(chǎn)n=n2-n+1 B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=n2+1 答案 C 解析 令n=1,2,3,4,代入A,B,C,D檢驗(yàn),即可排除A,B,D,故選C. 4.?dāng)?shù)列,,,,…的第10項(xiàng)是(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由數(shù)列的前4項(xiàng)可知,數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,n∈N+, 當(dāng)n=10時(shí),a10==. 5.已知an+1-an-3=0,n∈N+,則數(shù)列{an}是(  ) A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)列 D.不能確定 答案 A 解析 an+1=an+3>an,n∈N+,即該數(shù)列每一項(xiàng)均小于后一項(xiàng),故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 6.設(shè)an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an等于(  ) A. B. C.+ D.- 答案 D 解析 ∵an=+++…+, ∴an+1=++…+++, ∴an+1-an=+-=-. 7.?dāng)?shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于(  ) A.(10n-1) B.(10n-1) C. D.(10n-1) 答案 C 解析 代入n=1檢驗(yàn),排除A,B,D,故選C. 8.如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(  ) A.a(chǎn)n=n,n∈N+ B.a(chǎn)n=,n∈N+ C.a(chǎn)n=,n∈N+ D.a(chǎn)n=n2,n∈N+ 答案 C 解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…, ∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,…. 二、填空題 9.觀察數(shù)列的特點(diǎn),用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空:1,,,,________,,…. 答案 3 解析 由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號(hào)下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù),所以需要填空的數(shù)為=3. 10.?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________________. 答案 an=2n+1,n∈N+ 11.323是數(shù)列{n(n+2)}的第________項(xiàng). 答案 17 解析 由an=n2+2n=323,解得n=17(負(fù)值舍去). ∴323是數(shù)列{n(n+2)}的第17項(xiàng). 三、解答題 12.在數(shù)列{an}中,a1=2,a17=66,通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù). (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)? 解 (1)設(shè)an=kn+b,k≠0. 則解得 ∴an=4n-2,n∈N+. (2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5?N+. ∴88不是數(shù)列{an}中的項(xiàng). 13.在數(shù)列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+,請(qǐng)回答下列問(wèn)題: (1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)? (2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增? (3)這個(gè)數(shù)列中有無(wú)最小值?若有,求出最小值;若無(wú),請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)因?yàn)閍n=n(n-8)-20=(n+2)(n-10), 所以當(dāng)0<n<10,n∈N+時(shí),an<0, 所以數(shù)列{an}共有9項(xiàng)為負(fù). (2)因?yàn)閍n+1-an=2n-7, 所以當(dāng)an+1-an>0時(shí),n>, 故數(shù)列{an}從第4項(xiàng)開始遞增. (3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36, 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)n=4時(shí),an取得最小值-36, 即這個(gè)數(shù)列有最小值,最小值為-36. 14.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n∈N+),則a3+=________. 答案  解析 a3=2-3=,a4==, ∴=,∴a3+=. 15.已知數(shù)列,n∈N+. (1)求證:該數(shù)列是遞增數(shù)列; (2)在區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)?若有,有幾項(xiàng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由. (1)證明 ∵an=====1-, ∴an+1-an=- ==>0,n∈N+, ∴{an}是遞增數(shù)列. (2)解 令<an=<, ∴ ∴ ∴<n<, ∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí),上式成立, 故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng),且只有一項(xiàng)為a2=.

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