2.1.1　數(shù)　列 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng).3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式． 知識(shí)點(diǎn)一　數(shù)列及其有關(guān)概念 1．按照一定次序排列起來(lái)的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，…. 2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}． 思考　數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個(gè)數(shù)列嗎？ 答案　不是．順序不一樣． 知識(shí)點(diǎn)二　通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)函數(shù)式an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式，若數(shù)列有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式表達(dá)式不一定唯一． 知識(shí)點(diǎn)三　數(shù)列的分類 1．按項(xiàng)數(shù)分類：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列． 2．按項(xiàng)的大小變化分類：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列． 1．1,1,1,1是一個(gè)數(shù)列．(　√　) 2．?dāng)?shù)列1,3,5,7，…的第10項(xiàng)是21.(　　) 3．每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式．(　　) 4．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列．(　　) 題型一　數(shù)列的分類 例1　下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 答案　C 解析　A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意． 反思感悟　判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于(或均小于)后一項(xiàng)，不能有例外． 跟蹤訓(xùn)練1　下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動(dòng)數(shù)列？哪些是常數(shù)列？ (1)2010,2012,2014,2016,2018； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin，…； (6)9,9,9,9,9,9. 解　(1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動(dòng)數(shù)列；(6)是常數(shù)列． 題型二　由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 例2　寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)： (1)1，－，，－； (2)，2，，8； (3)9,99,999,9999. 解　(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋. (2)數(shù)列中的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋. (3)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，n∈N＋. 反思感悟　要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化，哪些部分隨序號(hào)的變化而變化，確定變化部分隨序號(hào)變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)7,77,777,7777. 解　(1)這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的分母都是序號(hào)數(shù)乘以比序號(hào)數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋. (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù)，分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋. (3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?，99，999，9999， 即(10－1)，(100－1)，(1000－1)，(10000－1)， 即(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)， 所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)，n∈N＋. 題型三　數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3　(1)已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96，0.98，0.99中是該數(shù)列中某一項(xiàng)值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有(　　) A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 答案　C 解析　數(shù)列，，，，…的通項(xiàng)公式為an＝， 0.94＝＝，0.96＝＝，0.98＝＝，0.99＝， ，，都在數(shù)列中，故有3個(gè)． (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n2－10n＋4. 問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí)，an取得最小值？并求出最小值． 解　∵an＝2n2－10n＋4＝22－， ∴當(dāng)n＝2或3時(shí)，an取得最小值，其最小值為a2＝a3＝－8. 反思感悟　(1)判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項(xiàng)，相當(dāng)于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項(xiàng)，否則不是． (2)利用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N＋)，那么是這個(gè)數(shù)列的第______項(xiàng)． 答案　10 解析　∵＝，∴n(n＋2)＝1012，∴n＝10. (2)已知數(shù)列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)． 答案　12或13 解析　∵an＝－2＋2是關(guān)于n的二次函數(shù)，又n∈N＋， ∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，an最大． 歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式 典例　觀察圖中5個(gè)圖形的相應(yīng)小圓圈的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個(gè)圖中有_______小圓圈． 答案　n2－n＋1 解析　觀察圖中5個(gè)圖形小圓圈的個(gè)數(shù)分別為1,12＋1,23＋1,34＋1,45＋1.故第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為(n－1)n＋1＝n2－n＋1. [素養(yǎng)評(píng)析]　歸納是邏輯推理的一類，可以發(fā)現(xiàn)新命題．本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象，歸納規(guī)律，大膽猜想，小心求證”這一認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律． 1．下列敘述正確的是(　　) A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列 B．?dāng)?shù)列0,1,2,3，…可以表示為{n} C．?dāng)?shù)列0,1,0,1，…是常數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 答案　D 解析　由數(shù)列的通項(xiàng)an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即數(shù)列是遞增數(shù)列，故選D. 2．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n，n∈N＋ B．a(chǎn)n＝n＋1，n∈N＋ C．a(chǎn)n＝n＋2，n∈N＋ D．a(chǎn)n＝2n，n∈N＋ 答案　B 解析　這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋1，n∈N＋. 3．?dāng)?shù)列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，則125是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)． 答案　8 解析　令2n2－3＝125，解得n＝8(n＝－8舍去)． 所以125是該數(shù)列的第8項(xiàng)． 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，n∈N＋，則a1＝________；an＋1＝________. 答案　1　 解析　a1＝＝1， an＋1＝＝. 5．寫出數(shù)列：1，－3,5，－7,9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式． 解　該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n+1(2n－1)，n∈N＋. 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì) (1)確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的． (2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)． (3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)． 2．并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個(gè)數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，…，它沒(méi)有通項(xiàng)公式．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相鄰項(xiàng)的變化特征； (3)拆項(xiàng)后的特征； (4)各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征．并對(duì)此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納． 3．如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式． 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為(　　) A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C．,0,,0 D．2,0,2,0 答案　A 解析　當(dāng)n分別等于1,2,3,4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，n∈N＋，則－8是該數(shù)列的(　　) A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng) C．第7項(xiàng) D．非任何一項(xiàng) 答案　C 解析　解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 3．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(　　) A．a(chǎn)n＝n2－n＋1 B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝n2＋1 答案　C 解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D檢驗(yàn)，即可排除A，B，D，故選C. 4．?dāng)?shù)列，，，，…的第10項(xiàng)是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由數(shù)列的前4項(xiàng)可知，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝，n∈N＋， 當(dāng)n＝10時(shí)，a10＝＝. 5．已知an＋1－an－3＝0，n∈N＋，則數(shù)列{an}是(　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不能確定 答案　A 解析　an＋1＝an＋3＞an，n∈N＋，即該數(shù)列每一項(xiàng)均小于后一項(xiàng)，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列． 6．設(shè)an＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么an＋1－an等于(　　) A. B. C.＋ D.－ 答案　D 解析　∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－. 7．?dāng)?shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an等于(　　) A.(10n－1) B.(10n－1) C. D.(10n－1) 答案　C 解析　代入n＝1檢驗(yàn)，排除A，B，D，故選C. 8．如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME－7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝n，n∈N＋ B．a(chǎn)n＝，n∈N＋ C．a(chǎn)n＝，n∈N＋ D．a(chǎn)n＝n2，n∈N＋ 答案　C 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，…. 二、填空題 9．觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1，，，，________，，…. 答案　3 解析　由于數(shù)列的前幾項(xiàng)中根號(hào)下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為＝3. 10．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________________． 答案　an＝2n＋1，n∈N＋ 11．323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項(xiàng)． 答案　17 解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負(fù)值舍去)． ∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項(xiàng)． 三、解答題 12．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式an是n的一次函數(shù)． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？ 解　(1)設(shè)an＝kn＋b，k≠0. 則解得 ∴an＝4n－2，n∈N＋. (2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N＋. ∴88不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)． 13．在數(shù)列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： (1)這個(gè)數(shù)列共有幾項(xiàng)為負(fù)？ (2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始遞增？ (3)這個(gè)數(shù)列中有無(wú)最小值？若有，求出最小值；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)因?yàn)閍n＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以當(dāng)0<n<10，n∈N＋時(shí)，an<0， 所以數(shù)列{an}共有9項(xiàng)為負(fù)． (2)因?yàn)閍n＋1－an＝2n－7， 所以當(dāng)an＋1－an>0時(shí)，n>， 故數(shù)列{an}從第4項(xiàng)開始遞增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最小值－36， 即這個(gè)數(shù)列有最小值，最小值為－36. 14．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n∈N＋)，則a3＋＝________. 答案　 解析　a3＝2-3＝，a4＝＝， ∴＝，∴a3＋＝. 15．已知數(shù)列，n∈N＋. (1)求證：該數(shù)列是遞增數(shù)列； (2)在區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由． (1)證明　∵an＝＝＝＝＝1－， ∴an＋1－an＝－ ＝＝＞0，n∈N＋， ∴{an}是遞增數(shù)列． (2)解　令<an＝<， ∴ ∴ ∴<n<， ∴當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立， 故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2＝.