(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第八章 解析幾何 第二節(jié) 圓與方程(第3課時)深化提能——與圓有關(guān)的綜合問題講義(含解析).doc
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第3課時 深化提能——與圓有關(guān)的綜合問題 圓的方程是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識點,高考中,除了圓的方程的求法外,圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點,常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用. 與圓有關(guān)的軌跡問題 [典例] 已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上的動點. (1)求線段AP中點的軌跡方程; (2)若∠PBQ=90,求線段PQ中點的軌跡方程. [解] (1)設(shè)AP的中點為M(x,y),由中點坐標公式可知,P點坐標為(2x-2,2y). 因為P點在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x,y). 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 設(shè)O為坐標原點,連接ON,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. [方法技巧] 求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法 [針對訓(xùn)練] 1.(2019廈門雙十中學(xué)月考)點P(4,-2)與圓x2+y2=4上任意一點連接的線段的中點的軌跡方程為( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解析:選A 設(shè)中點為A(x,y),圓上任意一點為B(x′,y′), 由題意得,則 故(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡得,(x-2)2+(y+1)2=1,故選A. 2.已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點. (1)求M的軌跡方程; (2)當|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積. 解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設(shè)知=0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點P在圓C的內(nèi)部, 所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上. 又P在圓N上,從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-, 故l的方程為x+3y-8=0. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為, 所以|PM|=,S△POM==, 故△POM的面積為. 與圓有關(guān)的最值或范圍問題 [例1] (2019蘭州高三診斷)已知圓C:(x-1)2+(y-4)2=10和點M(5,t),若圓C上存在兩點A,B使得MA⊥MB,則實數(shù)t的取值范圍是( ) A.[-2,6] B.[-3,5] C.[2,6] D.[3,5] [解析] 法一:當MA,MB是圓C的切線時,∠AMB取得最大值.若圓C上存在兩點A,B使得MA⊥MB,則MA,MB是圓C的切線時,∠AMB≥90,∠AMC≥45,且∠AMC<90,如圖,所以|MC|=≤=,所以16+(t-4)2≤20,所以2≤t≤6,故選C. 法二:由于點M(5,t)是直線x=5上的點,圓心的縱坐標為4,所以實數(shù)t的取值范圍一定關(guān)于 t=4對稱,故排除選項A、B.當t=2時,|CM|=2,若MA,MB為圓C的切線,則sin∠CMA=sin∠CMB==,所以∠CMA=∠CMB=45,即MA⊥MB,所以t=2時符合題意,故排除選項D.選C. [答案] C [例2] 已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求: (1)的最大值和最小值; (2)y-x的最大值和最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值. [解] 原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓. (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率, 所以設(shè)=k,即y=kx. 當直線y=kx與圓相切時,斜率k取最大值或最小值,此時= ,解得k=. 所以的最大值為,最小值為-. (2)y-x可看成是直線y=x+b在y軸上的截距. 當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值,此時=, 解得b=-2. 所以y-x的最大值為-2+,最小值為-2-. (3)x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方. 由平面幾何知識知,x2+y2在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處分別取得最小值,最大值. 因為圓心到原點的距離為=2, 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4, 最小值是(2-)2=7-4. 與圓有關(guān)最值問題的求解策略 處理與圓有關(guān)的最值問題時,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解.與圓有關(guān)的最值問題,常見類型及解題思路如下: 常見類型 解題思路 μ=型 轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題 t=ax+by型 轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題,或用三角代換求解 m=(x-a)2+(y-b)2型 轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題 1.(2019新余一中月考)直線x+y+t=0與圓x2+y2=2相交于M,N兩點,已知O是坐標原點,若|+|≤||,則實數(shù)t的取值范圍是________. 解析:由|+|≤||=|-|, 兩邊平方,得≤0, 所以圓心到直線的距離d=≤=1, 解得-≤t≤, 故實數(shù)t的取值范圍是[-, ]. 答案:[-, ] 2.已知點P(x,y)在圓x2+(y-1)2=1上運動,則的最大值與最小值分別為________. 解析:設(shè)=k,則k表示點P(x,y)與點A(2,1)連線的斜率. 當直線PA與圓相切時,k取得最大值與最小值. 設(shè)過(2,1)的直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0. 由=1,解得k=. 答案:,- 3.(2019大慶診斷考試)過動點P作圓:(x-3)2+(y-4)2=1的切線PQ,其中Q為切點,若|PQ|=|PO|(O為坐標原點),則|PQ|的最小值是________. 解析:由題可知圓(x-3)2+(y-4)2=1的圓心N(3,4).設(shè)點P的坐標為(m,n),則|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又|PQ|=|PO|,所以|PN|2=|PO|2+1,即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,化簡得3m+4n=12,即點P在直線3x+4y=12上,則|PQ|的最小值為點O到直線3x+4y=12的距離,點O到直線3x+4y=12的距離d=,故|PQ|的最小值是. 答案:- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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