2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) （共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 知識(shí)與技能：使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能運(yùn)用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出它的幾何性質(zhì)，同時(shí)掌握拋物線的簡(jiǎn)單畫法。 過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，得出拋物線的幾何性質(zhì)，并應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決有關(guān)拋物線的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提高我們的綜合素質(zhì)。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問(wèn)題． 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． 難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 (一)復(fù)習(xí) 1．拋物線的定義是什么？ 2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p＞0)出發(fā)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)． (二)幾何性質(zhì) 怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以y2=2px(p＞0)為例，用小黑板給出下表，請(qǐng)學(xué)生對(duì)比、研究和填寫． 填寫完畢后，再向?qū)W生提出問(wèn)題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？ 學(xué)生和教師共同小結(jié)： (1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但是沒(méi)有漸近線． (2)拋物線只有一條對(duì)稱軸，這條對(duì)稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的連線重合，拋物線沒(méi)有中心． (3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)． (4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較．其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為1．注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的軌跡統(tǒng)一起來(lái)了． (三)應(yīng)用舉例 為了加深對(duì)拋物線的幾何性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1　 已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)求拋物線的方程。 解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 程是y2=4x． 后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對(duì)用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況． 第一象限內(nèi)的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得： (2)描點(diǎn)作圖 描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(如圖)． 例2　 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值． 解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p＞0)，則準(zhǔn)線方 因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|MF|與到準(zhǔn)線的距離 得p=4． 因此，所求拋物線方程為y2=-8x． 又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物線上，故m2=（-8）*(-3)． 解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m．由學(xué)生演板．由題意 在拋物線上且|MF|=5，故 本例小結(jié)： (1)解法一運(yùn)用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn)的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．可得焦半徑公式：設(shè)P(x0， 這個(gè)性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握． (2)由焦半徑不難得出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當(dāng)AB⊥x軸，拋物線的通徑|AB|=2p． 例3　 過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明： (1)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為： 此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有y2y2=-p2． 或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2． 綜合上述有y1y2=-p2 又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)， 本例小結(jié)： (1)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，常把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量，得到關(guān)于另一變量的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理求解，這是解決這類問(wèn)題的一種常用方法． (2)本例命題1是課本習(xí)題中結(jié)論，要求學(xué)生記憶． (四)課堂練習(xí) 1．過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1+x2=6，求|AB|的值． 2．證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)． (五)課時(shí)小結(jié)： 1．拋物線的幾何性質(zhì)； 2．拋物線的應(yīng)用． （六）布置作業(yè) 1．在拋物線y2=12x上，求和焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)． 2．有一正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px上，另一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)． 3．如圖是拋物線拱橋的示意圖，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂高水面2m，水面寬4m，水下降11m后，水面寬多少？ 4．求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切． 板書設(shè)計(jì) 2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1、范圍 例1 例2 2．對(duì)稱性 3．頂點(diǎn) 4．離心率 教學(xué)反思 通過(guò)表格把三種圓錐曲線進(jìn)行比較，讓學(xué)生更深刻地理解它們的區(qū)別與聯(lián)系，有利于學(xué)生更好地掌握相關(guān)概念和性質(zhì)，并靈活應(yīng)用。 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。