第3講　平面向量 [考情考向分析]　1.江蘇高考對(duì)平面向量側(cè)重基本概念與基本計(jì)算的考查．重點(diǎn)是向量的數(shù)量積運(yùn)算.2.向量作為工具，常與三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等結(jié)合，考查向量的綜合運(yùn)用．解題時(shí)要注意解析法和轉(zhuǎn)化思想的滲透． 熱點(diǎn)一　平面向量的線性運(yùn)算 例1　(1)如圖，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N，設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，則＝____________. 答案　(a＋b) 解析　因?yàn)镈E∥BC，所以DN∥BM， 則△AND∽△AMB，所以＝. 因?yàn)椋?，所以? 因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)， 所以＝(＋)＝(a＋b)， 所以＝＝(a＋b)． (2)(2018江蘇啟東中學(xué)模擬)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的值為________． 答案　 解析　由題意得，＝(＋)＝(＋3) ＝(＋3－3)＝2－， ∴＝＋， 故x＋y＝＋＝. 思維升華　(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底，同時(shí)注意向量共線定理的靈活運(yùn)用． (2)運(yùn)算過(guò)程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系． 跟蹤演練1　(1)已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝135，設(shè)＝－＋λ(λ∈R)，則λ的值為________． 答案　 解析　由∠AOC＝135知，點(diǎn)C在直線y＝－x(x<0)上， 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，－a)，a<0， ∵＝－＋λ(λ∈R)，∴有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)， 得a＝－1＋λ，－a＝λ，消去a得λ＝. (2)如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對(duì)角線AC于點(diǎn)K，其中，＝，＝，＝λ，則λ的值為________． 答案　 解析　∵＝，＝， ∴＝，＝2. 由向量加法的平行四邊形法則可知，＝＋， ∴＝λ＝λ(＋) ＝λ＝λ＋2λ， 由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，得λ＋2λ＝1，可得λ＝. 熱點(diǎn)二　平面向量的數(shù)量積 例2　(1)(2018江蘇興化一中模擬)在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在線段AC，BC上，＝，若AE，BD相交于點(diǎn)F，且||＝，則＝________. 答案　3 解析　如圖，由已知，得－＝0， ∴(＋)－(＋)＝0， ∴－＝0， ∴(＋)＝0，即＝0， ∴BD⊥AE，在Rt△BEF中，＝||2＝3. (2)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)如圖，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________． 答案　8－4 解析　以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，C(2，0)，O(0,0)，M(2，－2)， 設(shè)D(2cos α，2sin α)， ∴＝(4，－2)， ＝(2－2cos α，－2sin α)， ∴＝4(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋4sin(α－θ)， 其中tan θ＝2， ∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴()min＝8－4. 思維升華　(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，特別要注意向量坐標(biāo)法的運(yùn)用． (2)求解幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題，把向量分解轉(zhuǎn)化成已知向量的數(shù)量積計(jì)算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標(biāo)系，把數(shù)量積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，也是一種較為簡(jiǎn)捷的方法． 跟蹤演練2　(1)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若＝－3，則＝________. 答案　 解析　方法一　設(shè)＝4a，＝3b， 其中|a|＝|b|＝1， 則＝2a，＝2b. 由＝(＋)(＋)＝－3， 得(3b＋2a)(2b－4a)＝－3， 化簡(jiǎn)得ab＝， 所以＝12ab＝. 方法二　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)， 設(shè)D(3cos α，3sin α)， 則C(3cos α＋2,3sin α)，M(2cos α，2sin α)． 由＝－3， 得(3cos α＋2,3sin α)(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化簡(jiǎn)得cos α＝， 所以＝12cos α＝. (2)如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90，D是BC的中點(diǎn)，若向量＝＋m，且的終點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部(不含邊界)，則的取值范圍是________． 答案　(－2,6) 解析?。?＋) ＝ ＝－16＋16m2 ＝16m2－3， 由平行四邊形法則可得m∈， 所以的取值范圍是(－2,6)． 熱點(diǎn)三　平面向量的綜合問(wèn)題 例3　(1)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足向量a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2，1)共線，c＝，且a(a－c)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　由a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共線得x＋y＝2(xy－2)， 則x＋y＋4＝2xy≤， 即(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立． 又由x，y是正實(shí)數(shù)，得x＋y≥4. 不等式a(a－c)≥0， 即a2≥ac， 所以(x＋y)2＋4≥m(x＋y)＋3， 即(x＋y)2－m(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4， 則t2－mt＋1≥0，t∈[4，＋∞)．(*) 對(duì)于方程t2－mt＋1＝0，當(dāng)Δ＝m2－4≤0， 即－2≤m≤2時(shí)，(*)式恒成立； 當(dāng)m<－2時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對(duì)稱軸t＝<－1，(*)式恒成立； 當(dāng)m>2時(shí)，由相應(yīng)二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對(duì)稱軸t＝<4，且16－4m＋1≥0， 得2<m≤. 綜上可得，當(dāng)m≤時(shí)，(*)式恒成立， 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. (2)在△ABC中，若＋2＝，則的值為________． 答案　 解析　方法一　由＋2＝， 得2bc＋ac ＝ab， 化簡(jiǎn)可得a＝c. 由正弦定理得＝＝. 方法二　作AO⊥BC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)， 所以＝(c，－a)， ＝(b，－a)，＝(c－b,0)， ＝(－b，a)，＝(－c，a)，＝(b－c,0)， 則由＋2＝， 得b2＋2cb＋2a2－c2＝0， 所以b2－2cb＋c2＝(c－b)2＝2(a2＋b2)， 所以BC＝AB. 由正弦定理得＝＝. 思維升華　向量和三角函數(shù)、解析幾何、不等式等知識(shí)的交匯是高考的熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是從知識(shí)背景出發(fā)，脫去向量外衣，回歸到所要考查的知識(shí)方法． 跟蹤演練3　(1)若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|a＋b|≤2ab，則cos(α－β)的值是________． 答案　1 解析　因?yàn)閨a＋b|≤2ab， 所以≤2cos(α－β)， 且cos(α－β)≥0，所以2＋2cos(α－β)≤4cos2(α－β)， 2cos2(α－β)－cos(α－β)－1≥0， 所以cos(α－β)≥1或cos(α－β)≤－(舍去)， 所以cos(α－β)＝1. (2)設(shè)向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定義一種向量積a?b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝，n＝，點(diǎn)P(x，y)在y＝sin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)，且滿足＝m?＋n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)y＝f(x)的值域是________． 答案　 解析　令Q(c，d)，由新的運(yùn)算，可得＝m?＋n ＝＋＝， ∴消去x，得d＝sin， ∴y＝f(x)＝sin， 易知y＝f(x)的值域是. 1．(2016江蘇)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，＝4，＝－1，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)＝a，＝b，則 ＝(－a)(－b)＝ab＝4. 又∵D為BC中點(diǎn)，E，F(xiàn)為AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 則＝(＋)＝a＋b， ＝＝a＋b. ＝＝a＋b， ＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b， ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b， 則＝ ＝－a2－b2＋ab ＝－(a2＋b2)＋4＝－1， 可得a2＋b2＝. 又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b， ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b， 則＝ ＝－(a2＋b2)＋ab＝－＋4＝. 2．(2017江蘇)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1,1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________. 答案　3 解析　如圖，設(shè)＝m，＝n，則在△ODC中，有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45， 由tan α＝7，得cos α＝， 又由余弦定理知， 即 ①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n， 代入①得12n2－49n＋49＝0， 解得n＝或n＝， 當(dāng)n＝時(shí)，m＝10－5＝－<0(舍去)， 當(dāng)n＝時(shí)，m＝10－5＝， 故m＋n＝＋＝3. 3．(2018全國(guó)Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. 答案　 解析　由題意得2a＋b＝(4,2)， 因?yàn)閏∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝. 4．(2018揚(yáng)州樹人學(xué)校模擬)在△ABC中，AH是底邊BC上的高，點(diǎn)G是三角形的重心，若AB＝2，AC＝4，∠BAH＝30，則(＋)＝________. 答案　6 解析　如圖，在△ABC中，AH是底邊BC上的高，AB＝2，∠BAH＝30， ∴AH＝. 由題意得＝－. ∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)． ∴＝(－)(＋) ＝(2－2)＝4. 又＝||||cos∠DAH ＝|||| ＝|||| ＝||2＝2. ∴(＋)＝＋ ＝2＋4＝6. 5．(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 答案　 解析　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 可得A(0,0)，B，C(0，t)， ∵＝＋＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)， ∴P(4,1)． 又||＝，BC的方程為tx＋＝1， ∴點(diǎn)P到直線BC的距離為d＝， ∴△PBC的面積為S＝BCd ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號(hào)， ∴△PBC面積的最小值為. 6．(2017江蘇)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝ab，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． 解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x， ∴3sin x＋cos x＝0， ∴2sin＝0，即sin＝0， ∵0≤x≤π，∴≤x＋≤， ∴x＋＝π，∴x＝. (2)f(x)＝ab＝3cos x－sin x＝－2sin. ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴－≤sin≤1， ∴－2≤f(x)≤3， 當(dāng)x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)取得最大值3； 當(dāng)x－＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－2. A組　專題通關(guān) 1．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則ab＝________. 答案　1 解析　由|a＋b|＝，得|a＋b|2＝10， 即a2＋2ab＋b2＝10.① 又|a－b|＝，所以a2－2ab＋b2＝6，② 由①－②，得4ab＝4，則ab＝1. 2．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＋y＝________. 答案　 解析?。剑剑? ＝＋(－)＝－， ∴x＝，y＝－，∴x＋y＝. 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)c＝，則a，c的夾角大小為________． 答案　120 解析　設(shè)a與c的夾角為θ， ∵a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，則b＝－2a， ∴(a＋b)c＝－ac＝，∴ac＝－. ∴cos θ＝＝＝－， ∵0≤θ≤180，∴θ＝120. 4．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 答案?。? 解析　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)， ∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， 即解得 故m－n＝2－5＝－3. 5．(2018淮安模擬)如圖，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，D為邊BC的中點(diǎn)．若CE⊥AD，垂足為E，則的值為________． 答案?。? 解析　＝(＋)＝ ＝(＋)＝＝－2， 由余弦定理， 得BC＝＝， 得cos C＝＝， AD＝，S△ACD＝， 所以CE＝，所以＝－. 6．在△ABC中，已知＋2＝3，則cos C的最小值是________． 答案　 解析　已知＋2＝3， 可得bccos A＋2accos B＝3abcos C， 由余弦定理得a2＋2b2＝3c2， 由cos C＝＝≥， 當(dāng)b＝a時(shí)取到等號(hào)，故cos C的最小值為. 7．已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若ab＝0，則k的值為________． 答案　 解析　因?yàn)閑1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量， 所以e1e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos ＝－， 又ab＝0，所以(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0， 即k－－2＋(－2k)＝0， 解得k＝. 8．(2018南通模擬)在△ABC中，AB＝5，AC＝4，且＝12，設(shè)P是平面ABC上的一點(diǎn)，則(＋)的最小值是________． 答案　－ 解析　由AB＝5，AC＝4，且＝12，得cos A＝， 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系， 則C(4,0)，B(3,4)， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x，y)， 則(＋)＝(－x，－y)(7－2x,4－2y) ＝2x2－7x＋2y2－4y ＝22＋2(y－1)2－， 即(＋)的最小值是－. 9．設(shè)向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a－b|＝|a＋2b|，求β－α的值． 解　因?yàn)閨2a－b|＝|a＋2b|， 所以|2a－b|2＝|a＋2b|2， 所以8ab＝3(|a|2－|b|2)＝0，所以ab＝0. 又因?yàn)閍＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以ab＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)＝0， 因?yàn)?<α<β<π，所以β－α＝. 10．(2018蘇北六市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝. (1)若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值； (2)設(shè)α＝，0<β<π，且a∥(b＋c)，求β的值． 解　(1)因?yàn)閍＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)， c＝， 所以|a|＝|b|＝|c|＝1， 且ab＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)． 因?yàn)閨a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝c2， 即a2＋2ab＋b2＝1， 所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－. (2)因?yàn)棣粒剑詀＝. 故b＋c＝. 因?yàn)閍∥(b＋c)， 所以－－＝0. 化簡(jiǎn)得，sin β－cos β＝， 所以sin＝. 因?yàn)?<β<π，所以－<β－<. 所以β－＝，即β＝. B組　能力提高 11．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的角平分線與AB邊上的中線交于點(diǎn)O，若＝x＋y(x，y∈R)，則x＋y的值為________． 答案　 解析　可設(shè)AB的中點(diǎn)為D，根據(jù)條件AO為∠BAC的角平分線，從而可得＝＋，k>0. 又D，O，C三點(diǎn)共線及D為AB的中點(diǎn)， 便可得出＝＋(1－λ)， 從而由平面向量基本定理得 所以k＝，所以x＋y＝. 12．(2018江蘇海門中學(xué)模擬)如圖，在扇形AOB中，OA＝4，∠AOB＝120，P為弧AB上的一點(diǎn)，OP與AB相交于點(diǎn)C，若＝8，則的值為________． 答案　4 解析　由題意可知，＝44cos∠AOP＝8， 則cos∠AOP＝，∠AOP＝60， 結(jié)合平面幾何知識(shí)可得OC＝PC＝OP， 由向量的運(yùn)算法則可知 ＝(－)＝(－) ＝42－8＝4. 13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π. (1)若α＝，求函數(shù)f(x)＝bc的最小值及相應(yīng)x的值； (2)若a與b的夾角為，且a⊥c，求tan 2α的值． 解　(1)∵b＝(cos x，sin x)， c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝， ∴f(x)＝bc ＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α ＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)． 令t＝sin x＋cos x， 則2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<. 則y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<， ∴t＝－時(shí)，ymin＝－，此時(shí)sin x＋cos x＝－， 即sin＝－， ∵<x<π，∴<x＋<， ∴x＋＝，∴x＝. ∴函數(shù)f(x)的最小值為－，相應(yīng)x的值為. (2)∵a與b的夾角為， ∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)． ∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝. ∵a⊥c， ∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0. ∴sin 2α＋cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－. 14．(2018江蘇泰州中學(xué)模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝. (1)求的值； (2)設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)，且＝x＋y，其中x，y∈R.求xy的取值范圍． 解　(1)＝(－) ＝－||2＝－－1＝－. (2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則B(1,0)，C. 設(shè)P(cos θ，sin θ)，θ∈， 由＝x＋y， 得(cos θ，sin θ)＝x(1,0)＋y. 所以cos θ＝x－，sin θ＝y(tǒng). 所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ， xy＝sin θcos θ＋sin2θ＝sin 2θ＋(1－cos 2θ) ＝sin＋. 因?yàn)棣取剩?θ－∈， 所以當(dāng)2θ－＝， 即θ＝時(shí)，xy的最大值為1； 當(dāng)2θ－＝－或2θ－＝， 即θ＝0或θ＝時(shí)，xy的最小值為0. 故xy的取值范圍是[0,1]．