(新課改省份專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 第六節(jié) 直線與圓錐曲線講義(含解析).doc
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第六節(jié) 直線與圓錐曲線 突破點一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程. 即由消去y,得ax2+bx+c=0. (1)當a≠0時,設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式為Δ, 則 (2)當a=0,b≠0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個交點,此時,若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線平行;若C為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合. 一、判斷題(對的打“√”,錯的打“”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是:直線l與橢圓C只有一個公共點.( ) (2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是:直線l與雙曲線C只有一個公共點.( ) (3)直線l與拋物線C相切的充要條件是:直線l與拋物線C只有一個公共點.( ) 答案:(1)√ (2) (3) 二、填空題 1.設(shè)拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是________. 答案:[-1,1] 2.已知斜率為1的直線l過橢圓+y2=1的右焦點,交橢圓于A,B兩點,弦AB的長為________. 答案: 3.雙曲線-=1的右頂點為A,右焦點為F,過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,則△AFB的面積為________. 答案: [典例] (1)(2019河南九校聯(lián)考)已知直線y=kx+t與圓x2+(y+1)2=1相切且與拋物線C:x2=4y交于不同的兩點M,N,則實數(shù)t的取值范圍是( ) A.(-∞,-3)∪(0,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-3,0) D.(-2,0) (2)若過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,則這樣的直線有( ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 [解析] (1)因為直線與圓相切,所以=1,即k2=t2+2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2-4kx-4t=0,于是Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,解得t>0或t<-3.選A. (2)結(jié)合圖形(圖略)分析可知,滿足題意的直線共有3條,分別為直線x=0,直線y=1以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0).故選C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧] 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法 (1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù),方程組的解即為交點坐標. (2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線的圖象,根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù). [提醒] 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后,應注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況. [針對訓練] 1.若直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數(shù)為( ) A.至多一個 B.2 C.1 D.0 解析:選B ∵直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,∴圓心到直線的距離d= >2,∴m2+n2<4.∴+<+=1-m2<1,∴點(m,n)在橢圓+=1的內(nèi)部,∴過點(m,n)的直線與橢圓+=1的交點有2個. 2.雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是( ) A.k>- B.k< C.k>或k<- D.-<k< 解析:選D 由雙曲線漸近線的幾何意義知-<k<. 突破點二 圓錐曲線中弦長及中點弦問題 圓錐曲線的弦長公式 設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則 |AB|=|x1-x2| == |y1-y2| = . 一、判斷題(對的打“√”,錯的打“”) (1)如果直線x=ty+a與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B (x2,y2)兩點,則弦長|AB|= |y1-y2|.( ) (2)過拋物線y2=2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.( ) 答案:(1)√ (2)√ 二、填空題 1.頂點為坐標原點,焦點在x軸上的拋物線,截直線2x-y+1=0所得的弦長為,則拋物線方程為________. 答案:y2=12x或y2=-4x 2.橢圓x2+4y2=16被直線y=x+1截得的弦長為________. 答案: 3.過雙曲線-=1的一個焦點作x軸的垂線,則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為________. 答案:, 考法一 弦長問題 [例1] (2019孝義模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且點F1到橢圓C上任意一點的最大距離為3,橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標準方程; (2)是否存在斜率為-1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A,B兩點,與橢圓相交于C,D,且=?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由. [解] (1)根據(jù)題意,設(shè)F1,F(xiàn)2的坐標分別為(-c,0),(c,0),由題意可得 解得a=2,c=1,則b2=a2-c2=3, 故橢圓C的標準方程為+=1. (2)假設(shè)存在斜率為-1的直線l,設(shè)為y=-x+m, 由(1)知F1,F(xiàn)2的坐標分別為(-1,0),(1,0), 所以以線段F1F2為直徑的圓為x2+y2=1, 由題意知圓心(0,0)到直線l的距離d=<1, 得|m|<. |AB|=2=2 =, 聯(lián)立得消去y,得7x2-8mx+4m2-12=0, 由題意得Δ=(-8m)2-47(4m2-12)=336-48m2=48(7-m2)>0,解得m2<7, 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=, |CD|=|x1-x2|= = ==|AB| =, 解得m=. 即存在符合條件的直線l,其方程為y=-x. [方法技巧] 求解弦長的4種方法 (1)當弦的兩端點坐標易求時,可直接利用兩點間的距離公式求解. (2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,解方程組求出兩個交點坐標,代入兩點間的距離公式求解. (3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(x1-x2)2或(y1-y2)2,代入兩點間的距離公式. (4)當弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長. [提醒] 利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形,若k不存在,可直接求交點坐標再求弦長.涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應用. 考法二 中點弦問題 考向一 由中點弦確定直線方程 [例2] 在橢圓+=1中,以點M(1,2)為中點的弦所在直線方程為__________________. [解析] 設(shè)弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2), 代入橢圓方程得 兩式相減得+=0, 所以=-, 即-=, 因為x1+x2=2,y1+y2=4, 所以=-, 故該直線方程為y-2=-(x-1), 即9x+32y-73=0. [答案] 9x+32y-73=0 考向二 由中點弦確定曲線方程 [例3] 過點M(2,-2p)作拋物線x2=2py(p>0)的兩條切線,切點分別為A,B,若線段AB的中點的縱坐標為6,則拋物線方程為________________. [解析] 設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2), 依題意得,y′=,切線MA的方程是y-y1=(x-x1), 即y=x-. 又點M(2,-2p)位于直線MA上,于是有-2p=2-,即x-4x1-4p2=0; 同理有x-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的兩根,則x1+x2=4,x1x2=-4p2. 由線段AB的中點的縱坐標是6得,y1+y2=12, 即==12,=12, 解得p=1或p=2. 故拋物線的方程為x2=2y或x2=4y. [答案] x2=2y或x2=4y 考向三 由中點弦解決對稱問題 [例4] 已知雙曲線x2-=1上存在兩點M,N關(guān)于直線y=x+m對稱,且MN的中點在拋物線y2=18x上,則實數(shù)m的值為__________. [解析] 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點P(x0,y0), 則 由②-①得, (x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),顯然x1≠x2. ∴=3,即kMN=3, ∵M,N關(guān)于直線y=x+m對稱, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0. 又∵y0=x0+m, ∴P, 代入拋物線方程,得m2=18, 解得m=0或-8,經(jīng)檢驗都符合題意. [答案] 0或-8 [方法技巧] 處理中點弦問題常用的2種方法 (1)點差法 設(shè)出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率. (2)根與系數(shù)的關(guān)系 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解. [提醒] 中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端:根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn)生漏解,需關(guān)注直線的斜率問題;點差法在確定范圍方面略顯不足. 1.已知P(1,1)為橢圓+=1內(nèi)一定點,經(jīng)過P引一條弦,使此弦被P點平分,則此弦所在直線的方程為____________. 解析:法一:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)其方程為y-1=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0, ∴x1+x2=, 又∵x1+x2=2,∴=2,解得k=-. 故此弦所在的直線方程為y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 法二:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)斜率為k. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1, ① +=1, ② ①-②得+=0, ∵x1+x2=2,y1+y2=2, ∴+y1-y2=0, ∴k==-. ∴此弦所在的直線方程為y-1=-(x-1), 即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 2.焦點是F(0,5),并截直線y=2x-1所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為__________. 解析:設(shè)所求的橢圓方程為+=1(a>b>0),直線被橢圓所截弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2). 由題意,可得弦AB的中點坐標為, 且=,=-. 將A,B兩點坐標代入橢圓方程中,得 兩式相減并化簡,得=-=-2=3, 所以a2=3b2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25. 故所求橢圓的標準方程為+=1. 答案:+=1 3.拋物線x2=4y與直線x-2y+2=0交于A,B兩點,且A,B關(guān)于直線y=-2x+m對稱,則m的值為________. 解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立消去y,得x2-2x-4=0. 則x1+x2=2,=1. ∴y1+y2=(x1+x2)+2=3,=. ∵A,B關(guān)于直線y=-2x+m對稱, ∴AB的中點在直線y=-2x+m上, 即=-21+m,解得m=. 答案: 4.經(jīng)過橢圓M:+=1(a>b>0)的右焦點的直線x+y-=0交橢圓M于A,B兩點,P為AB的中點,且直線OP的斜率為. (1)求橢圓M的方程; (2)C,D為橢圓M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD的面積的最大值. 解:(1)令A(x1,y1),B(x2,y2),易知右焦點為(,0). 聯(lián)立 得(a2+b2)y2-2b2y+b2(3-a2)=0,① 則y1+y2=,x1+x2=2-(y1+y2), 即kOP=====?a2=2b2. 因為a2-b2=3,所以a2=6,b2=3. 所以橢圓M的方程為+=1. (2)由(1)知方程①為3y2-2y-3=0. 由弦長公式得:|AB|=|y1-y2|= = =. 令CD的方程為:x=y(tǒng)+m. 由得3y2+2my+m2-6=0, 則y1+y2=-,y1y2=. 由弦長公式得|CD|==≤4. 所以S四邊形ACBD=|AB||CD|≤(當且僅當m=0時取最大值). 故四邊形ACBD的面積的最大值為.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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