《2019高考數(shù)學一輪復習 函數(shù)的概念及其性質(zhì)學案理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考數(shù)學一輪復習 函數(shù)的概念及其性質(zhì)學案理.doc（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

函數(shù)的概念及其性質(zhì) 知識點一、函數(shù)的基本概念 1、函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設A，B是非空的數(shù)集 設A，B是非空的集合 對應關系f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)與之對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)，x∈A 對應f：A→B 2、函數(shù)的定義域、值域 (1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關系． 3、表示函數(shù)的常用方法 列表法、圖象法和解析法． 4、分段函數(shù) 在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． 分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． 小題速通 1、若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) 2、下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的函數(shù)是(　　) A．y＝　 B．y＝() C．y＝lg 10x D．y＝2log2x 3、已知函數(shù)f(x)＝則f＝(　　) A．－2 B．4 C．2 D．－1 4、已知f＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于(　　) A. B．－ C. D．－ 易錯點 1、解決函數(shù)有關問題時，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則． 2、易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A，B若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù)． 1、(2018合肥八中模擬)已知函數(shù)f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，則(　　) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4) 2、下列對應關系： ①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根； ②A＝R，B＝R，f：x→x的倒數(shù)； ③A＝R，B＝R，f：x→x2－2； ④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)平方． 其中是A到B的映射的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 知識點二、函數(shù)定義域的求法 函數(shù)y＝f(x)的定義域 小題速通 1、函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1)的定義域為________． 2、函數(shù)y＝lg(1－2x)＋的定義域為________． 易錯點 1、求復合型函數(shù)的定義域時，易忽視其滿足內(nèi)層函數(shù)有意義的條件. 2、求抽象函數(shù)的定義域時，易忽視同一個對應關系后的整體范圍. 1、(2018遼寧錦州模擬)已知函數(shù)f(x2－3)＝lg，則f(x)的定義域為________． 2、已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)＋的定義域為________． 知識點三、函數(shù)的單調(diào)性與最值 1、函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2 當x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． 2、函數(shù)的最值 前提 設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足 條件 (1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結論 M為最大值 M為最小值 小題速通 1、(2018珠海摸底)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是(　　) A．y＝2－x　 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝－ 2、函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 3、(2018長春質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 4、已知定義在R上的函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當x1＋x2＝1時，不等式f(x1)＋f(0)>f(x2)＋f(1)恒成立，則實數(shù)x1的取值范圍是(　　) A．(－∞，0) B. C. D．(1，＋∞) 5、函數(shù)f(x)＝的最大值為________． 易錯點 1、易混淆兩個概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集． 2、若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集．例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(－1,0)∪(0,1)上卻不一定是減函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝. 1、函數(shù)f(x)＝在(　　) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函數(shù) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是減函數(shù) C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函數(shù) D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是減函數(shù) 2、設定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________． 知識點四、函數(shù)的奇偶性 1、定義及圖象特征 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關于原點對稱 2、函數(shù)奇偶性的重要結論 (1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數(shù)集． (4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． 小題速通 1、下列函數(shù)中的偶函數(shù)是(　　) A．y＝2x－ B．y＝xsin x C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x 2、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝3x－1，則f(9)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 3、(2018綿陽診斷)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)f(1) C．f(m)＝f(1) D．f(m)與f(1)大小不能確定 2、函數(shù)f(x)＝的奇偶性為________． 知識點五、函數(shù)的周期性 1、周期函數(shù) 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． 2、最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期． 3、重要結論 周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|. 若在定義域內(nèi)滿足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝，f(x＋a)＝－(a>0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個周期． 4、對稱性與周期的關系 (1)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期． (2)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期． (3)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個周期． 小題速通 1、已知函數(shù)f(x)＝則f(－5)的值為(　　) A．0 B. C．1 D. 2、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(31)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 3、(2018晉中模擬)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)＝2，且對任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，則f(2017)＝________. 易錯點 在利用周期性定義求解問題時，易忽視定義式f（x＋T）＝f（x）（T≠0）的使用而致誤. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝________. 過關檢測練習 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)－的定義域為(　　) A．(－∞，4] B．(1,2)∪(2,4] C．(1,4] D．(2,4] 2．(2017唐山期末)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝(　　) A．－4 B．－2 C．－1 D．－3 3．設函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a的值為(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 4．下列幾個命題正確的個數(shù)是(　　) (1)若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一個正根，一個負根，則a<0； (2)函數(shù)y＝＋是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)； (3)函數(shù)f(x＋1)的定義域是[－1,3]，則f(x2)的定義域是[0,2]； (4)若曲線y＝|3－x2|和直線y＝a(a∈R)的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1. A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果二次函數(shù)f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在區(qū)間(－∞，1)上是減函數(shù)，則(　　) A．a(chǎn)＝－2 B．a(chǎn)＝2 C．a(chǎn)≤－2 D．a(chǎn)≥2 6．若函數(shù)f(x)滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)”，則f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex C．f(x)＝ D．f(x)＝ln(x＋1) 7．已知函數(shù)f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C. D. 8．(2018長春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝，則f(－a)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 二、填空題 9．f(x)＝asin x－blog3(－x)＋1(a，b∈R)，若f(lg(log310))＝5，則f(lg(lg 3))＝________. 10．設a為實常數(shù)，y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝9x＋＋7，若f(x)≥a＋1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為________． 11．設f(x)＝x3＋log2(x＋)，則對任意實數(shù)a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的________條件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)． 12．設定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③當0≤x<1時，f(x)＝2x－1，則f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________. 三、解答題 13．設函數(shù)f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1)求f(x)的解析式；(2)畫出f(x)的圖象． 14．設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積． 高考研究課：一)函數(shù)的定義域、解析式及分段函數(shù) 全國卷5年命題分析 考點 考查頻度 考查角度 函數(shù)的概念 5年1考 函數(shù)定義問題 分段函數(shù) 5年3考 分段函數(shù)求值及不等式恒成立問題 題型一、函數(shù)的定義域問題 [典例]　(1)(2018長沙模擬)函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．(－1，＋∞)　　 B．[－1，＋∞) C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞) (2)若函數(shù)f(x)＝ 的定義域為R，則a的取值范圍為________． 方法技巧 函數(shù)定義域問題的3種?？碱愋图扒蠼獠呗? (1)已知函數(shù)的解析式：構建使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)抽象函數(shù)： ①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． (3)實際問題：既要使構建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實際問題的要求．　　 即時演練 1、函數(shù)f(x)＝＋lg 的定義域為(　　) A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6] 2、已知函數(shù)f(2－x)＝，則函數(shù)f()的定義域為(　　) A．[0，＋∞) B．[0,16] C．[0,4] D．[0,2] 題型二、函數(shù)解析式的求法 函數(shù)的解析式是函數(shù)的基礎知識，高考中重視對待定系數(shù)法、換元法、利用函數(shù)性質(zhì)求解析式的考查.題目難度不大，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). [典例](1)如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切)．已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為(　　) A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________. (3)(2018合肥模擬)已知f(x)的定義域為{x|x≠0}，滿足3f(x)＋5f＝＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為________． 方法技巧 求函數(shù)解析式的常見方法 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設出函數(shù)解析式，根據(jù)題設條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可 換元法 已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時，往往可設h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可 構造法 已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理構造成只含h(x)的式子，用x將h(x)替換 函數(shù)方程法 已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(－x)，f，則可根據(jù)已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x) 即時演練 1．如果f＝，則當x≠0且x≠1時，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 2．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________. 題型三、分段函數(shù) 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為低檔題或中檔題. 常見的命題角度有： (1)分段函數(shù)求值問題； (2)求參數(shù)值或自變量的取值范圍； (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì). 角度一：分段函數(shù)求值問題 1、已知函數(shù)f(x)＝則f[f(ln 2)]＝________. 角度二：求參數(shù)或自變量的取值范圍 2、設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________． 3、已知函數(shù)f(x)＝若f(f(m))≥0，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－2,2]∪[4，＋∞) C．[－2,2＋] D．[－2,2＋]∪[4，＋∞) 角度三：研究分段函數(shù)的性質(zhì) 4、已知函數(shù)f(x)＝則下列結論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù) C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域為[－1，＋∞) 5、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 方法技巧 分段函數(shù)問題的3種類型及求解策略 (1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解． (2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍 應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍． (3)研究分段函數(shù)的性質(zhì) 可根據(jù)分段函數(shù)逐段研究其性質(zhì)，也可根據(jù)選項利用特殊值法作出判斷．　　 高考真題演練 1．(2016全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 2．(2015全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　　B．6　　　　　C．9　　　　　D．12 3．(2015全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 4．(2013全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 高考達標檢測 一、選擇題 1．(2018廣東模擬)設函數(shù)f(x)滿足f＝1＋x，則f(x)的表達式為(　　) A.　　　　　 B. C. D. 2．函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　) A. B.∪(0，＋∞) C. D．[0，＋∞) 3．設函數(shù)f：R→R滿足f(0)＝1，且對任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，則f(2 017)＝(　　) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018 4．若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，則f(1)＝(　　) A．2 B．0 C．1 D．－1 5．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 6．(2018青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝則使f(x)＝2的x的集合是(　　) A. B. C. D. 7．(2018萊蕪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為[3,6]，則函數(shù)y＝的定義域為(　　) A. B. C. D. 8．(2018武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)＝滿足f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能取值為(　　) A．1或－ B．－ C．1 D．1或 二、填空題 9．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為________． 10．已知函數(shù)y＝lg(kx2＋4x＋k＋3)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是________． 11．具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)．下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是________．(填序號) 12．(2016北京高考)設函數(shù)f(x)＝ ①若a＝0，則f(x)的最大值為________； ②若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題 13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))與g(f(2))；(2)求f(g(x))與g(f(x))的表達式． 14．水庫的儲水量隨時間而變化，現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，以年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的儲水量(單位：億立方米)關于t的近似函數(shù)關系式為：v(t)＝ (1)該水庫的儲水量小于50的時期稱為枯水期，問：一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？ (2)求一年內(nèi)該水庫的最大儲水量．(取的值為4.6計算，e3的值為20計算) 能力提高訓練題 1．已知函數(shù)f(x)＝在定義域[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且對于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一個實數(shù)解，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x在區(qū)間[0,2n](n∈N*)上的所有零點的和為(　　) A. B．22n－1＋2n－1 C. D．2n－1 2．設函數(shù)f(x)＝其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.5]＝－2，[2.5]＝2，若直線y＝k(x－1)(k<0)與函數(shù)y＝f(x)的圖象只有三個不同的交點，則k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 高考研究課(二)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性 全國卷5年命題分析 考點 考查頻度 考查角度 函數(shù)的單調(diào)性 5年4考 利用單調(diào)性解不等式、比較大小、求最值 函數(shù)的奇偶性 5年5考 奇偶性的判斷及應用求值 函數(shù)的周期性 未考查 題型一、函數(shù)的單調(diào)性 高考對函數(shù)單調(diào)性的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也應用于解答題中的某一問中.,常見的命題角度有： (1)確定函數(shù)的單調(diào)性； (2)求函數(shù)的值域或最值； (3)比較兩個函數(shù)值； (4)解函數(shù)不等式； (5)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍. 角度一：確定函數(shù)的單調(diào)性 1．(2018昆明調(diào)研)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝－x　　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x 2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5x 3．(2018廣東佛山聯(lián)考)討論函數(shù)f(x)＝(a>0)在(－1,1)上的單調(diào)性． 方法技巧 確定函數(shù)單調(diào)性的常用方法 定義法 先確定定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結論 圖象法 若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性 導數(shù)法 先求導，再確定導數(shù)值的正負，由導數(shù)的正負得函數(shù)的單調(diào)性 [提醒]　復合函數(shù)y＝f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)；單調(diào)性不同時為減函數(shù)． 角度二：求函數(shù)的值域或最值 4．函數(shù)y＝2x2＋2x的值域為(　　) A. B．[2，＋∞) C. D．(0,2] 5．(2016北京高考)函數(shù)f(x)＝(x≥2)的最大值為________． 方法技巧 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值的關鍵是準確判斷其單調(diào)性，而判斷方法常用定義法及導數(shù)法．　　 角度三：比較兩個函數(shù)值 6．(2017天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c 方法技巧 比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．　　 角度四：解函數(shù)不等式 8．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則滿足f(2x－1)f(2－a)，則a的取值范圍是________． 方法技巧 在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數(shù)的定義域．　　 角度五：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 10．(2018濟寧模擬)函數(shù)f(x)＝滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有>0成立，則實數(shù)a的取值范圍為____________． 方法技巧 利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略 (1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)； (2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．　　 題型二、函數(shù)的奇偶性 [典例]　(1)(2018重慶適應性測試)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝x3＋3x2 B．y＝ C．y＝xsin x D．y＝log2 (2)(2018湖北武漢十校聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) (3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝________. 方法技巧 應用函數(shù)奇偶性可解決的4類問題 (1)判定函數(shù)奇偶性 ①定義法： 　　 ②圖象法： ③性質(zhì)法： 設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇． (2)求解析式 先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)f(－x)＝0得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值． (4)利用函數(shù)的奇偶性求值 首先判斷函數(shù)解析式或解析式的一部分的奇偶性，然后結合已知條件通過化簡、轉(zhuǎn)換求值． 即時演練 1．若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 2．已知函數(shù)f(x)＝asin x－btan x＋4cos ，且f(－1)＝1，則f(1)＝(　　) A．3 B．－3 C．0 D．4－1 3．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[6a－1，a]，則a＋b＝(　　) A. B．－1 C．1 D．7 題型三、函數(shù)的周期性 [典例]　(1)設定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝________. (2)(2018煙臺模擬)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0,2]上的解析式為f(x)＝則f＋f＝________. 方法技巧 函數(shù)周期性問題的求解策略 (1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題． (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．　　 即時演練 1．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，當x∈[－1,0]時，f(x)＝e－x，設a＝f(－)，b＝f(3)，c＝f(8)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a 2．(2016江蘇高考)設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． 題型四、函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一個性質(zhì)，而是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查. 常見的命題角度有： (1)單調(diào)性與奇偶性結合； (2)周期性與奇偶性結合； (3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結合. 角度一：單調(diào)性與奇偶性結合 1．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函數(shù)，則有(　　) A．f0，則x的取值范圍是________． 5．(2014全國卷Ⅱ)偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝________. 高考達標檢測 一、選擇題 1．(2017北京高考)已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 2．(2018遼寧階段測試)設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋mln (1－x)是偶函數(shù)，則(　　) A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù) D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是減函數(shù) 3．已知x，y∈R，且x>y>0，則(　　) A.－>0　　　　 B．sin x－sin y>0 C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0 4．(2016山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x＞時，f＝f，則f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 5．(2018湖南聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若a＝f，b＝f，c＝f，則a，b，c的大小關系為(　　) A．bf(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ 8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且當x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 二、填空題 9．(2016天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝________. 11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，且對于任意x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有>0.若f＝，2f<1，則x的取值范圍為________． 12．(2017江蘇高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題 13．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2. 14．(2018湖南長郡中學測試)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)＝. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)證明：f(x)在(0,1)上是減函數(shù)． 能力提高訓練題 1．已知奇函數(shù)f(x)(x∈D)，當x>0時，f(x)≤f(1)＝2.給出下列命題： ①D＝[－1,1]；②對?x∈D，|f(x)|≤2；③?x0∈D，使得f(x0)＝0；④?x1∈D，使得f(x1)＝1. 其中所有正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D.