1.3.3 函數(shù)的奇偶性（第二課時） “奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合與函數(shù)概念”的第3節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第2小節(jié)。奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，從知識結(jié)構(gòu)看，它既是函數(shù)概念的拓展和深化，又為是繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課起著承上啟下的重要作用。學(xué)習(xí)奇偶性，能使學(xué)生再次體會到數(shù)形結(jié)合思想，初步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待事物，感受數(shù)學(xué)的對稱美。 1.教學(xué)重點：函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義。 2.教學(xué)難點：奇偶性概念的數(shù)學(xué)化提煉過程 1． 知識梳理 1.定義： 偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)． 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)． 2. 圖像： 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱。 3. 定義域：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱． 2． 題型探究 類型一 函數(shù)奇偶性的判斷 例1.給出以下結(jié)論： ①f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)； ②g(x)＝既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； ③F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函數(shù)； ④h(x)＝＋既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．其中正確的序號是________． 【分析】 先求函數(shù)的定義域，若定義域不關(guān)于原點對稱，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若關(guān)于原點對稱，利用函數(shù)的奇偶性判斷． 【答案】 ①③④ 方法規(guī)律：定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟 類型二 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值 例2.(1)(2016滄州高一檢測)若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝( ) A. B. C. D．1 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________. 【精彩點撥】 (1)利用奇函數(shù)的定義得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a； (2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我們構(gòu)造出函數(shù)g(x)＝f(x)＋8，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，可得g(x)為奇函數(shù)，由f(－2)＝10，我們逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)． 【答案】 (1)A (2)－26 方法規(guī)律： 1．由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)應(yīng)關(guān)注兩點 (1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法，也是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用． (2)利用常見函數(shù)如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)具有奇偶性的條件也可求得參數(shù)． 2．利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)不具有奇偶性，一般需利用所給的函數(shù)來構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此． 類型三 利用奇偶性求函數(shù)的解析式 例3.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝＋1，求f(x)的解析式． 【精彩點撥】 要求函數(shù)的解析式，根據(jù)題意，只要求當(dāng)x≤0的函數(shù)解析式，由x＞0時，f(x)＝，可先設(shè)x＜0，則－x＞0，結(jié)合f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，可求f(x)． 【自主解答】 設(shè)x＜0，則－x＞0，∴f(－x)＝＋1，∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1， ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ 方法規(guī)律： 利用奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟 1．在哪個區(qū)間上求解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間． 2．把x對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入． 3．利用函數(shù)的奇偶性把f(－x)改寫成－f(x)或f(x)，從而求出f(x)． 類型四 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用 例4.(1)(2016洛陽高一檢測)定義在R上的偶函數(shù)f(x) 滿足：對任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，則當(dāng)n∈N*時，有( ) A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1) B．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) C．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1) D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n) (2)已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，且f(1－a)＋f(1－2a)＜0，則a的取值范圍是________． 【精彩點撥】 (1)根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可． (2)由于y＝f(x)在定義域(－1,1)上，其圖象關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．再利用單調(diào)性即可得出． (2)∵y＝f(x)在定義域(－1,1)上，其圖象關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．∵f(1－a)＋f(1－2a)＜0，∴f(1－a)＜－f(1－2a)＝f(2a－1)， 又y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，∴1＞1－a＞2a－1＞－1，解得0<a<. ∴a的取值范圍是0<a<. 【答案】 (1)B (2) 方法規(guī)律： 1．利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題，要首先弄清函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性列出不等式并求解，同時不應(yīng)忘記函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響． 2．利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較． 三．達(dá)標(biāo)檢測 1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有________．(填序號) (1)f(x)＝x3；(2)f(x)＝|x|＋1；(3)f(x)＝； (4)f(x)＝x＋；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]； (6)f(x)＝. 數(shù)； 對于(6)，定義域為(－∞，－1]∪[1，＋∞)，關(guān)于原點對稱，f(－x)＝＝＝f(x)，則為偶函數(shù)．故為偶函數(shù)的是(2)(3)(6)． 【答案】 (2)(3)(6) 2.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝( ) A．0 B．1 C. D．5 【解析】 由f(1)＝，對f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)． 又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)．于是f(2)＝2f(1)＝1；令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝. 【答案】 C 3.已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(x－2)，則當(dāng)x＜0時，f(x)的表達(dá)式為( ) A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2) C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2) 【答案】 D 4.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是( ) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 【解析】 由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知，若x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則x∈(－∞，0)時，f(x)是減函數(shù)，故其圖象的幾何特征是自變量的絕對值越小，則其函數(shù)值越小， ∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故選A. 【答案】 A