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第05節(jié) 導數(shù)的綜合應用 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極 小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導數(shù)解決某些實際問題. 2014?浙江文科21，理科22； 2017?浙江卷7，20. 2018?浙江10，22； 1.以研究函數(shù)的單調性、單調區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結合； 2. 導數(shù)是研究函數(shù)性質的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調性、極值與最值、函數(shù)的零點等．從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結合考查，且有綜合化更強的趨勢． 3.適度關注生活中的優(yōu)化問題. 4.備考重點： (1) 熟練掌握導數(shù)公式及導數(shù)的四則運算法則是基礎； (2) 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值（最值）的基本方法，靈活運用數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題. 【知識清單】 1. 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質 函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應先觀察選項的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關性質，進而得到正確的選項.如該題中函數(shù)解析式雖然比較復雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調性很容易利用排除法得到正確選項. 2．與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題 1．方程有實根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點． 2．求極值的步驟： ①先求的根（定義域內的或者定義域端點的根舍去）； ②分析兩側導數(shù)的符號：若左側導數(shù)負右側導數(shù)正，則為極小值點；若左側導數(shù)正右側導數(shù)負，則為極大值點. 3．求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域. 4．函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標. 3．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題 不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉化為求函數(shù)的最值問題來處理． ： 4．利用導數(shù)證明、解不等式問題 無論不等式的證明還是解不等式，構造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質（單調性和最值），達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶. 【重點難點突破】 考點1 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質 【1-1】【2018年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調性，確定函數(shù)圖像. 詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D; ，所以舍去C；因此選B. 【1-2】【2017浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 【答案】D 【解析】,原函數(shù)先減再增，再減再增，且由增變減時，極值點大于0，因此選D． 【領悟技法】 導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調區(qū)間． 【觸類旁通】 【變式一】函數(shù)y=4cosx-e|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是 A B C D 【答案】A 【變式二】函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 【答案】D 考點2 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題 【2-1】【2018年理數(shù)全國卷II】已知函數(shù)． （1）若，證明：當時，； （2）若在只有一個零點，求． 【答案】（1）見解析（2） 詳解：（1）當時，等價于． 設函數(shù)，則． 當時，，所以在單調遞減． 而，故當時，，即． （2）設函數(shù)． 在只有一個零點當且僅當在只有一個零點． （i）當時，，沒有零點； （ii）當時，． 當時，；當時，． 所以在單調遞減，在單調遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點， 由（1）知，當時，，所以． 故在有一個零點，因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 【2-2】【2016新課標1卷】已知函數(shù)有兩個零點. (I)求a的取值范圍； (II)設x1,x2是的兩個零點,證明：. 【答案】 【解析】 （Ⅰ）． （i）設,則,只有一個零點． （iii）設,由得或． 若,則,故當時,,因此在上單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 若,則,故當時,；當時,．因此在單調遞減,在單調遞增．又當時,,所以不存在兩個零點． 綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設,由（Ⅰ）知,,在上單調遞減,所以等價于,即． 由于,而,所以 ． 設,則． 所以當時,,而,故當時,． 從而,故． 【領悟技法】 1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結合導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理. 3. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題． 【觸類旁通】 【變式一】【2017課標3，理11】已知函數(shù)有唯一零點，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】 試題分析：函數(shù)的零點滿足， 設，則， 當時，，當時，，函數(shù) 單調遞減， 當時，，函數(shù) 單調遞增， 當時，函數(shù)取得最小值， 設 ，當時，函數(shù)取得最小值 ， 【變式二】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù) ）. （1）當是，求證： ； （2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ） 【解析】試題分析：（Ⅰ）證明不等式，就是證明，先利用導數(shù)求函數(shù)最值：求導函數(shù)，由零點存在定理確定零點范圍，分析函數(shù)單調性，確定函數(shù)最值，再根據(jù)基本不等式證明，（Ⅱ）根據(jù)圖像可知原題等價于在上有唯一極大值點，且極大值大于零，即根據(jù)極值定義得及極大值再利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，根據(jù)單調性解不等式得，進而得到的取值范圍. （Ⅱ） 故等價于在上有唯一極大值點 得： 故 令 ，則 又在上單增，由，得 綜上， 考點3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題 【3-1】【2018屆浙教版高三二輪專題測試】已知函數(shù)，g(x)＝－x2＋2bx－4，若對任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A. B. (1，＋∞) C. D. 【答案】A 【解析】依題意，問題等價于f(x1)min≥g(x2)max. (x＞0)， 所以. 由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(1，3)，同理得f(x)的單調遞減區(qū)間是(0，1)和(3，＋∞)，故在區(qū)間(0，2)上，x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點，這個極小值點是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－. 函數(shù)g(x2)＝－＋2bx2－4，x2∈[1，2]. 當b＜1時，g(x2)max＝g(1)＝2b－5； 當1≤b≤2時，g(x2)max＝g(b)＝b2－4； 當b＞2時，g(x2)max＝g(2)＝4b－8. 故問題等價于 或或 解第一個不等式組得b＜1， 解第二個不等式組得1≤b≤， 第三個不等式組無解. 綜上所述，b的取值范圍是. 故選A. 【3-2】已知函數(shù)． （1）求在上的最小值； （2）若關于的不等式只有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1） ；（2）. （2）由（1）知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為， 且在上，又，則．又． ∴時，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； 時，由不等式得，解集為， 整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意； 時，由不等式得或， ∵解集為無整數(shù)解， 若不等式有兩整數(shù)解，則， ∴ 綜上，實數(shù)的取值范圍是 【領悟技法】 含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：①的圖象和圖象特點考考慮；②構造函數(shù)法，一般構造，轉化為的最值處理；③參變分離法，將不等式等價變形為，或，進而轉化為求函數(shù)的最值. 【觸類旁通】 【變式一】已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因為，所以，則，則要使，則，可轉化為：存在使得成立．設，則．因為，則，從而，所以，即，選C 【變式二】【2018屆四川省梓潼中學校模擬（二）】已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意，求得，得到，又由，分離參數(shù)得，設，利用導數(shù)求解單調性和最大值，即可求解. 詳解：由函數(shù)，得， 又由，可得的圖象關于對稱， 可得，所以， 由，可得， 可得，即， 設， 則， 可知函數(shù)在內單調遞增，在區(qū)間上單調遞減， 可知， 所以實數(shù)的取值范圍是，故選C. 考點4 利用導數(shù)證明、解不等式問題 【4-1】【2018年浙江卷】已知成等比數(shù)列，且．若，則 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先證不等式，再確定公比的取值范圍，進而作出判斷. 詳解：令則，令得，所以當時，，當時，，因此， 若公比，則，不合題意； 若公比，則 但， 即，不合題意； 因此， ，選B. 點睛：構造函數(shù)對不等式進行放縮，進而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如 【4-2】【2018年浙江卷】已知函數(shù)f(x)=?lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點． 【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析 【解析】分析: （Ⅰ）先求導數(shù)，根據(jù)條件解得x1，x2關系，再化簡f(x1)+f(x2)為，利用基本不等式求得取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調性證明不等式，（Ⅱ）一方面利用零點存在定理證明函數(shù)有零點，另一方面，利用導數(shù)證明函數(shù)在上單調遞減，即至多一個零點.兩者綜合即得結論. 詳解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導函數(shù)， 由得， 因為，所以． 由基本不等式得． 因為，所以． 由題意得． 設， 則， 所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + 2-4ln2 所以g（x）在[256，+∞）上單調遞增， 故， 即． （Ⅱ）令m=，n=，則 f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0， f（n）–kn–a<≤<0， 所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a， 所以，對于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點． 由f（x）=kx+a得． 設h（x）=， 則h′（x）=， 其中g（x）=． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個實根． 綜上，當a≤3–4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點． 【領悟技法】 1.利用導數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口. 2.利用導數(shù)解不等式的基本方法是構造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調性 ，從而解不等式的方法. 【觸類旁通】 【變式一】【2017課標II，理】已知函數(shù)，且. (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點，且. 【答案】(1)； (2)證明略. 【解析】 （2）由（1）知 ，. 設，則. 當 時， ；當 時， ， 所以 在 單調遞減，在 單調遞增. 【變式二】【2017課標3，理21】已知函數(shù) . （1）若 ，求a的值； （2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n ，求m的最小值. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 試題分析：(1)由原函數(shù)與導函數(shù)的關系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得 ； (2)利用題意結合(1)的結論對不等式進行放縮，求得，結合可知實數(shù) 的最小值為 【易錯試題常警惕】 易錯典例：已知函數(shù). （Ⅰ）求的單調區(qū)間； （Ⅱ）設，若對任意，均存在，使得＜，求的取值范圍． 易錯分析：（Ⅰ）忽視定義域致誤；（Ⅱ）對全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤． 正確解析：. （Ⅰ）. ①當時，，， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是. ②當時，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是. ③當時，， 故的單調遞增區(qū)間是. ④當時，， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是. （Ⅱ）由已知，在上有. 由已知，，由（Ⅱ）可知， ①當時，在上單調遞增， 故， 所以，，解得， 故. ②當時，在上單調遞增，在上單調遞減， 故. 由可知，，， 所以，，， 綜上所述，. 溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應豎立定義域優(yōu)先原則；(2) 任意，指的是區(qū)間內的任意一個自變量；存在，指的是區(qū)間內存在一個自變量，故本題是恒成立問題和有解問題的組合. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 ——————化抽象為具體——數(shù)形結合思想 數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質. 數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍 在解答導數(shù)問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如： 【典例1】已知是常數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ） 【答案】D 【解析】 由已知，，由圖象可知，對稱軸，解得，則函數(shù)的圖象如圖，則函數(shù)的圖象為D. 【典例2】已知函數(shù)（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_____. 【答案】