(浙江專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第78練 高考大題突破練—圓錐曲線中的定點、定值問題練習(含解析).docx
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第78練 高考大題突破練—圓錐曲線中的定點、定值問題 [基礎保分練] 1.(2019嘉興模擬)點P(1,1)為拋物線y2=x上一定點,斜率為-的直線與拋物線交于A,B兩點. (1)求弦AB中點M的縱坐標; (2)點Q是線段PB上任意一點(異于端點),過Q作PA的平行線交拋物線于E,F(xiàn)兩點,求證:|QE||QF|-|QP||QB|為定值. 2.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,且點P為橢圓E上一點.點A,B為橢圓E的上、下頂點,動點M在第一象限內(nèi)且坐標為(m,2),過點M作直線MA,MB分別交橢圓E于C,D兩點. (1)求橢圓E的標準方程; (2)直線CD是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由. 3.設橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,右焦點到直線+=1的距離d=,O為坐標原點. (1)求橢圓C的方程; (2)過點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A,B兩點,證明:點O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值. [能力提升練] 4.平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率是,拋物線E:x2=2y的焦點F是C的一個頂點. (1)求橢圓C的方程; (2)設P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M. ①求證:點M在定直線上; ②直線l與y軸交于點G,記△PFG的面積為S1,△PDM的面積為S2,求的最大值及取得最大值時點P的坐標. 答案精析 基礎保分練 1.(1)解 (1)kAB===-,(*) ∴yA+yB=-2,∴M點縱坐標為-1. (2)證明 設Q(x0,y0),直線EF:x-x0=t1(y-y0),直線PB:x-x0=t2(y-y0), 聯(lián)立方程組 得y2-t1y+t1y0-x0=0, 所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0, |QE||QF|=|yE-y0||yF-y0|=(1+t)|y-x0|. 同理|QP||QB|=(1+t)|y-x0|. 由(*)可知,t1===y(tǒng)A+yP,t2==y(tǒng)B+yP, 所以t1+t2=(yA+yB)+2yP=-2+2=0, 即t1=-t2,即t=t, 所以|QE||QF|=|QP||QB|, 即|QE||QF|-|QP||QB|=0為定值. 2.解 (1)由e==,可得a=2b,將代入橢圓E的方程, 得+=1,解得b=1,a=2, ∴橢圓E的標準方程為+y2=1. (2)由題意,得A(0,1),B(0,-1), 則直線MA的方程為y=+1,直線MB的方程為y=-1, 聯(lián)立 ∴xC=,xD=. ∴C,D, ∴kCD==, 則直線CD的方程為y=x+, ∴直線CD過定點. 3.解 (1)由e=,得=,即a=2c,∴b=c. 由右焦點到直線+=1的距離d=,得=,解得a=2,b=. ∴橢圓C的方程為+=1. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2), 當直線AB的斜率不存在時,x2=x1,y1=-y2,∴y=x. 又+=1, 解得|x1|==, 即點O到直線AB的距離d=; 當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+m, 與橢圓的方程+=1聯(lián)立并消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ∴x1+x2=-,x1x2=. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0, ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, ∴(k2+1)-+m2=0, 整理得7m2=12(k2+1), ∴點O到直線AB的距離d===. ∴點O到直線AB的距離為定值. ∵OA⊥OB, ∴OA2+OB2=AB2≥2OAOB, 當且僅當OA=OB時取“=”. 由dAB=OAOB,得 dAB=OAOB≤, ∴AB≥2d=, 即弦AB長度的最小值是. 能力提升練 4.(1)解 由題意知=, 可得a2=4b2,因為拋物線E的焦點為 F,所以b=,a=1, 所以橢圓C的方程為x2+4y2=1. (2)①證明 設P(m>0), 由x2=2y,可得y′=x,所以直線l的斜率為m, 因此直線l的方程為y-=m(x-m),即y=mx-. 設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 聯(lián)立方程 得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0. 由Δ>0,得0- 配套講稿:
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