第1講直線與圓 考向預測 1．直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是高考的重點； 2．考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題． 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1．若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．兩個距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝． (2)點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝． 3．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r． (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝． 4．直線與圓的位置關(guān)系的判定 (1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r?相交；d＝r?相切； d>r?相離． (2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ>0?相交； Δ＝0?相切；Δ<0?相離． 熱點一　直線的方程 【例1】(2018江南十校)已知點M(a,b)，a>0，b>0是圓C:x2+y2=1內(nèi)一點，直線ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1圍成的四邊形的面積為S，則下列說法正確的是（） A．S>4 B．S≥4 C．S<4 D．S≤4 解析由已知a2+b2<1，四條直線圍成的四邊形面積S=42ab≥4a2+b2>4． 答案A 探究提高　1．求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性． 2．求直線方程時應根據(jù)條件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意． 【訓練1】(2017貴陽質(zhì)檢)已知直線l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　“l(fā)1⊥l2”的充要條件是“m(m－3)＋12＝0?m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件． 答案　A　 熱點二　圓的方程 【例2】(2019江西名校聯(lián)盟)已知點A(-2,-1)，B(1,3)，則以線段AB為直徑的圓的方程為（） A．(x-12)2+(y+1)2=25 B．(x+12)2+(y-1)2=25 C．(x-12)2+(y+1)2=254 D．(x+12)2+(y-1)2=254 解析圓心為AB的中點-12,1，半徑為(-12+2)2+(1+1)2=52， 則以線段AB為直徑的圓的方程為(x+12)2+(y-1)2=254． 答案D． 探究提高　1．直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． 2．待定系數(shù)法求圓的方程． 【訓練2】圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長為2，則圓C的標準方程為________． 解析　設圓心(a>0)，半徑為a． 由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2． 所以圓心為(2，1)，半徑為2， 所以圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4． 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4 熱點三　直線與圓的位置關(guān)系 【例3】(1)(2019銀川一中)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點，且|OA+OB|=|OA-OB|， 其中O為坐標原點，則實數(shù)a的值為（） A．2 B．2 C．－2 D．2 (2)(2017菏澤二模)已知圓C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直線l：y＝a(x－3)被圓C截得的弦長最短時，直線l方程為________． 解析　(1)由|OA+OB|=|OA-OB|得OA+OB2=OA-OB2，OA?OB=0，OA⊥OB， 三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為2，即a2=2，a＝2， 故選B． (2)圓C的標準方程為(x－4)2＋(y－1)2＝9， ∴圓C的圓心C(4，1)，半徑r＝3． 又直線l：y＝a(x－3)過定點P(3，0)， 則當直線y＝a(x－3)與直線CP垂直時，被圓C截得的弦長最短． 因此akCP＝a＝－1，∴a＝－1． 故所求直線l的方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0． 答案　(1)B，(2)x＋y－3＝0 探究提高　1．研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題． 2．與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理． 【訓練3】(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2，4)． (1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程； (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程； (3)設點T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點P和Q，使得＋＝，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)圓M的方程化為標準形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6，7)，半徑r＝5， 由題意，設圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)， 且＝b＋5． 解得b＝1，∴圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1． (2)∵kOA＝2，∴可設直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0． 又|BC|＝|OA|＝＝2， 由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d＝＝＝2， 即＝2，解得m＝5或m＝－15． ∴直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0． (3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形， 又∵P，Q為圓M上的兩點，∴|PQ|≤2r＝10． ∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10， 解得2－2≤t≤2＋2． 故所求t的范圍為[2－2，2＋2]．  1．(2016全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝（） A．－ B．－ C． D．2 2．(2018全國III卷)直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓x-22+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（） A．2?，??6 B．4?，??8 C．2?，??32 D．22?，??32 3．(2016全國Ⅰ卷)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4．(2018全國I卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A?，??B兩點，則AB=________． 1．(2018聊城一中)已知斜率為k的直線l平分圓x2+y2-2x+3y=0且與曲線y2=x恰有一個公共點，則滿足條件的k值有（）個 A．1 B．2 C．3 D．0 2．過點(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為（） A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 3．(2015全國Ⅱ卷)已知三點A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為（） A． B． C． D． 4．(2017北京卷)已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標為(－2，0)，O為原點，則的最大值為________． 5．(2015全國Ⅰ卷)已知過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)若＝12，其中O為坐標原點，求|MN|． 1．(2018成都月考)直線l:x+4y=2與圓C:x2+y2=1交于A、B兩點，O為坐標原點，若直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，則cosα+cosβ=（） A．1817 B．-1217 C．-417 D．417 2．(2017濟南調(diào)研)若直線x－y＋m＝0被圓(x－1)2＋y2＝5截得的弦長為2，則m的值為（） A．1 B．－3 C．1或－3 D．2 3．(2017廣安調(diào)研)過點(1，1)的直線l與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點，當|AB|＝4時，直線l的方程為________． 4．(2017池州模擬)某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120，則圓C的方程為________． 5．已知點A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程．  參考答案 1．【解題思路】點到直線距離公式d＝． 【答案】圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0化為標準方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圓心為(1，4)． 由題意，得d＝＝1，解得a＝－．故選A． 2．【解題思路】先求出A，B兩點坐標得到AB，再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可 【答案】∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點， ∴A-2,0,B(0,-2),則AB=22， ∵點P在圓（x-2）2+y2=2上，∴圓心為（2，0），則圓心到直線距離d1=|2+0+2|2=22， 故點P到直線x+y+2=0的距離d2的范圍為[2,32]， 則S△ABP=12ABd2=2d2∈[2,6]， 故答案選A． 點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題． 3．【解題思路】利用弦心距結(jié)合勾股定理求弦長列方程求半徑． 【答案】圓C的標準方程為x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)， 點C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝． 又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π．故填4π． 4．【解題思路】首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，得到圓心坐標和圓的半徑的大小，之后應用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長． 【答案】根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+1)2=4， 所以圓的圓心為(0,-1)，且半徑是2， 根據(jù)點到直線的距離公式可以求得d=0+1+112+(-1)2=2， 結(jié)合圓中的特殊三角形，可知AB=24-2=22，故答案為22． 點睛：該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果． 1．【解題思路】直線平分圓可知，直線經(jīng)過圓心，從而可得直線的方程，然后和曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)公共點的個數(shù)，確定k的值． 【答案】圓x2+y2-2x+3y=0的圓心為(1,-32)，所以設直線為y+32=k(x-1)． 聯(lián)立y+32=k(x-1)y2=x，得ky2-y-k-32=0． 因為恰有一個公共點，所以k=0或者k≠01-4k(-k-32)=0，解得k=-354． 綜上可得，k的值有3個，故選C． 2．【解題思路】過圓上一點作圓的切線有且只有一條． 【答案】依題意知，點(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點． ∵圓心(1，0)與切點(3，1)連線的斜率為，所以切線的斜率k＝－2． 故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0．故選B． 3．【解題思路】待定系數(shù)法求圓的方程． 【答案】設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴∴ ∴△ABC外接圓的圓心為， 因此圓心到原點的距離d＝＝．故選B． 4．【解題思路】設出P點坐標，直接利用向量數(shù)量積定義即可． 【答案】由題意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1， 則＝(2，0)(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故的最大值為6．故填6． 5．【解題思路】(1)直線與圓相交，可得d<r，(2)利用韋達定理． 【答案】(1)由題設，可知直線l的方程為y＝kx＋1， 因為l與C交于兩點，所以<1，解得<k<． 所以k的取值范圍為． (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)． 將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0． 所以x1＋x2＝，x1x2＝． ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8． 由題設可得＋8＝12，解得k＝1， 所以l的方程為y＝x＋1． 故圓心C在l上，所以|MN|＝2． 1．【解題思路】設A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函數(shù)的定義得：cosα+cosβ＝x1+x2，由此利用韋達定理能求出cosα+cosβ的值． 【答案】設A（x1，y1），B（x2，y2）， 由三角函數(shù)的定義得：cosα+cosβ＝x1+x2， 由x+4y=2x2+y2=1．，消去y得：17x2﹣4x﹣12＝0 則x1+x2=417，即cosα+cosβ=417．故選D． 2．【解題思路】利用弦心距結(jié)合勾股定理求圓心到直線的距離，再利用點到直線距離公式求m． 【答案】∵圓(x－1)2＋y2＝5的圓心C(1，0)，半徑r＝． 又直線x－y＋m＝0被圓截得的弦長為2． ∴圓心C到直線的距離d＝＝， 因此＝，∴m＝1或m＝－3．故選C． 3．【解題思路】設出直線方程，再利用弦心距結(jié)合勾股定理求出圓心到直線的距離． 【答案】易知點(1，1)在圓內(nèi)，且直線l的斜率k存在， 則直線l的方程為y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0．又|AB|＝4，r＝3， ∴圓心(2，3)到l的距離d＝＝． 因此＝，解得k＝－． ∴直線l的方程為x＋2y－3＝0．故填x＋2y－3＝0． 4．【解題思路】求出圓心到直線的距離，再根據(jù)三角函數(shù)求半徑． 【答案】由題意，＝＝，∴a＝40，b＝24， ∴直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝， ∵直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120，∴r＝， ∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝．故填(x－1)2＋(y＋1)2＝． 5．【解題思路】聯(lián)立方程組求出交點坐標，兩點到直線距離相等可能在同側(cè)，也可能在兩側(cè)． 【答案】解方程組得交點P(1，2)． ①若點A，B在直線l的同側(cè)，則l∥AB．而kAB＝＝－， 由點斜式得直線l的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0． ②若點A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點， 由兩點式得直線l的方程為＝，即x－6y＋11＝0． 綜上所述，直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0．