2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第3講 平面向量學(xué)案.docx
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第3講平面向量 1.以選擇題、填空題的形式考查向量的線性運算,多以熟知的平面圖形為背景,難度中低檔; 2.以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數(shù)量積,多考查角、模等問題,難度中低檔; 3.向量作為工具常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何等結(jié)合,以解答題形式出現(xiàn). 1.平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理:向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a, 有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 2.平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的三個性質(zhì) (1)若a=(x,y),則|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cosθ==. 4.平面向量的三個錦囊 (1)向量共線的充要條件:O為平面上一點,則A,B,P三點共線的充要條件是=λ1+λ2(其中λ1+λ2=1). (2)三角形中線向量公式:若P為△OAB的邊AB的中點,則向量與向量,的關(guān)系是=(+). (3)三角形重心坐標(biāo)的求法:G為△ABC的重心?++=0?G. 熱點一 平面向量的有關(guān)運算 【例1】(1)(2018大連八中)已知向量,,,則m=() A.-2 B.2 C.-3 D.3 (2)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2為實數(shù)),則λ1+λ2的值為________. 解析 (1)向量,,∴, ∵,∴12=﹣1(1+m),∴m=﹣3. 故選C. (2)=+=+=+(-)=-+,∵=λ1+λ2, ∴λ1=-,λ2=,因此λ1+λ2=. 答案 (1)C (2) 探究提高 對于平面向量的線性運算,首先要選擇一組基底,同時注意共線向量定理的靈活運用.其次運算過程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系. 【訓(xùn)練1】(2019廣州一模)已知ΔABC的邊BC上有一點DD滿足BD=4DC,則AD可表示為( ) A.AD=14AB+34AC B.AD=34AB+14AC C.AD=45AB+15AC D.AD=15AB+45AC 解析由題意可知AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45AC-AB=AD=15AB+45AC.,故選D. 答案 D 熱點二 平面向量的數(shù)量積 命題角度1 平面向量數(shù)量積的運算 【例2-1】(1) (2019株洲質(zhì)檢)在RtΔABC中,點D為斜邊BC的中點,|AB|=8,|AC|=6,則AD?AB=() A.48 B.40 C.32 D.16 (2)(2016山東卷)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為() A.4 B.-4 C. D.- 解析 (1)因為點D為斜邊BC的中點,所以AD=12(AB+AC), 所以AD?AB=12(AB+AC)?AB=12AB2+12AC?AB, 又RtΔABC中AC⊥AB,所以AD?AB=12AB2=12|AB|2=32,故選C. (2)∵n⊥(tm+n),∴n(tm+n)=0,即tmn+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0,由已知得t|n|2+|n|2=0,解得t=-4. 答案 (1)C (2)B 探究提高 1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運算;利用數(shù)量積的幾何意義. 2.進行向量的數(shù)量積的運算,首先要有“基底”意識,關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量.其次注意向量夾角的大小,以及夾角θ=0,90,180三種特殊情形. 3.求兩向量的夾角:cos θ=,要注意θ∈[0,π]. 4.兩向量垂直的應(yīng)用:兩非零向量垂直的充要條件是:a⊥b?ab=0?|a-b|=|a+b|. 5.求向量的模:利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有: (1)a2=aa=|a|2或|a|=. (2)|ab|==. (3)若a=(x,y),則|a|=. 【訓(xùn)練2】(1)(2015福建卷)已知⊥,||=,||=t,若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且=+,則的最大值等于() A.13 B.15 C.19 D.21 (2)(2019新泰一中)已知向量a與b的夾角為120,且a=b=2,那么b?2a-b的值為() A.﹣8 B.﹣6 C.0 D.4 解析 (1)建立如圖所示坐標(biāo)系,則B,C(0,t),=,=(0,t), 則=+=t+(0,t)=(1,4).∴點P(1,4), 則=(-1,t-4)=17-≤17-2=13, 當(dāng)且僅當(dāng)4t=,即t=時取等號,故的最大值為13. (2)向量a與b的夾角為120,且a=b=2,可得a?b=a?b?cos120=22-12=-2,即有b?2a-b=2a?b-b2=2-2-4=-8.故選A. 答案 (1)A (2)A 熱點三 平面向量與三角的交匯綜合 【例3】(2017鄭州質(zhì)檢)已知向量m=(2sin ωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cos ωx,1),其中,. 若函數(shù)f(x)=mn的最小正周期為π. (1)求ω的值; (2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sin B=sin A,求的值. 解 (1)f(x)=mn=2sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin. ∵f(x)的最小正周期為π,∴.∵,∴. (2)設(shè)△ABC中角A,B,C所對的邊分別是a,b,c. ∵f(B)=-2,∴2sin=-2,即sin=-1,解得B=(B∈(0,π)). ∵BC=,∴a=,∵sin B=sin A,∴b=a,∴b=3. 由正弦定理,有=,解得sin A=.∵0<A<,∴A=.∴C=,∴c=a=. ∴=cacos B=cos =-. 探究提高 1.破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”,即先活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對三角函數(shù)進行巧“化簡”;然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系”;再活用正、余弦定理,對三角形的邊、角進行互化. 2.這種問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識將條件“脫去向量外衣”,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識進行求解. 【訓(xùn)練3】(2018天津七校)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知向量a=(cosx,sinx),b=(1,3),x∈(π3,π). (1)若a⊥b,求x的值; (2)若a與b的夾角為π6,求cosx的值. 解(1)∵a⊥b,∴a?b=0, 又a?b=cosx+3sinx=2(12cosx+32sinx)=2cos(x-π3)=0, ∴ x-π3=kπ+π2(k∈Z) ∵ x∈(π3,π),∴ x=56π. (2)a?b=|a||b|cosπ6=1232=3, ∴2cos(x-π3)=3,∴cos(x-π3)=32, ∵ x∈(π3,π) ∴x-π3∈(0,2π3) ∴sin(x-π3)=12 cosx=cos[(x-π3)+π3]=cos(x-π3)cosπ3-sin(x-π3)sinπ3=0. 1.(2018全國I卷)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則EB=() A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 2.(2018全國II卷)已知向量,滿足,,則() A.4 B.3 C.2 D.0 3.(2018全國III卷)已知向量,,.若,則λ=________. 4.(2017江蘇卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值. 1.(2018平遙中學(xué))若向量與滿足a+b⊥a,且a=1,b=2,則向量在方向上的投影為() A.3 B.-12 C.-1 D.33 2.(2019內(nèi)江一模)若a=1,b=2,a+2b=13,則a與b的夾角為() A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 3.(2019樂山一模)如圖所示,AD是三角形ABC的中線,O是AD的中點,若CO=λAB+μAC,其中λ,μ∈R,則λ+μ的值為() A.-12 B.12 C.-14 D.14 4.(2017山東卷)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,若e1-e2與e1+λe2的夾角為60,則實數(shù)λ的值是____. 5.設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值. 1.(2017漢中模擬)已知向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),若(2a+b)⊥c,則|b|=() A.9 B.3 C. D.3 2.(2018平遙中學(xué))已知向量a=(λ+1,2),b=(-2,2),若|a-2b|=|a+2b|,則λ的值為() A.-3 B.-1 C.1 D.2 3.(2019河南聯(lián)考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|,且(a-b)⊥(a+2b),則a與b的夾角的余弦值為() A.63 B.33 C.-63 D.-33 4.(2017貴陽調(diào)研)已知向量a=,b=(-sin x, sin x),f(x)=ab. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值; (2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f=1,a=2,求三角形ABC面積的最大值. 5.(2018武威十八中)已知函數(shù)fx=a?b,其中a=2cosx,3sin2x,b=cosx,1,x∈R. (1)求函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)在ΔABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,fA=2,a=7,且b=2c,求ΔABC的面積. 參考答案 1.【解題思路】首先將圖畫出來,接著應(yīng)用三角形中線向量的特征,求得BE=12BA+12BC,之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則,得到BC=BA+AC,之后將其合并,得到BE=34BA+14AC,下一步應(yīng)用相反向量,求得EB=34AB-14AC,從而求得結(jié)果. 【答案】根據(jù)向量的運算法則,可得 BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC, 所以EB=34AB-14AC,故選A. 2.【解題思路】根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果. 【答案】因為a?(2a-b)=2a2-a?b=2|a|2-(-1)=2+1=3,所以選B. 3.【解題思路】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可. 【答案】由題可得2a+b=(4,2), ∵c//(2a+b),c=(1,λ),∴4λ-2=0,即λ=12,故答案為12. 點睛:本題主要考查向量的坐標(biāo)運算,以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題. 4.【解題思路】(1)兩向量平行,坐標(biāo)對應(yīng)成比例;(2)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x),再用輔助角公式進行化簡. 【答案】(1)∵a∥b,∴3sin x=-cos x,∴3sin x+cosx=0,即sin=0. ∵0≤x≤π,∴≤x+≤π,∴x+=π,∴x=. (2)f(x)=ab=3cos x-sin x=-2sin.∵x∈[0,π],∴x-∈, ∴-≤sin≤1,∴-2≤f(x)≤3, 當(dāng)x-=-,即x=0時,f(x)取得最大值3;當(dāng)x-=,即x=時,f(x)取得最小值-2. 1.【解題思路】由向量a→與b→滿足|a→|=1,|b→|=2,且a+b⊥a,求出,由此能求出向量a→在向量b→方向上的投影. 【答案】∵向量a→與b→滿足|a→|=1,|b→|=2,且a+b⊥a, ∴(a→+b→)=a→2+a→?b→=a→?b→+1=0,解得, ∴向量a→在向量b→方向上的投影為:|a→|?cos<a→,b→>=|a→|a→?b→|a→|?|b→|=-12=-12.故選B. 2.【解題思路】根據(jù)|a→|=1,|b→|=2,對|a→+2b→|=13兩邊平方即可求出a→?b→=-1, 從而可求出cos<a→,b→>=-12,這樣即可求出a→與b→的夾角. 【答案】∵|a→|=1,|b→|=2,|a→+2b→|=13; ∴(a→+2b→)2=a→2+4b→2+4a→?b→=1+16+4a→?b→=13;∴a→?b→=-1; ∴cos<a→,b→>=a→?b→|a→||b→|=-12; 又0≤<a→,b→>≤π,∴a→,b→的夾角為2π3.故選D. 3.【解題思路】在三角形ACD中O是AD的中點,可得CO=12(CD+CA),然后將其轉(zhuǎn)化到AB、AC上求出λ、μ的值 【答案】由題知CO=12(CD+CA)=12(12CB+CA)=14(AB-AC)+12CA=14AB-34AC, 則λ=14,μ=-34,故λ+μ=-12,故選A. 4.【解題思路】求兩向量的夾角:cos θ=,注意θ∈[0,π]. 【答案】cos 60===.解之得λ=.故填. 5.【解題思路】(1)直接利用坐標(biāo)形式求模公式;(2)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x),再用二倍角公式和輔助角公式進行化簡. 【答案】(1)由|a|2=(sinx)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x∈,從而sin x=,所以x=. (2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+, 當(dāng)x=∈時,sin取最大值1.所以f(x)的最大值為. 1.【解題思路】兩向量垂直,兩向量的數(shù)量積為0. 【答案】向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),∴2a+b=(1,x-8), 由(2a+b)⊥c,可得1+8-x=0,解得x=9.則|b|==3.故選D. 2.【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)的運算得a-2b=( λ+5,-2).a(chǎn)+2b=( λ-3,6),利用向量模長相等列方程即可求解. 【答案】由向量a=(λ+1,2),b=(-2,2), 可得a-2b=( λ+5,-2).a(chǎn)+2b=( λ-3,6). a-2b=(λ+5)2+(-2)2=λ2+10λ+29,a+2b=(λ-3)2+62=λ2-6λ+45. 由|a-2b|=|a+2b|,得λ2+10λ+29=λ2-6λ+45,解得λ=1. 故選C. 3.【解題思路】由(a-b)⊥(a+2b)可得a-b?a+2b=a2-2b2+abcosθ=0,結(jié)合|a|=3|b|可得結(jié)果. 【答案】設(shè)a與b的夾角為θ, ∵(a-b)⊥(a+2b),∴a-b?a+2b=a2-2b2+abcosθ=0, cosθ=-a2-2b2a?b=-b23b2=-33,故選D. 4.【解題思路】(1)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x),再用二倍角公式和輔助角公式進行化簡; (2) f=1可得A,再利用余弦定理結(jié)合均值不等式. 【答案】(1)∵a=(-sin x,cos x),b=(-sin x,sin x), 則f(x)=ab=sin2x+sin xcosx=(1-cos 2x)+sin 2x=sin+,∴f(x)的最小正周期T==π, 當(dāng)2x-=+2kπ,k∈Z時,即x=+kπ(k∈Z),f(x)取最大值是. (2)∵f=sin+=1,∴sin=,∴A=. ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴12=b2+c2-bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc, ∴bc≤12(當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時等號成立).∴S=bcsin A=bc≤3. ∴當(dāng)三角形ABC為等邊三角形時面積取最大值是3. 5.【解題思路】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式、降次公式和輔助角公式,化簡fx為Asinωx+φ+B的形式,將ωx+φ代入2kπ-π2,2kπ+π2中,解出x的范圍,由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (2)利用fA=2求得角A的大小,利用余弦定理和b=2c列方程組,解方程組求得c2的值,由此求得三角形的面積. 【答案】(1), 令,解得,, 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(). (2)∵,∴,即, 又∵,∴, ∵,由余弦定理得,① ,②, 由①②得,∴.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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