第3講平面向量 1．以選擇題、填空題的形式考查向量的線性運(yùn)算，多以熟知的平面圖形為背景，難度中低檔； 2．以選擇題、填空題的形式考查平面向量的數(shù)量積，多考查角、模等問題，難度中低檔； 3．向量作為工具常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何等結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn)． 1．平面向量的兩個(gè)重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa． (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a， 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 2．平面向量的兩個(gè)充要條件 若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0． (2)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0． 3．平面向量的三個(gè)性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝． (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝＝． 4．平面向量的三個(gè)錦囊 (1)向量共線的充要條件：O為平面上一點(diǎn)，則A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)． (2)三角形中線向量公式：若P為△OAB的邊AB的中點(diǎn)，則向量與向量，的關(guān)系是＝(＋)． (3)三角形重心坐標(biāo)的求法：G為△ABC的重心?＋＋＝0?G． 熱點(diǎn)一　平面向量的有關(guān)運(yùn)算 【例1】(1)(2018大連八中)已知向量，，，則m=（） A．-2 B．2 C．-3 D．3 (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析　(1)向量，，∴， ∵，∴12＝﹣1（1+m），∴m＝﹣3． 故選C． (2)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝． 答案　(1)C　(2) 探究提高　對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，首先要選擇一組基底，同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用．其次運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系． 【訓(xùn)練1】(2019廣州一模)已知ΔABC的邊BC上有一點(diǎn)DD滿足BD=4DC，則AD可表示為( ) A．AD=14AB+34AC B．AD=34AB+14AC C．AD=45AB+15AC D．AD=15AB+45AC 解析由題意可知AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45AC-AB=AD=15AB+45AC．，故選D． 答案　D 熱點(diǎn)二　平面向量的數(shù)量積 命題角度1　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【例2－1】(1) (2019株洲質(zhì)檢)在RtΔABC中，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，|AB|=8，|AC|=6，則AD?AB=（） A．48 B．40 C．32 D．16 (2)(2016山東卷)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝．若n⊥(tm＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為（） A．4 B．－4 C． D．－ 解析　(1)因?yàn)辄c(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD=12(AB+AC)， 所以AD?AB=12(AB+AC)?AB=12AB2+12AC?AB， 又RtΔABC中AC⊥AB，所以AD?AB=12AB2=12|AB|2=32，故選C． (2)∵n⊥(tm＋n)，∴n(tm＋n)＝0，即tmn＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－4． 答案　(1)C　(2)B 探究提高　1．求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義． 2．進(jìn)行向量的數(shù)量積的運(yùn)算，首先要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量．其次注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0，90，180三種特殊情形． 3．求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． 4．兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?ab＝0?|a－b|＝|a＋b|． 5．求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： (1)a2＝aa＝|a|2或|a|＝． (2)|ab|＝＝． (3)若a＝(x，y)，則|a|＝． 【訓(xùn)練2】(1)(2015福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 (2)(2019新泰一中)已知向量a與b的夾角為120，且a=b=2，那么b?2a-b的值為（） A．﹣8 B．﹣6 C．0 D．4 解析　(1)建立如圖所示坐標(biāo)系，則B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， 則＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)．∴點(diǎn)P(1，4)， 則＝(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13， 當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號(hào)，故的最大值為13． (2)向量a與b的夾角為120，且a=b=2，可得a?b=a?b?cos120=22-12=-2，即有b?2a-b=2a?b-b2=2-2-4=-8．故選A． 答案　(1)A　(2)A 熱點(diǎn)三　平面向量與三角的交匯綜合 【例3】(2017鄭州質(zhì)檢)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cos ωx，1)，其中，． 若函數(shù)f(x)＝mn的最小正周期為π． (1)求ω的值； (2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求的值． 解　(1)f(x)＝mn＝2sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin． ∵f(x)的最小正周期為π，∴．∵，∴． (2)設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c． ∵f(B)＝－2，∴2sin＝－2，即sin＝－1，解得B＝(B∈(0，π))． ∵BC＝，∴a＝，∵sin B＝sin A，∴b＝a，∴b＝3． 由正弦定理，有＝，解得sin A＝．∵0＜A＜，∴A＝．∴C＝，∴c＝a＝． ∴＝cacos B＝cos ＝－． 探究提高　1．破解平面向量與“三角”相交匯題的常用方法是“化簡轉(zhuǎn)化法”，即先活用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、倍角公式、輔助角公式等對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行巧“化簡”；然后把以向量共線、向量垂直形式出現(xiàn)的條件轉(zhuǎn)化為“對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之間的關(guān)系”；再活用正、余弦定理，對(duì)三角形的邊、角進(jìn)行互化． 2．這種問題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識(shí)將條件“脫去向量外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解． 【訓(xùn)練3】(2018天津七校)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知向量a=(cosx,sinx),b=(1,3),x∈(π3,π)． （1）若a⊥b，求x的值； （2）若a與b的夾角為π6，求cosx的值． 解（1）∵a⊥b，∴a?b=0， 又a?b=cosx+3sinx=2(12cosx+32sinx)=2cos(x-π3)=0， ∴ x-π3=kπ+π2(k∈Z) ∵ x∈(π3,π)，∴ x=56π． （2）a?b=|a||b|cosπ6=1232=3, ∴2cos(x-π3)=3，∴cos(x-π3)=32， ∵ x∈(π3,π) ∴x-π3∈(0,2π3) ∴sin(x-π3)=12 cosx=cos[(x-π3)+π3]=cos(x-π3)cosπ3-sin(x-π3)sinπ3=0．  1．(2018全國I卷)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB=（） A．34AB-14AC B．14AB-34AC C．34AB+14AC D．14AB+34AC 2．(2018全國II卷)已知向量，滿足，，則（） A．4 B．3 C．2 D．0 3．(2018全國III卷)已知向量，，．若，則λ=________． 4．(2017江蘇卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝ab，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． 1．(2018平遙中學(xué))若向量與滿足a+b⊥a，且a=1,b=2，則向量在方向上的投影為（） A．3 B．-12 C．－1 D．33 2．(2019內(nèi)江一模)若a=1，b=2，a+2b=13，則a與b的夾角為（） A．π6 B．π3 C．π2 D．2π3 3．(2019樂山一模)如圖所示，AD是三角形ABC的中線，O是AD的中點(diǎn)，若CO=λAB+μAC，其中λ,μ∈R，則λ+μ的值為（） A．-12 B．12 C．-14 D．14 4．(2017山東卷)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60，則實(shí)數(shù)λ的值是____． 5．設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈． (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值． 1．(2017漢中模擬)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，則|b|＝（） A．9 B．3 C． D．3 2．(2018平遙中學(xué))已知向量a=(λ+1,2),b=(-2,2),若|a-2b|=|a+2b|，則λ的值為（） A．-3 B．-1 C．1 D．2 3．(2019河南聯(lián)考)若非零向量a，b滿足|a|=3|b|，且(a-b)⊥(a+2b)，則a與b的夾角的余弦值為（） A．63 B．33 C．-63 D．-33 4．(2017貴陽調(diào)研)已知向量a＝，b＝(－sin x, sin x)，f(x)＝ab． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值； (2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f＝1，a＝2，求三角形ABC面積的最大值． 5．(2018武威十八中)已知函數(shù)fx=a?b，其中a=2cosx,3sin2x,b=cosx,1,x∈R． （1）求函數(shù)y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,fA=2,a=7，且b=2c，求ΔABC的面積．  參考答案 1．【解題思路】首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到BC=BA+AC，之后將其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步應(yīng)用相反向量，求得EB=34AB-14AC，從而求得結(jié)果． 【答案】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得 BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC， 所以EB=34AB-14AC，故選A． 2．【解題思路】根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果． 【答案】因?yàn)閍?(2a-b)=2a2-a?b=2|a|2-(-1)=2+1=3，所以選B． 3．【解題思路】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可． 【答案】由題可得2a+b=(4,2)， ∵c//(2a+b),c=(1,λ)，∴4λ-2=0,即λ=12，故答案為12． 點(diǎn)睛：本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 4．【解題思路】(1)兩向量平行，坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例；(2)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x)，再用輔助角公式進(jìn)行化簡． 【答案】(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，∴3sin x＋cosx＝0，即sin＝0． ∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝． (2)f(x)＝ab＝3cos x－sin x＝－2sin．∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3， 當(dāng)x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)取得最大值3；當(dāng)x－＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－2． 1．【解題思路】由向量a→與b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，且a+b⊥a，求出，由此能求出向量a→在向量b→方向上的投影． 【答案】∵向量a→與b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，且a+b⊥a， ∴（a→+b→）=a→2+a→?b→=a→?b→+1＝0，解得， ∴向量a→在向量b→方向上的投影為：|a→|?cos＜a→，b→＞=|a→|a→?b→|a→|?|b→|=-12=-12．故選B． 2．【解題思路】根據(jù)|a→|=1，|b→|=2，對(duì)|a→+2b→|=13兩邊平方即可求出a→?b→=-1， 從而可求出cos＜a→，b→＞=-12，這樣即可求出a→與b→的夾角． 【答案】∵|a→|=1，|b→|=2，|a→+2b→|=13； ∴(a→+2b→)2=a→2+4b→2+4a→?b→=1+16+4a→?b→=13；∴a→?b→=-1； ∴cos＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=-12； 又0≤＜a→，b→＞≤π，∴a→，b→的夾角為2π3．故選D． 3．【解題思路】在三角形ACD中O是AD的中點(diǎn)，可得CO=12(CD+CA)，然后將其轉(zhuǎn)化到AB、AC上求出λ、μ的值 【答案】由題知CO=12(CD+CA)=12(12CB+CA)=14(AB-AC)+12CA=14AB-34AC， 則λ=14，μ=-34，故λ+μ=-12，故選A． 4．【解題思路】求兩向量的夾角：cos θ＝，注意θ∈[0，π]． 【答案】cos 60＝＝＝．解之得λ＝．故填． 5．【解題思路】(1)直接利用坐標(biāo)形式求模公式；(2)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x)，再用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡． 【答案】(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．又x∈，從而sin x＝，所以x＝． (2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1．所以f(x)的最大值為． 1．【解題思路】兩向量垂直，兩向量的數(shù)量積為0． 【答案】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)， 由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9．則|b|＝＝3．故選D． 2．【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算得a-2b=( λ+5,-2)．a(chǎn)+2b=( λ-3,6)，利用向量模長相等列方程即可求解． 【答案】由向量a=(λ+1,2),b=(-2,2), 可得a-2b=( λ+5,-2)．a(chǎn)+2b=( λ-3,6)． a-2b=(λ+5)2+(-2)2=λ2+10λ+29，a+2b=(λ-3)2+62=λ2-6λ+45． 由|a-2b|=|a+2b|，得λ2+10λ+29=λ2-6λ+45，解得λ=1． 故選C． 3．【解題思路】由(a-b)⊥(a+2b)可得a-b?a+2b=a2-2b2+abcosθ=0，結(jié)合|a|=3|b|可得結(jié)果． 【答案】設(shè)a與b的夾角為θ， ∵(a-b)⊥(a+2b)，∴a-b?a+2b=a2-2b2+abcosθ=0， cosθ=-a2-2b2a?b=-b23b2=-33，故選D． 4．【解題思路】(1)根據(jù)數(shù)量積定義求出f(x)，再用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡； (2) f＝1可得A，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式． 【答案】(1)∵a＝(－sin x，cos x)，b＝(－sin x，sin x)， 則f(x)＝ab＝sin2x＋sin xcosx＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，∴f(x)的最小正周期T＝＝π， 當(dāng)2x－＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，即x＝＋kπ(k∈Z)，f(x)取最大值是． (2)∵f＝sin＋＝1，∴sin＝，∴A＝． ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴12＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝12＋bc≥2bc， ∴bc≤12(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)等號(hào)成立)．∴S＝bcsin A＝bc≤3． ∴當(dāng)三角形ABC為等邊三角形時(shí)面積取最大值是3． 5．【解題思路】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、降次公式和輔助角公式，化簡fx為Asinωx+φ+B的形式，將ωx+φ代入2kπ-π2,2kπ+π2中，解出x的范圍，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． （2）利用fA=2求得角A的大小，利用余弦定理和b=2c列方程組，解方程組求得c2的值，由此求得三角形的面積． 【答案】（1）， 令，解得，， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）． （2）∵，∴，即， 又∵，∴， ∵，由余弦定理得，① ，②， 由①②得，∴．