第2課時　正弦定理和余弦定理 學習目標　1.熟練掌握正弦、余弦定理及其變形形式.2.掌握用兩邊夾角表示的三角形面積. 3.能利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡、證明及形狀判斷等問題． 知識點一　正弦定理、余弦定理及常見變形 1．正弦定理及常見變形 (1)＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)； (2)a＝＝＝2RsinA； (3)sinA＝，sinB＝，sinC＝. 2．余弦定理及常見變形 (1)a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC； (2)cosA＝， cosB＝， cosC＝. 知識點二　用兩邊夾角表示的三角形面積公式 一般地，三角形面積等于兩邊及夾角正弦乘積的一半，即S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 思考1　S△ABC＝absinC中，bsinC的幾何意義是什么？ 答案　BC邊上的高． 思考2　如何用AB，AD，角A表示?ABCD的面積？ 答案　S?ABCD＝ABADsinA. 1．當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．(　　) 2．△ABC中，若cos2A＝cos2B，則A＝B.(　√　) 3．在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cosA)．(　√　) 4．△ABC中，若c2－a2－b2>0，則角C為鈍角．(　√　) 5．△ABC的面積S＝abc(其中R為△ABC外接圓半徑)．(　√　) 題型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，若ccosB＝bcosC，cosA＝，求sinB的值． 解　由ccosB＝bcosC，結(jié)合正弦定理， 得sinCcosB＝sinBcosC， 故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c. ∵cosA＝，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2＝b2，得3a2＝2b2， 再由余弦定理，得cosB＝，故sinB＝. 引申探究 1．對于本例中的條件，ccosB＝bcosC，能否使用余弦定理？ 解　由余弦定理，得c＝b. 化簡得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2， ∴c2＝b2，從而c＝b. 2．本例中的條件ccosB＝bcosC的幾何意義是什么？ 解　如圖，作AD⊥BC，垂足為D. 則ccosB＝BD，bcosC＝CD. ∴ccosB＝bcosC的幾何意義為邊AB，AC在BC邊上的射影相等． 反思感悟　(1)邊、角互化是處理三角形邊、角混合條件的常用手段． (2)解題時要畫出三角形，將題目條件直觀化，根據(jù)題目條件，靈活選擇公式． 跟蹤訓練1　在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小； (2)求的值． 解　(1)由題意及余弦定理知， cosA＝＝＝， ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)由b2＝ac，得＝， ∴＝sinB＝sinB＝sinA＝. 題型二　求三角形面積 例2　在△ABC中，已知BC＝6，A＝30，B＝120，則△ABC的面積為(　　) A．9B．18C．9D．18 答案　C 解析　由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝6.又∵C＝180－120－30＝30， ∴S△ABC＝ACBCsin C＝66＝9. 反思感悟　求三角形面積，主要用兩組公式 (1)底高． (2)兩邊與其夾角正弦的乘積的一半． 選用哪組公式，要看哪組公式的條件已知或易求． 跟蹤訓練2　在△ABC中，已知＝tanA，當A＝時，△ABC的面積為． 答案　 解析　∵＝||||cosA＝tanA， ∴||||＝， ∴S△ABC＝||||sinA ＝＝tan2A ＝. 題型三　利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀 例3　在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若＝，試判斷三角形的形狀． 解　方法一　由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R為△ABC外接圓半徑． ∵＝， ∴＝， ∴sin Acos B＋sin Bcos B＝sin Acos B＋sin Acos A， ∴sin Bcos B＝sin Acos A， ∴sin 2B＝sin 2A， ∴2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝， ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 方法二　由＝，得1＋＝1＋， ＝， 由余弦定理，得＝＝， ∴＝. a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2c2－a4＝b2c2－b4， c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)． ∴a2＝b2或c2＝a2＋b2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 反思感悟　(1)要結(jié)合題目特征靈活選擇使用正弦定理還是使用余弦定理． (2)變形要注意等價性，如sin2A＝sin2B?2A＝2B. c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)?c2＝a2＋b2. 跟蹤訓練3　在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 答案　C 解析　由正弦定理知，sinA＝，sinB＝，sinC＝. ∴sin2A＋sin2B<sin2C可化為a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0. ∴cosC＝<0. ∴角C為鈍角，△ABC為鈍角三角形． 題型四　利用正弦、余弦定理進行求值、化簡和證明 例4　在△ABC中，有 (1)a＝bcosC＋ccosB； (2)b＝ccosA＋acosC； (3)c＝acosB＋bcosA， 這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明． 證明　方法一　(1)由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC， ∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB ＝2R(sinBcosC＋cosBsinC) ＝2Rsin(B＋C) ＝2RsinA＝a. 即a＝bcosC＋ccosB. 同理可證(2)b＝ccosA＋acosC； (3)c＝acosB＋bcosA. 方法二　(1)由余弦定理，得cosB＝，cosC＝， ∴bcosC＋ccosB＝b＋c ＝＋＝＝a. ∴a＝bcosC＋ccosB. 同理可證(2)b＝ccosA＋acosC； (3)c＝acosB＋bcosA. 反思感悟　證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式，可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化，余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化；二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系． 跟蹤訓練4　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，則＝. 答案　1 解析　由余弦定理得cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1. 求三角形一角的值 典例　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為(　　) A.B.或C.D.或 答案　B 解析　∵cosB＝， ∴a2＋c2－b2＝2accosB， 代入已知等式得2accosBtanB＝ac， 即sinB＝，則B＝或. [素養(yǎng)評析]　選擇運算方法是數(shù)學運算素養(yǎng)的內(nèi)涵之一．運算從一點出發(fā)可以有無限個方向．一個式子也可以有無限個變形，逐個試探肯定不現(xiàn)實．那么如何選擇運算方向才能算得出，算得快？要點有3個： ①公式要熟，如本例至少應(yīng)知道cos B＝，tan B＝. ②觀察聯(lián)想，如看到a2＋c2－b2應(yīng)聯(lián)想到a2＋c2－b2＝2accos B. ③權(quán)衡選擇，如本例也可把所有的邊都化為相應(yīng)角的正弦，但權(quán)衡運算繁簡，不如整體把a2＋c2－b2化為2accos B簡單. 1．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60，則△ABC的面積為(　　) A．3B．3C．6D．6 答案　B 解析　S△ABC＝absinC＝43sin60＝3. 2．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，則B等于(　　) A．60 B．45或135 C．120 D．30 答案　C 解析　∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac， ∴ac＝－2accosB，cosB＝－， 又0<B<180， ∴B＝120. 3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，則△ABC的形狀是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定 答案　C 解析　根據(jù)正弦定理可得a2＋b2<c2. 由余弦定理得cosC＝<0，故C是鈍角，△ABC是鈍角三角形． 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ccosA＋acosC＝2c，若a＝b，則sinB等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　∵ccos A＋acos C＝2c， ∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C， ∴sin(A＋C)＝2sin C， ∴sin B＝2sin C，∴b＝2c， 又a＝b，∴a＝2c. ∴cos B＝＝＝， ∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝. 1．熟悉正弦、余弦定理的各種變形，注意觀察題目條件的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)這些特征盡量使用正弦、余弦定理各種變形整體代換，可以有效減少計算量． 2．對所給條件進行變形，主要有兩種方向 (1)化邊為角． (2)化角為邊． 3．(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1．若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段(　　) A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形 C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形 答案　B 解析　設(shè)最大角為θ，則最大邊對應(yīng)的角的余弦值為 cosθ＝＝>0，所以能組成銳角三角形． 2．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0. 由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB， ∴4accosB＋ac＝0. ∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－， 又B∈(0，π)，∴sinB＝＝. 3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60，則邊c等于(　　) A．1B．2C．4D．6 答案　C 解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A， ∴13＝c2＋9－2c3cos 60， 即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)． 4．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60，則ab的值為(　　) A.B．8－4C．1D. 答案　A 解析　由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC ＝(a＋b)2－2ab－2abcosC， ∴(a＋b)2－c2＝2ab(1＋cosC) ＝2ab(1＋cos60)＝3ab＝4， ∴ab＝. 5．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，則的值為(　　) A.B．1C．2D．3 答案　C 解析　由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcosC＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得＝＝2. 6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則C等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　由正弦定理＝和3sinA＝5sinB， 得3a＝5b，即b＝a， 又b＋c＝2a，∴c＝a， 由余弦定理得cosC＝＝－， ∴C＝. 7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(　　) A.B.C.D．3 答案　C 解析　由題意得c2＝a2＋b2－2ab＋6， 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab， ∴－2ab＋6＝－ab，即ab＝6. ∴S△ABC＝absinC＝. 8．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝BA2＋BC2－2BABCcos∠ABC ＝()2＋32－23cos＝5. ∴AC＝，由正弦定理＝，得 sin∠BAC＝＝＝＝. 二、填空題 9．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB，則B＝. 答案　45 解析　由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2， 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝. 又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B＝45. 10．在△ABC中，角A，B，C的對邊a，b，c滿足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，則△ABC的面積為． 答案　2 解析　因為b2＋c2＝a2＋bc， 所以cosA＝＝，所以A＝， 三角形面積S＝bcsinA＝8＝2. 11．在△ABC中，a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝. 答案　30 解析　由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b， 把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2， 即a2＝7b2. 由余弦定理，得 cosA＝＝＝＝， 又0<A<180，所以A＝30. 三、解答題 12.如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，求sin C的值． 解　設(shè)AB＝a，則AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝， cosA＝＝＝， ∴A∈，∴sinA＝＝. 由正弦定理，得sinC＝sinA＝＝. 13．已知在△ABC中，BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝，求BC邊上的高AD的長． 解　在△ABC中，設(shè)AB＝7x，則AC＝8x， 由正弦定理，得＝， 則sinC＝＝＝， 因為0<C<180，AB<AC， 所以C＝60或C＝120(舍去)． 再由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－28x15cos60， 即x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5， 所以AB＝21或AB＝35. 當AB＝21時，AC＝24，當AB＝35時，AC＝40， 均可與BC＝15構(gòu)成三角形． 在△ABD中，AD＝ABsinB＝AB， 所以AD＝12或AD＝20. 14．在△ABC中，關(guān)于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有兩個不等的實根，則A為(　　) A．銳角B．直角C．鈍角D．不存在 答案　A 解析　由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0. ∵方程有兩個不等的實根， ∴4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0. 由正弦定理＝＝， 代入不等式中得b2－a2＋c2＞0， 再由余弦定理，有2bccosA＝b2＋c2－a2＞0. ∴0<A<90，A為銳角． 15．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sinB＋sinC＝，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， ∴2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝. ∵0<A<180，∴A＝60. (2)∵A＋B＋C＝180， ∴B＋C＝180－60＝120， 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120－B)＝， ∴sin B＋sin 120cos B－cos 120sin B＝， ∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30)＝1. 又∵0<B<120， ∴30<B＋30<150， ∴B＋30＝90，即B＝60， ∴A＝B＝C＝60，∴△ABC為正三角形．