（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時分層作業(yè) 六 2.3 指數(shù)函數(shù) 文.doc
課時分層作業(yè) 六函數(shù)的奇偶性與周期性
一、選擇題(每小題5分,共35分)
1.(2018西安模擬)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是 ( )
A.y= B.y=ex
C.y=cos x D.y=ex-e-x
【解析】選D.A,B中顯然為非奇非偶函數(shù);C中y=cos x 為偶函數(shù).D中函數(shù)定義域為R,又f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以y=ex-e-x為奇函數(shù).
2.若函數(shù)f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1為偶函數(shù),則實數(shù)a的值為 ( )
A.1 B.- C.1或- D.0
【解析】選C.因為函數(shù)f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即f(-x)=ax2-(2a2-a-1)x+1=ax2+(2a2-a-1)x+1,即-(2a2-a-1)=2a2-a-1,所以2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.
【一題多解】解答本題還有如下解法:
方法一:選C.(特例法)因為f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),即a(-1)2+(2a2-a-1)(-1)+1=a12+(2a2-a-1)1+1,即-(2a2-a-1)=2a2-a-1,所以2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.
方法二:選C.利用解析式的特征,因為f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1為偶函數(shù),所以x的系數(shù)為0,即2a2-a-1=0,解得a=1或a=-.
3.(2018日喀則模擬)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=log3(1+x),則f(-2)= ( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
【解析】選A.因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2),又x>0時,f(x)=log3(1+x),
所以f(-2)=-log3(1+2)=-1.
4.已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),若對于任意的實數(shù)x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(-2 018) +f(2 019)的值為
( )
A.-1 B.-2 C.2 D.1
【解析】選D.因為f(x)是奇函數(shù),且周期為2,所以f(-2 018)+f(2 019) =
-f(2 018)+f(2 019)=-f(0)+f(1).又當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),所以
f(-2 018)+f(2 019)=-f(0)+f(1)=-0+1=1.
5.(2018佛山模擬)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是 ( )
A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x
C.y=2x+ D.y=x2+sin x
【解析】選D.對于A,定義域為R,f(-x)=-x+
sin(-2x)=-(x+sin 2x)=-f(x),為奇函數(shù);對于B,定義域為R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),為偶函數(shù);對于C,定義域為R, f(-x)=2-x+=2x+=f(x),為偶函數(shù);對于D,f(x)=x2+sin x,f=+ sin=+1,f=+sin=-1,因為f≠f且f≠-f,所以y=x2+sin x為非奇非偶函數(shù).
6.已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),如果x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,則有 ( )
A.f(-x1)+f(-x2)>0 B.f(x1)+f(x2)<0
C.f(-x1)-f(-x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0
【解析】選C.由題知f(|x1|)>f(|-x2|),又因為y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),x1<0,x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,f(-x1)-f(-x2)>0.
7.(2018鄂爾多斯模擬)已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=4x-2x-f(1),則f(-1)的值為 ( )
A.1 B.-1 C.e D.-e
【解析】選B.當(dāng)x>0時,f(x)=4x-2x-f(1),
所以當(dāng)x=1時,f(1)=4-2-f(1),
即2f(1)=2,則f(1)=1,
因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),
所以f(-1)=-f(1)=-1.
二、填空題(每小題5分,共15分)
8.若函數(shù)f(x)=在定義域上為奇函數(shù),則實數(shù)k=________.
【解析】因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).又因為f(-x)==,
所以=-,
移項化簡得:=0對定義域內(nèi)的x恒成立,所以k2-1=0,解得k=
1.
答案:1
【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)如下兩種錯誤:一是計算錯誤,出現(xiàn)錯解;二是忽略函數(shù)的定義域,利用f(0)=0,得到k=1.
【變式備選】(2018長沙模擬)已知 f(x)=ln(e2x+1)+kx是偶函數(shù),則k=________.
【解析】函數(shù)是偶函數(shù),則:f(ln 2)=f(-ln 2),即:ln(e2ln 2+1)+kln 2=
ln(e2(-ln 2)+1)+k(-ln 2),解得:k=-1.
答案:-1
9.(2018武漢模擬)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:
①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=2x-1,則f+f(1)+
f+f(2)+f=________.
【解析】依題意知,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2,
所以f+f(1)+f+f(2)+f
=f+f(1)+f+f(0)+f
=f+f(1)-f+f(0)+f
=f+f(1)+f(0)
=-1+21-1+20-1=.
答案:
【變式備選】已知函數(shù)f(x)= 為奇函數(shù),則f(g(-1))=________.
【解析】由函數(shù)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),當(dāng)x<0時,-x>0,所以f(-x)=x2-3x,所以f(x)=-x2+3x,所以g(x)=-x2+3x,所以f(g(-1))=f(-4)=-16-12=-28.
答案:-28
10.設(shè)函數(shù)f(x)=tan xln x2+1,若f(a)=11,則f(-a)=________.
【解析】令g(x)=f(x)-1=tan xln x2,則g(x)為奇函數(shù),又因為f(a)=11,所以g(a)=f(a)-1=11-1=10,所以g(-a)=-10=f(-a)-1,所以f(-a)=-9.
答案:-9
1.(5分)(2018合肥模擬)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x3的單調(diào)性和奇偶性一致的函數(shù)是 ( )
A.y= B.y=tan x
C.y=x+ D.y=2x-2-x
【解析】選D.函數(shù)y=x3是奇函數(shù)且是增函數(shù),對于A,函數(shù)是非奇非偶函數(shù);對于B,函數(shù)在定義域上無單調(diào)性;對于C,函數(shù)在定義域上無單調(diào)性;對于D,函數(shù)是奇函數(shù)且是增函數(shù).
2.(5分)(2018莆田模擬)對于函數(shù)f(x)=asin x+bx3+cx+1(a,b,c∈R),選取a,b,c的一組值計算f(1),f(-1),所得出的正確結(jié)果可能是 ( )
A.2和1 B.2和0
C.2和-1 D.2和-2
【解析】選B.設(shè)g(x)=asin x+bx3+cx,顯然g(x)為定義域上的奇函數(shù),所以g(1)+g(-1)=0,所以f(1)+f(-1)=g(1)+g(-1)+2=2,只有B選項中兩個值的和為2.
3.(5分)已知y=f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=sin x,而y=f(x+1)是奇函數(shù),則a=f(-3.5),b=f(7),c=f(12)的大小關(guān)系是 ( )
A.c<b<a B.c<a<b
C.a<c<b D.a<b<c
【解析】選B.因為y=f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(-x),
因為y=f(x+1)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(2-x),
所以f(-x)=-f(2-x),即f(x)=f(x+4).
所以函數(shù)f(x)的周期為4,
又因為當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=sin x,所以函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增,
因為a=f(-3.5)=f(-3.5+4)=f(0.5);
b=f(7)=f(7-8)=f(-1)=f(1),
c=f(12)=f(12-12)=f(0),
又因為f(x)在[0,1]上為增函數(shù),
所以f(0)<f(0.5)<f(1),即c<a<b.
4.(5分)已知f(x)=為偶函數(shù),則ab=________.
【解析】當(dāng)x≥0時,f(x)=3x2-4x,f(x)min=f=-,f=0.當(dāng)x<0時,
f=-,且f=0代入f(x)=ax2+bx中得:-=-,-=0.從而a=3,b=4.所以ab=12.
答案:12
【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:
設(shè)x<0,則-x>0,f(-x)=3(-x)2-4(-x)=3x2+4x.又因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=3x2+4x,結(jié)合已知條件得:a=3,b=4,所以ab=12.
答案:12
5.(10分)設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù),最小正周期為2,且f(1+x)=f(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時,f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性.
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的解析式.
【解析】(1)因為f(1+x)=f(1-x),
所以f(-x)=f(2+x).
又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).
又f(x)的定義域為R,
所以f(x)是偶函數(shù).
(2)當(dāng)x∈[0,1]時,-x∈[-1,0],
則f(x)=f(-x)=x;
進(jìn)而當(dāng)1≤x≤2時,-1≤x-2≤0,
f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f(x)=
【變式備選】已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)m的值.
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增,
結(jié)合f(x)的圖象知
所以1<a≤3,
故實數(shù)a的取值范圍是(1,3].
6.(10分)(2018長沙模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值.
(2)設(shè)a>1,試判斷函數(shù)y=f(x)在R上的單調(diào)性,并解關(guān)于x的不等式f(x2)+f(2x-1)<0.
【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=k-1=0,所以k=1.
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x,設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則:f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=(-),因為a>1,x1<x2,-<0,又因為1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),
由f(x2)+f(2x-1)<0,
得f(x2)<-f(2x-1),
即f(x2)<f(1-2x),因為f(x)在R上單調(diào)遞增,
所以x2<1-2x,即x2+2x-1<0,
解得-1-<x<-1+,
所以原不等式的解集為(-1-,-1+).
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