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附錄:數學高考“素養(yǎng)立意”的解讀與典例分析 一、核心素養(yǎng) 1.“核心素養(yǎng)”的內涵 核心素養(yǎng)是學生在接受相應學段的教育過程中,逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力.“核心素養(yǎng)”之“核心”應當是基礎,是起著奠基作用的品格和能力,聚集的是思維素養(yǎng).核心素養(yǎng)強調的不是知識和技能,而是獲取知識的能力. 2.核心素養(yǎng)的基本特點 (1)核心素養(yǎng)是知識、能力和態(tài)度等的綜合表現. (2)核心素養(yǎng)可以通過接受教育、訓練來形成和發(fā)展. (3)核心素養(yǎng)具有發(fā)展連續(xù)性和階段性. (4)核心素養(yǎng)兼具個人價值和社會價值. (5)核心素養(yǎng)的作用發(fā)揮具有整合性. 二、數學核心素養(yǎng) 數學核心素養(yǎng)是學生在接受相應學段的教育過程中,逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數學思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養(yǎng)包括:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.這些數學核心素養(yǎng)既有獨立性,又相互交融,形成一個有機整體. 三、如何認識和理解數學的核心素養(yǎng) 數學核心素養(yǎng)是學生通過數學的學習、反思、積累、升華、孕育出來的,面對復雜的、不確定的現實情境和問題時,能夠綜合運用特定的數學觀念、知識、技能、思維模式、探究技能等,用積極的態(tài)度、科學的精神去提出問題、分析問題、解決問題、交流結果的過程中表現出來的綜合品質. 四、在教學中培育學生核心素養(yǎng)的措施 1.樹立以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)為導向的教學意識. 2.教師在教學實踐中要結合情境不斷探索和創(chuàng)新教學方式,以有效提升學生的數學基本能力. 3.以學生發(fā)展為本,充分發(fā)揮數學在培養(yǎng)學生的科學精神、思維品質的重要作用. 4.幫助學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能,體會數學內容中所蘊含的基本思想和文化價值,積累學習數學和解決實際問題的基本經驗,提升數學基本能力,特別是抽象能力、推理能力、建模能力、運算能力、直觀想象能力、數據分析能力. 5.堅持并加強問題導向,重視創(chuàng)設合適的教學情境,特別是實際情境,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和應用能力. 6.把教學活動的重心放在促進學生學會學習數學上,要加強“學法”指導,幫助學生養(yǎng)成良好的數學學習習慣;充分運用信息技術手段,積極探索有利于學生學習的多樣化教學方式. 五、數學學科的各項核心素養(yǎng) 1.數學抽象 數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數學研究對象的思維過程.主要包括:從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構,并且用數學符號或者數學術語予以表征. 在數學抽象核心素養(yǎng)的形成過程中,積累從具體到抽象的活動經驗.學生能更好地理解數學概念、命題、方法和體系,能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質,能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣,能在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題. 2.邏輯推理 邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據邏輯規(guī)則推出一個問題的思維過程.主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹. 在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠發(fā)現問題和提出問題;能掌握推理的基本形式,表述論證的過程;能理解數學知識之間的聯(lián)系,建構知識框架;形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質,增強數學交流能力. 3.數學建模 數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括:在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題、提出問題,分析問題、構建模型,求解結論,驗證結果并改進模型,最終解決實際問題. 在數學建模核心素養(yǎng)的形成過程中,積累用數學解決實際問題的經驗.學生能夠在實際情境中發(fā)現和提出問題;能夠針對問題建立數學模型;能夠運用數學知識求解模型,并嘗試基于現實背景驗證模型和完善模型;能夠提升應用能力,增強創(chuàng)新意識. 4.直觀想象 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數學問題的過程.主要包括:借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯(lián)系;構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路. 在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數形結合的能力,感悟事物的本質,培養(yǎng)創(chuàng)新思維. 5.數學運算 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算方向,選擇運算方法,設計運算程序,求得運算結果等. 在數學運算核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠進一步發(fā)展數學運算能力;能有效借助運算方法解決實際問題;能夠通過運算促進數學思維發(fā)展,養(yǎng)成程序化思考問題的習慣;形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神. 6.數據分析 數據分析是指針對研究對象獲得相關數據,運用統(tǒng)計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷,形成知識的過程.主要包括:收集數據,整理數據,提取信息,構建模型對信息進行分析、推斷,獲得結論. 在數據分析核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠提升數據處理的能力,增強基于數據表達現實問題的意識,養(yǎng)成通過數據思考問題的習慣,積累依托數據探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律的活動經驗. 六、“素養(yǎng)立意”的典例剖析 【例1】已知圓C:x2+y2-2x+4y=0關于直線3x-ay-11=0對稱,則圓C中以a4,-a4為中點的弦長為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案D 解析∵圓C:x2+y2-2x+4y=0關于直線3x-ay-11=0對稱, ∴直線3x-ay-11=0過圓心C(1,-2), ∴3+2a-11=0, 直觀想象 解得a=4, ∴a4,-a4=(1,-1), 數學運算 點(1,-1)到圓心C(1,-2)的距離d=(1-1)2+(-1+2)2=1, 數學運算 圓C:x2+y2-2x+4y=0的半徑r=124+16=5, 數學運算 ∴圓C中以a4,-a4為中點的弦長為2r2-d2=25-1=4.故選D. 直觀想象和數學運算 【例2】已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,E,F分別是AB,CD上兩動點,且AE=DF,把四邊形BCFE沿EF折起,使平面BCFE⊥平面ABCD,若折得的幾何體的體積最大,則該幾何體外接球的體積為　　　　　. 答案642π3 解析畫出折得的幾何體(直三棱柱)如圖所示, 直觀想象 設DF=x,FC=6-x,則DC=x2-(6-x)2=12x-36, 數學抽象和數學運算 由題設底面面積S△DFC=12(6-x)12x-36=3(6-x)x-3, 數學抽象和數學運算 因為高為4,所以當g(x)=(6-x)x-3的最大值時,折得的幾何體的體積最大. 邏輯推理 令x-3=t?x=t2+3,6-x=3-t2, 數學抽象 則g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t, 數學建模 求導可得f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故當t=1?x=4時, 數學運算 即DC=16-4=23時,幾何體的體積最大,此時底面外接圓的半徑為r=2. 設外接球的球心為O,則點O到底面的距離d=2, 直觀想象 所以球的半徑R=d2+r2=4+4=22, 則外接球的體積V=43π(22)3=64π23. 數學運算 【例3】從某校隨機抽取200名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:h)的數據,整理得到數據的頻數分布表和頻率分布直方圖(如圖). 編號 分組 頻數 1 [0,2) 12 2 [2,4) 16 3 [4,6) 34 4 [6,8) 44 5 [8,10) 50 6 [10,12) 24 7 [12,14) 12 8 [14,16) 4 9 [16,18] 4 合　計 200 (1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12 h的概率; (2)求頻率分布直方圖中的a,b的值; (3)假設同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的200名學生該周課外閱讀時間的平均數在第幾組. 解(1)由頻率分布表,得該周課外閱讀時間不少于12 h的頻數為12+4+4=20, 數據分析 故可估計該周課外閱讀時間少于12 h的概率為1-20200=0.9. 數學運算 (2)由頻率分布表可知數據在[4,6)的頻數為34,故這一組的頻率為0.17,即a=0.085, 數據在[8,10)的頻數為50,故這一組的頻率為0.25,即b=0.125. 數據分析 (3)數據的平均數為1200(121+316+534+744+950+1124+1312+154+174) =7.68(h), 數學運算 故樣本中的200名學生該周課外閱讀時間的平均數在第四組. 數據分析 【例4】(2017全國Ⅰ,理20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點. 解(1)由于P3,P4兩點關于y軸對稱,故由題設知C經過P3,P4兩點. 直觀想象 又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經過點P1,所以點P2在C上. 邏輯推理 因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1. 故C的方程為x24+y2=1. 數學運算 (2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2, 如果l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐標分別為t,4-t22,t,-4-t22. 則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設. 數學抽象及數學運算 從而可設l:y=kx+m(m≠1).將y=kx+m代入x24+y2=1, 直觀想象 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設可知Δ=16(4k2-m2+1)>0. 數學運算 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1. 而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2 =2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2. 由題設k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0. 解得k=-m+12. 當且僅當m>-1時,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m, 邏輯推理 即y+1=-m+12(x-2), 所以l過定點(2,-1). 數學抽象