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2018年馬鞍山市高中畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測 高三文科數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有： ， 則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限. 本題選擇C選項(xiàng). 2. 若全集，集合，，則為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】求解二次不等式可得：或， 則，結(jié)合交集的定義有：. 本題選擇B選項(xiàng). 3. 已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若它們的中位數(shù)相同，則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】閱讀莖葉圖可知乙組的平均數(shù)為：， 結(jié)合題意可知：甲組的平均數(shù)為33，即， 則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：. 本題選擇B選項(xiàng). 4. 已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為( ) A. 0 B. 2 C. 0或1 D. 0或2 【答案】D 【解析】的準(zhǔn)線方程為的圓心到的距離為圓相切，或，故選D. 5. 設(shè)，其中變量滿足，若的最大值為6，則的最小值為( ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】試題分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由,得,平移直線,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,此時(shí)最大為.即,經(jīng)過點(diǎn)時(shí), 直線的截距最小,此時(shí)最小.由,得,即,因?yàn)橹本€過,.由,解得,即.此時(shí)最小值為,故選A. 考點(diǎn)：1、可行域的畫法；2、最優(yōu)解的求法. 6. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點(diǎn)，則下列敘述正確的是( ) A. 與是異面直線 B. 平面 C. 平面 D. 與為異面直線，且 【答案】D 【解析】與均在平面內(nèi)，兩直線不是異面直線，說法A錯(cuò)誤； 底面三角形是正三角形，則△ABC是正三角形，∠CAB=60，據(jù)此可知平面不成立，說法B誤； ，而平面不成立，據(jù)此可知平面不成立，說法C錯(cuò)誤； △ABC是正三角形，則AE⊥BC，又AE⊥CC1，據(jù)此可得平面，則與為異面直線，且，說法D正確； 本題選擇D選項(xiàng). 7. 《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種。在其第七章中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，問幾何日而長等？”意思是植物蒲發(fā)芽的第一天長高三尺，植物莞發(fā)芽的第一天長高一尺。蒲從第二天開始每天生長速度是前一天的一半，莞從第二天開始每天生長速度為前一天的兩倍。問這兩種植物在何時(shí)高度相同？ 在此問題中，蒲和莞高度相同的時(shí)刻在( ) A. 第二天 B. 第三天 C. 第四天 D. 第五天 【答案】B 【解析】由題意可得： 蒲發(fā)芽的第一天長高3尺，第二天長高尺，第三天長高尺； 莞發(fā)芽的第一天長高1尺，第二天長高尺，第三天長高尺； 綜上可得：蒲和莞高度相同的時(shí)刻在第三天. 本題選擇B選項(xiàng). 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的( ) A. 115 B. 116 C. 357 D. 358 【答案】D 【解析】結(jié)合題意，程序運(yùn)行如下： 首先初始化， 第一次循環(huán)，，此時(shí)不滿足，執(zhí)行； 第二次循環(huán)，，此時(shí)不滿足，執(zhí)行； 第三次循環(huán)，，此時(shí)不滿足，執(zhí)行； 第四次循環(huán)，，此時(shí)不滿足，執(zhí)行； 第五次循環(huán)，，此時(shí)滿足，跳出循環(huán)，輸出. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)． 9. 函數(shù)的圖象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函數(shù)有意義，則：， 由函數(shù)的解析式可得：，則選項(xiàng)BD錯(cuò)誤； 且，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 本題選擇A選項(xiàng). 10. 已知函數(shù)，則( ) A. 44 B. 45 C. 1009 D. 2018 【答案】A 【解析】原問題等價(jià)于求解：中有理數(shù)的個(gè)數(shù)， 結(jié)合可得：有理數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)， 即：. 本題選擇A選項(xiàng). 11. 在中，，若，則周長的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意可得：， 則：，即：. 據(jù)此可得△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則：， 據(jù)此有：，△ABC的周長：， 三角形滿足兩邊之和大于第三邊，則：， 綜上可得：周長的取值范圍是. 本題選擇C選項(xiàng). 12. 已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，若點(diǎn)是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)，令，由題意可得：， 據(jù)此可得：，則：， 則：， 由可得：， 結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：， 則：，即的取值范圍是. 本題選擇D選項(xiàng). 點(diǎn)睛：圓錐曲線的離心率是圓錐曲線最重要的幾何性質(zhì)，求圓錐曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知向量，，且，則________. 【答案】 【解析】由向量平行的充要條件有：，則：， 則：. 14. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為________. 【答案】 【解析】函數(shù)的解析式：， 則：， 據(jù)此可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：， 計(jì)算可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 15. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為____________. 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí)，， 由題意可得：， 兩式作差可得： 據(jù)此可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 則，錯(cuò)位相減可得其前n項(xiàng)和， 分組求和可得數(shù)列的前項(xiàng)和為. 點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法技巧： (1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和． (2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和． (3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和． 16. 已知四棱椎中，底面是邊長為2的菱形，且，則四棱錐體積的最大值為________. 【答案】 【解析】四棱錐的體積最大，則使得底面積和高均取得最大值即可， 底面積最大時(shí)，ABCD為正方形，此時(shí)底面積， 高有最大值，首先要保證平面平面， 由可知，點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，長度為直徑的圓， 則高的最大值為：， 綜上可得：體積的最大值為：. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 在中，內(nèi)角所對的邊是，，，. (1)求的值； (2)求邊上的高. 【答案】(1)；(2). 【解析】試題分析： (1)由，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得可得. (2)由(1)知，結(jié)合數(shù)量積的定義可得，又，故，，由余弦定理可得，利用面積相等可得邊上的高為. 試題解析： (1)在中，由，可得. (2)由(1)知， 由，，又， 解得：，， 由，可得， ， 設(shè)邊上的高為，則， 所以邊上的高為. 18. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，是上的動點(diǎn). (1)求證：平面平面； (2)求四棱錐的側(cè)面積. 【答案】(1)證明見解析；(2). 【解析】試題分析： (1)由題意可知四邊形是菱形，，由線面垂直的性質(zhì)可得，故平面，結(jié)合面面垂直的判斷定理可得平面 平面. (2)過作交于，連接，由幾何關(guān)系可得，且有，，而，結(jié)合圖形的對稱性可得四棱錐的側(cè)面積為. 試題解析： (1)在平行四邊形中，， ∴四邊形是菱形，∴， ∵平面，平面 ∴，又，∴平面， ∵平面， ∴平面 平面. (2)∵平面，過作交于，連接， ∵，，，∴， ∵，，， ∴平面，∴， ∴， ， 又∵，， ∴四棱錐的側(cè)面積為. 19. 某中學(xué)為了解高一學(xué)生的視力健康狀況，在高一年級體檢活動中采用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表，按照《中國學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測工作手冊》的方法對1039名學(xué)生進(jìn)行了視力檢測，判斷標(biāo)準(zhǔn)為：雙眼裸眼視力為視力正常，為視力低下，其中為輕度，為中度，為重度.統(tǒng)計(jì)檢測結(jié)果后得到如圖所示的柱狀圖. (1)求該校高一年級輕度近視患病率； (2)根據(jù)保護(hù)視力的需要，需通知檢查結(jié)果為“重度近視”學(xué)生的家長帶孩子去醫(yī)院眼科進(jìn)一步檢查和確診，并開展相應(yīng)的矯治，則該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為多少人？ (3)若某班級6名學(xué)生中有2人為視力正常，則從這6名學(xué)生中任選2人，恰有1人視力正常的概率是多少？ 【答案】(1)；(2)135人；(3). 【解析】試題分析： (1)由柱狀圖計(jì)算可得該校高一年級學(xué)生輕度近視患病率為. (2)由已知計(jì)算可得：該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為人. (3)記6名學(xué)生中視力正常的學(xué)生為，，視力低下的學(xué)生為，，，，列出所有可能的基本事件，結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得恰有1人視力正常的概率是. 試題解析： (1)由柱狀圖可得： ， 即該校高一年級學(xué)生輕度近視患病率為. (2)由已知可得：(人) 即該校高一年級需通知的家長人數(shù)約為135人. (3)記6名學(xué)生中視力正常的學(xué)生為，，視力低下的學(xué)生為，，，， 則從中任選2人所有可能為： ，，，，，，，，，，，，，，， ∴. 即從這6名學(xué)生中任選2人恰有1人為視力正常的概率為. 20. 已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心的圓在軸上截得的弦長均為4，求證：圓恒過定點(diǎn). 【答案】(1)；(2)證明見解析. 【解析】試題分析： (1)由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線距離公式得到關(guān)于實(shí)數(shù)p的方程，解方程可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由題意結(jié)合勾股定理有，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整理變形可得，該方程對于任意的均成立，則據(jù)此可得圓過一定點(diǎn)為. 試題解析： (1)由題意，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 由點(diǎn)到直線的距離公式，得， 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (2)設(shè)圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓在軸上截得的弦長為， 所以， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， 化簡得：，① 對于任意的，方程①均成立， 故有：解得：，所以，圓過一定點(diǎn)為. 點(diǎn)睛：求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)． 21. 已知函數(shù)，. (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)已知，若函數(shù)恒成立，試確定的取值范圍. 【答案】(1)答案見解析；(2). 【解析】試題分析： (1)由函數(shù)的解析式有，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)可知，，滿足題意時(shí)需，即，結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)在，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得的取值范圍是. 試題解析： (1)由，得：，， 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，令，則，得，， ∵，∴， ∴令得，令得， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ∴， 即需，即， 又由得，代入上面的不等式得， 由函數(shù)在上單調(diào)遞增，， 所以，∴，∴， 所以的取值范圍是. 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，其中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，為曲線與的交點(diǎn). (1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的極徑； (2)點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】試題分析：(1) 先求得曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得，從而可得點(diǎn)的極徑；(2) 點(diǎn)，，由題意可得，，進(jìn)而可得，兩邊同乘以，利用 即可得點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程. 試題解析：(1)由題意可知，曲線的極坐標(biāo)方程是，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得，故點(diǎn)的極徑為. (2)在極坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，，由題意可得，，進(jìn)而可得，從而點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為. 23. 已知函數(shù)，其中. (1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； (2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍. 【答案】(1)；(2). (3) ........................ 試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，解不等式，時(shí)；時(shí)，；不等式總成立，所以得，所以，的解集為. (2)當(dāng)時(shí)， ， 所以①當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，所以； ②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于恒成立，所以； ③當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，此時(shí)恒成立，所以； 綜上可得，.