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11.3　二項分布及其應用 最新考綱 考情考向分析 1.了解獨立事件的概念. 2.了解獨立重復試驗的模型及二項分布. 以了解獨立重復試驗、二項分布的概念為主，重點考查二項分布概率模型的應用.識別概率模型是解決概率問題的關鍵.在高考中，常以選擇、填空題的形式考查，難度為中低檔. 1.相互獨立事件 (1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨立事件. (2)若A與B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B). (3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立. (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨立. 2.獨立重復試驗與二項分布 (1)獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的. (2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率. 3.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 概念方法微思考 “事件相互獨立”與“事件互斥”有何不同？ 提示　兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨立不一定互斥. 題組一　思考辨析 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)相互獨立事件就是互斥事件.(　　) (2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.(　　) (3)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　) 題組二　教材改編 2.[P55T3]天氣預報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(　　) A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56 答案　C 解析　設甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝0.20.7＋0.80.3 ＝0.38. 3.[P69B組T1]拋擲兩枚骰子，當至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為________. 答案　 解析　拋擲兩枚骰子，當兩枚骰子不出現(xiàn)5點和6點時的概率為＝，所以至少有一次出現(xiàn)5點或6點的概率為1－＝，用X表示10次試驗中成功的次數(shù)，則X～B，E(X)＝10＝. 題組三　易錯自糾 4.兩個實習生每人加工一個零件，加工成一等品的概率分別為和，兩個零件能否被加工成一等品相互獨立，則這兩個零件恰好有一個一等品的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　因為兩人加工成一等品的概率分別為和， 且相互獨立，所以兩個零件恰好有一個一等品的概率為P＝＋＝. 5.小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　所求概率P＝C13－1＝. 6.國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為________. 答案　 解析　記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝， “甲、乙兩人至少有1人去北京旅游”的對立事件為“甲、乙兩人都不去北京旅游”， 故所求概率為1－P()＝1－＝. 題型一　相互獨立事件的概率 例1　(2018溫州“十五校聯(lián)合體”期中聯(lián)考)一個口袋中裝有n個紅球(n≥4且n∈N*)和5個白球，從中摸兩個球，兩個球顏色相同則為中獎. (1)若一次摸兩個球，其中獎的概率為，求n的值； (2)若一次摸一個球，記下顏色后，又把球放回去.當n＝4時，求兩次摸球中獎的概率. 解　(1)一次摸獎從n＋5個球中任選兩個，有C種，它們等可能，其中兩球不同色有CC種，一次摸獎中獎的概率P＝1－＝. 由＝，得n＝4或n＝5. (2)若n＝4，兩次摸球(每次摸球后放回)中獎的概率是 P＝＋＝. 思維升華求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法 (1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立. (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法 ①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算. 跟蹤訓練1甲、乙兩隊進行排球決賽.現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　設Ai (i＝1，2)表示繼續(xù)比賽時，甲在第i局獲勝；B事件表示甲隊獲得冠軍， 則B＝A1＋1A2， ∴P(B)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝. 題型二　獨立重復試驗 例2　一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分).設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立. (1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 解　(1)X可能的取值為10，20，100，－200. 根據(jù)題意，有 P(X＝10)＝C12＝， P(X＝20)＝C21＝， P(X＝100)＝C30＝， P(X＝－200)＝C03＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P (2)設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1，2，3)， 則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是. 思維升華在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準確利用公式求概率. 跟蹤訓練2投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A.0.648 B.0.432 C.0.360 D.0.312 答案　A 解析　所求概率為C0.620.4＋0.63＝0.648. 題型三　二項分布及其均值、方差 例3某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p. (1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； (2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ). 解　(1)設“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么 1－P()＝1－p＝，解得p＝. (2)由題意，得隨機變量ξ可能的取值為0，1，2，3， 則P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C2＝， P(ξ＝2)＝C2＝， P(ξ＝3)＝3＝. ∴隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 故隨機變量ξ的均值 E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 思維升華在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率，列出分布列. 跟蹤訓練3(2018臺州模擬)有10道數(shù)學單項選擇題，每題選對得4分，不選或選錯得0分.已知某考生能正確答對其中的7道題，余下的3道題每題能正確答對的概率為.假設每題答對與否相互獨立，記ξ為該考生答對的題數(shù)，η為該考生的得分，則P(ξ＝9)＝________，E(η)＝________.(用數(shù)字作答) 答案　　32 解析　ξ＝7，8，9，10， P(ξ＝9)＝C2＝3＝； η＝28，32，36，40， P(η＝28)＝3＝， P(η＝32)＝C2＝， P(η＝36)＝C2＝， P(η＝40)＝3＝， 所以E(η)＝28＋32＋36＋40＝32. 1.甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲獎乙沒獲獎或甲沒獲獎乙獲獎，則所求概率是＋＝，故選D. 2.袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P＝C2＝. 3.某種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的均值為(　　) A.100 B.200 C.300 D.400 答案　B 解析　記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1000，0.1)， ∴E(Y)＝10000.1＝100.又X＝2Y， ∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200. 4.一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設停止時共取了X次球，則P(X＝12)等于(　　) A.C102 B.C92 C.C92 D.C102 答案　D 解析　“X＝12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球， 因此P(X＝12)＝C92 ＝C102. 5.甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　設“甲命中目標”為事件A，“乙命中目標”為事件B，“丙命中目標”為事件C，則擊中目標表示事件A，B，C中至少有一個發(fā)生.又P()＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝＝. 故目標被擊中的概率P＝1－P()＝. 6.(2019湖州質檢)設隨機變量X服從二項分布X～B，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點， ∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4. ∵X服從X～B， ∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝. 7.(2018杭州四校聯(lián)考)若ξ～B，D(ξ)＝，則n＝________，E(ξ)＝________. 答案　6　3 解析　由D(ξ)＝＝n， 得n＝6，E(ξ)＝6＝3. 8.(2018杭州高考仿真測試)一個盒子中有大小形狀完全相同的m個紅球和6個黃球，現(xiàn)從中有放回的摸取5次，每次隨機摸出一個球，設摸到紅球的個數(shù)為X，若E(X)＝3，則m＝________，P(X＝2)＝________. 答案　9　 解析　由題意知每次隨機抽出1個球為紅球的概率為，所以X～B，則由E(X)＝3，得5＝3，解得m＝9，所以＝， 所以P(X＝2)＝C23＝. 9.4支足球隊兩兩比賽，一定有勝負，每隊贏的概率都為.若每隊贏的場數(shù)各不相同，則共有________種結果；其概率為________. 答案　24　 解析　∵4支足球隊兩兩比賽，一定有勝負，每隊贏的概率都為0.5，并且每隊贏的場數(shù)各不相同， ∴4隊比6場只考慮勝場，且各不相同，勝場分別為0，1，2，3，∴共有A＝4321＝24種結果， ∴概率為P＝A6＝. 10.若將甲、乙兩個球隨機放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則在1，2號盒子中各有一個球的概率是________. 答案　 解析　將甲、乙兩個球隨機放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則有33＝9(種)不同的放法，其中在1，2號盒子中各有一個球的結果有2種，故所求概率是. 11.設隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥1)＝________. 答案　 解析　∵X～B(2，p)， ∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝， 解得p＝.又Y～B(3，p)， ∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝. 12.挑選空軍飛行員可以說是“萬里挑一”，要想通過需要五關：目測、初檢、復檢、文考(文化考試)、政審.若某校甲、乙、丙三位同學都順利通過了前兩關，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學通過復檢關的概率分別是0.5，0.6，0.75，能通過文考關的概率分別是0.6，0.5，0.4，由于他們平時表現(xiàn)較好，都能通過政審關，若后三關之間通過與否沒有影響. (1)求甲、乙、丙三位同學中恰好有一人通過復檢的概率； (2)設只要通過后三關就可以被錄取，求錄取人數(shù)X的分布列. 解　(1)設A，B，C分別表示事件“甲、乙、丙通過復檢”，則所求概率P＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.5(1－0.6)(1－0.75)＋(1－0.5)0.6(1－0.75)＋(1－0.5)(1－0.6)0.75＝0.275. (2)甲被錄取的概率為P甲＝0.50.6＝0.3， 同理P乙＝0.60.5＝0.3，P丙＝0.750.4＝0.3. ∴甲、乙、丙每位同學被錄取的概率均為0.3， 故可看成是獨立重復試驗，即X～B(3，0.3)，X的可能取值為0，1，2，3，其中P(X＝k)＝C(0.3)k(1－0.3)3－k. 故P(X＝0)＝C0.30(1－0.3)3＝0.343， P(X＝1)＝C0.3(1－0.3)2＝0.441， P(X＝2)＝C0.32(1－0.3)＝0.189， P(X＝3)＝C0.33＝0.027， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 13.如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線.若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為).若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應選擇的路線是______________. 答案　A→E→F→B 解析　路線A→C→D→B途中發(fā)生堵車事件的概率 P1＝1－＝， 路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車事件的概率 P2＝1－＝. 因為<，所以應選擇路線A→E→F→B. 14.(2018浙江省重點中學聯(lián)考)已知一個不透明的袋中有大小、質地相同的4個紅球，3個白球和2個黑球.若不放回地摸球，每次摸1個球，摸取4次，則恰有3次摸到紅球的概率為________；若有放回地摸球，每次摸1個球，摸取3次，則摸到紅球的次數(shù)X的均值為________. 答案　　 解析　方法一　由題意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到紅球的概率為＝＝，若有放回地摸球，X的所有可能取值為0，1，2，3，且P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝C3＝， ∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 方法二　由題意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到紅球的概率為＝＝，若有放回地摸球， 則X～B，∴E(X)＝3＝. 15.(2018浙江臺州高三適應性考試)某特種部隊的3名戰(zhàn)士甲、乙、丙在完成一次任務后有三條撤退路線可走，他們各自選擇撤退的路線是隨機且相互獨立的，若這三條路線能順利撤退回到部隊的概率分別為，，. (1)求戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊的概率； (2)設X為順利撤退回到部隊的戰(zhàn)士的人數(shù)，求X的均值. 解　(1)設戰(zhàn)士甲能順利撤退回到部隊的概率為P，因為他從三條路線中選擇一條順利撤退回到部隊是隨機的，所以P＝＋＋＝. (2)由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，分析可知X服從二項分布B. 方法一　所以P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝， 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 方法二　n＝3，p＝，E(X)＝np＝3＝. 16.在某年全國高校自主招生考試中，某高校設計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題.規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為，且每題正確回答與否互不影響. (1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列，并計算其均值； (2)分析比較兩考生的通過能力. 解　(1)甲正確回答的題目數(shù)ξ可取1，2，3. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 故其分布列為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1＋2＋3＝2. 又乙正確回答的題目數(shù)η～B，其分布列為 η 0 1 2 3 P ∴E(η)＝np＝3＝2. (2)∵D(ξ)＝(2－1)2＋(2－2)2＋(2－3)2＝， D(η)＝np(1－p)＝3＝， ∴D(ξ)P(η≥2). 從回答對題數(shù)的均值考查，兩人水平相當；從回答對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確回答2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的通過能力較強.