《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 第1課時 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 第1課時 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時　雙曲線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、實軸長和虛軸長等).2.理解離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.3.能用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)解決一些簡單問題． 知識點一　雙曲線的性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點 頂點 坐標(biāo) A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c間的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知識點二　等軸雙曲線 思考　求下列雙曲線的實半軸長、虛半軸長，并分析其共同點． (1)x2－y2＝1；(2)4x2－4y2＝1. 答案　(1)的實半軸長1，虛半軸長1 (2)的實半軸長，虛半軸長. 它們的實半軸長與虛半軸長相等． 梳理　實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝x，離心率為. (1)雙曲線－＝1與－＝1(a＞0，b＞0)的形狀相同．(√) (2)雙曲線－＝1與－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線相同．() (3)等軸雙曲線的漸近線方程與雙曲線方程有關(guān)．() (4)離心率是的雙曲線為等軸雙曲線．(√) 類型一　雙曲線的性質(zhì) 例1　求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 解　雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又雙曲線的焦點在x軸上， ∴頂點坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)， 焦點坐標(biāo)為(－，0)，(，0)， 實軸長2a＝6，虛軸長2b＝4，離心率e＝＝， 漸近線方程為y＝x. 引申探究 求雙曲線nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、頂點坐標(biāo)和漸近線方程． 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，實半軸長a＝， 虛半軸長b＝，c＝， 焦點坐標(biāo)為(，0)，(－，0)， 離心率e＝＝＝， 頂點坐標(biāo)為(－，0)，(，0)， 所以漸近線方程為y＝x，即y＝x. 反思與感悟　由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟 (1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵． (2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置，確定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1　求雙曲線9y2－16x2＝144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 解　把方程9y2－16x2＝144化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1. 由此可知，實半軸長a＝4，虛半軸長b＝3； c＝＝＝5，焦點坐標(biāo)是(0，－5)，(0,5)； 離心率e＝＝；漸近線方程為y＝x. 類型二　由雙曲線的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例2　(1)已知雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 答案　B 解析　由已知，得雙曲線的焦點在y軸上， 從而可設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． ∵一個頂點為(0,2)，∴a＝2. 又實軸長與虛軸長之和等于焦距的倍， ∴2a＋2b＝2c. 又a2＋b2＝c2，∴b2＝4， ∴所求雙曲線的方程為－＝1. (2)求與雙曲線－＝1有共同的漸近線，并且經(jīng)過點A(2，－3)的雙曲線的方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 解　雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x. 當(dāng)所求雙曲線的焦點在x軸上時， 設(shè)所求雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)． 因為＝，所以b＝a.① 因為點A(2，－3)在所求雙曲線上，所以－＝1.② 聯(lián)立①②得方程組無解． 當(dāng)所求雙曲線的焦點在y軸上時， 設(shè)所求雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 因為＝，所以a＝b.③ 因為點A(2，－3)在所求雙曲線上，所以－＝1.④ 由③④，得a2＝，b2＝4， 所以所求雙曲線的方程為－＝1. 反思與感悟　(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式． (2)巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧 ①焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ②焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)． ③與雙曲線－＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(λ≠0，－b2<λ0，b>0)的離心率e＝，過點A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點的距離為，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程 解　(1)設(shè)所求雙曲線的方程為－＝λ(λ≠0)． ∵點M(3，－2)在雙曲線上， ∴－＝λ，即λ＝－2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. (2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.① 又∵直線AB的方程為bx－ay－ab＝0， ∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 解①②組成的方程組，得a2＝3，b2＝1. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 類型三　求雙曲線的離心率 例3　已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果∠PF2Q＝90，求雙曲線的離心率． 考點　雙曲線的離心率與漸近線 題點　求雙曲線的離心率 解　設(shè)F1(c,0)，將x＝c代入雙曲線的方程得－＝1， 那么y＝. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90，知|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2－1＝0， 即e2－2e－1＝0， 所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以雙曲線的離心率為1＋. 反思與感悟　求雙曲線離心率的三種方法： (1)若可求得a，c，則直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)雙曲線－＝1(b＞a＞0)的焦距為2c，直線l過點A(a,0)，B(0，b)兩點，已知原點到直線l的距離為c，則雙曲線的離心率為________． 考點　雙曲線的離心率與漸近線 題點　求雙曲線的離心率 答案　2 解析　如圖所示，在△OAB中， |OA|＝a，|OB|＝b，|OE|＝c， |AB|＝＝c. 因為|AB||OE|＝|OA||OB|， 所以cc＝ab，即(a2＋b2)＝ab， 兩邊同除以a2，得2－＋＝0， 解得＝或＝(舍去)， 所以e＝＝＝＝2. 1．已知雙曲線方程為x2－8y2＝32，則(　　) A．實軸長為4，虛軸長為2 B．實軸長為8，虛軸長為4 C．實軸長為2，虛軸長為4 D．實軸長為4，虛軸長為8 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c 答案　B 解析　雙曲線方程x2－8y2＝32化為標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，可得a＝4，b＝2，所以雙曲線的實軸長為8，虛軸長為4. 2．下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y＝x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－x2＝1 D．y2－＝1 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程 答案　D 解析　從選項知，焦點在y軸上的雙曲線有－x2＝1與y2－＝1，而－x2＝1的漸近線方程是y＝2x，y2－＝1的漸近線方程是y＝x，故選D. 3．(2017浙江余姚中學(xué)期中)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線C的右支上的點，射線PT平分∠F1PF2，過原點O作PT的平行線交PF1于點M，若|MP|＝|F1F2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A.B．3C.D. 答案　A 4．與雙曲線－＝1共漸近線且經(jīng)過點M(2，6)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 答案　－＝1 解析　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝t(t≠0)， 又經(jīng)過點M(2，6)， ∴－＝t，即t＝2， 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 5．已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當(dāng)△APF周長最小時，該三角形的面積為________． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 答案　12 解析　設(shè)左焦點為F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周長最小即為|AP|＋|PF1|最小，當(dāng)A，P，F(xiàn)1在一條直線上時最小，過AF1的直線方程為＋＝1，與x2－＝1聯(lián)立，解得P點坐標(biāo)為(－2,2)，此時S＝－＝12. 1．隨著x和y趨向于無窮大，雙曲線將無限地與漸近線接近，但永遠(yuǎn)沒有交點；由漸近線方程可確定a與b或b與a的比值，但無法確定焦點位置． 2．求漸近線的方程，常把雙曲線的方程右邊的常數(shù)寫成0，分解因式即得漸近線方程，若已知漸近線方程mx＋ny＝0，求雙曲線的方程，常將雙曲線的方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)求解． 3．與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線系的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0，a＞0，b＞0). 一、選擇題 1．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(　　) A．2B．2C．4D．4 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 答案　C 解析　將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)形式為－＝1，得2a＝4. 2．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝2x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 考點　雙曲線的離心率與漸近線 題點　漸近線與離心率的關(guān)系 答案　B 解析　由e＝＝＝，得2＝2. 故漸近線方程為y＝x，故選B. 3．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　C 解析　不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|，則|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 則∠PF1F2是△PF1F2的最小內(nèi)角，為30， ∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos 30， ∴(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－24a2c， 化為e2－2e＋3＝0，解得e＝. 4．設(shè)雙曲線＋＝1的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為(　　) A．－4B．－3C．2D．1 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程求a，b，c及漸近線 答案　A 解析　∵方程表示雙曲線， ∴a<0，標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1， ∴漸近線方程為y＝x， ∴＝，解得a＝－4. 5．等軸雙曲線的一個焦點是F1(－6,0)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距求方程 答案　D 解析　∵等軸雙曲線的一個焦點為F1(－6,0)，∴c＝6， ∴2a2＝36，a2＝18， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 6．(2017浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(B在第四象限)，若△ABF1是B為直角頂點的等腰直角三角形，設(shè)該雙曲線的離心率為e，則e2為(　　) A．5－2 B．5＋2 C．4＋2 D．4－2 答案　A 7．設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F且斜率為－1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若＝－3，則雙曲線C的離心率e等于(　　) A.B.C.D. 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　設(shè)F(c,0)，則過雙曲線：－＝1(a>0，b>0)的右焦點F且斜率為－1的直線l的方程為y＝－(x－c)， 而漸近線方程是y＝x， 由得B， 由得A， ＝， ＝， 由＝－3， 得＝－3， 則＝－3， 即b＝a， 則c＝＝a， 則e＝＝，故選D. 二、填空題 8．(2017嘉興一中期末)雙曲線C：x2－4y2＝1的焦距是________，雙曲線C的漸近線方程是__________． 答案　　y＝x 9．已知雙曲線y2－＝1(m＞0)的離心率e∈(1,2)，則m的取值范圍是________． 考點　雙曲線的離心率與漸近線 題點　雙曲線離心率的取值范圍 答案　(0,3) 解析　由雙曲線y2－＝1(m＞0)知，a＝1，b＝， 所以e＝＝， 又e∈(1,2)，所以1＜＜2，解得0＜m＜3. 10．(2017金華一中月考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為______________． 答案　y＝2x 11．過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F(－c,0)(c＞0)作圓x2＋y2＝的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若＝(＋)，則雙曲線的離心率為________． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線離心率 答案　 解析　如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為M，連接PM. ∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF中， |EF|＝. 又＝(＋)， ∴E是PF的中點， ∴|PF|＝2|EF|＝2 ， |PM|＝2|OE|＝a. 由雙曲線的定義知，|PF|－|PM|＝2a， ∴2 －a＝2a， ∴e＝＝. 三、解答題 12．已知雙曲線的一條漸近線為x＋y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 考點　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知雙曲線的焦距、漸近線求雙曲線的方程 解　橢圓方程為＋＝1，可知橢圓的焦距為8. ①當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1； ②當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴　解得 ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 由①②可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1或－＝1. 13．已知點A(0,1)，點P在雙曲線C：－y2＝1上． (1)當(dāng)|PA|最小時，求點P的坐標(biāo)； (2)過點A的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OMN的面積為2，求直線l的方程． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 解　(1)設(shè)P(x，y)，則|PA|＝ ＝＝， 當(dāng)y＝時，|PA|最小， 故所求點P的坐標(biāo)為. (2)由題知直線l的斜率存在，故可設(shè)l的方程為y＝kx＋1， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，與雙曲線方程聯(lián)立得 (1－2k2)x2－4kx－4＝0， 則Δ＝16(1－k2)＞0且＜0，即k2＜. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝＝， S△OMN＝1|x1－x2|＝＝2， 解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝， ∴l(xiāng)的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 四、探究與拓展 14．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　求雙曲線的離心率 答案　A 解析　因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又sin∠MF2F1＝，所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|. 由雙曲線的定義，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝， 所以b2＝a2， 所以c2＝b2＋a2＝2a2， 所以離心率e＝＝. 15．已知雙曲線C：－y2＝1(a＞0)，直線l：x＋y＝1，雙曲線C與直線l有兩個不同交點A，B，直線l與y軸交點為P. (1)求離心率e的取值范圍； (2)若＝，求a的值． 考點　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點　由雙曲線方程研究其他問題 解　(1)由雙曲線C與直線l相交于兩個不同的點，得 方程組有兩個不同的解， 消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，① ∴ 解得－＜a＜且a≠1. 又∵a＞0，∴0＜a＜且a≠1. ∵雙曲線的離心率e＝＝， ∵0＜a＜且a≠1， ∴e＞且e≠， ∴雙曲線C的離心率e的取值范圍是∪(，＋∞)． (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得P(0,1)． ∵＝， ∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)， 由此可得x1＝x2. ∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， ∴x1＋x2＝x2＝－. x1x2＝x＝－， 消去x2得－＝，即a2＝. 又∵a＞0，∴a＝.