(浙江專用)2020版高考數(shù)學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第76練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關系練習(含解析).docx
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第76練 高考大題突破練—直線與圓錐曲線的位置關系 [基礎保分練] 1.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,且過點Q. (1)求橢圓C的標準方程; (2)若O為坐標原點,P為直線l:x=2上的一動點,過點P作直線l′與橢圓相切于點A,若△POA的面積S為,求直線l′的方程. 2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點A(1,-2). (1)求拋物線C的方程,并求其準線方程; (2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由. 3.(2019溫州模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過焦點F的直線交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,y1y2=-4. (1)求拋物線方程; (2)點B在準線l上的投影為E,D是C上一點,且AD⊥EF,求△ABD面積的最小值及此時直線AD的方程. [能力提升練] 4.已知拋物線C1:x2=4y的焦點F也是橢圓C2:+=1(a>b>0)的一個焦點,C1與C2的公共弦的長為2.過點F的直線l與C1相交于A,B兩點,與C2相交于C,D兩點,且與同向. (1)求C2的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直線l的斜率. 答案精析 基礎保分練 1.解 (1)由題意得2c=2,∴c=1. ∵橢圓C過點Q, ∴+=1. ∵c2=a2-b2,解得a2=2,b2=1. ∴橢圓C的標準方程為+y2=1. (2)設A(x0,y0),當x0=0時,y0=1,S△POA≠, 當x0≠0時,切線l′的方程為+yy0=1, 即y=-x,則直線l′與x軸交于點B,∵P, ∴S△POA==, 即=, ∴=, 即 或 解得x0=1,y0=-或x0=1,y0=(x0=0,y0=1不合題意舍), ∴直線l′的方程為x+y-2=0或x-y-2=0. 2.解 (1)將(1,-2)代入y2=2px, 得(-2)2=2p1,所以p=2. 故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1. (2)假設存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t. 由得y2+2y-2t=0. 因為直線l與拋物線C有公共點, 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-. 又由直線OA與l的距離d=, 可得=,解得t=1. 因為-1?, 1∈, 所以符合題意的直線l存在, 其方程為2x+y-1=0. 3.解 (1)依題意F, 當直線AB的斜率不存在時,|y1|=|y2|=2,|AB|=2p=4,解得p=2; 當直線AB的斜率存在時,設直線AB: y=k,由 化簡得y2-y-p2=0, 由y1y2=-4得p2=4,解得p=2(舍負),所以拋物線方程為y2=4x. (2)設D(x0,y0),B, 則E(-1,t),由y1y2=-4, 可得A, 因為kEF=-,AD⊥EF, 所以kAD=, 故直線AD:y+=, 即2x-ty-4-=0. 由 化簡得y2-2ty-8-=0, 所以y1+y0=2t,y1y0=-8-. 所以|AD|=|y1-y0| = =, 設點B到直線AD的距離為d, 則d==, 所以S△ABD=|AD|d =≥16, 當且僅當t4=16,即t=2時,等號成立,所以△ABD面積的最小值為16. 當t=2時,直線AD的方程為x-y-3=0; 當t=-2時,直線AD的方程為x+y-3=0. 能力提升練 4.解 (1)由C1:x2=4y知,其焦點F的坐標為(0,1). 因為F也是橢圓C2的一個焦點, 所以a2-b2=1.① 又C1與C2的公共弦的長為2,C1與C2都關于y軸對稱,且C1的方程為x2=4y, 由此易知C1與C2的公共點的坐標為,所以+=1.② 聯(lián)立①②,得a2=9,b2=8. 故C2的方程為+=1. (2)如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 因為與同向,且|AC|=|BD|,所以=,從而x3-x1=x4-x2, 即x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2)2-4x1x2 =(x3+x4)2-4x3x4.③ 設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1. 由 得x2-4kx-4=0. 而x1,x2是這個方程的兩根, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④ 由 得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 而x3,x4是這個方程的兩根, 所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤ 將④⑤代入③,得16(k2+1)=+, 即16(k2+1)=, 所以(9+8k2)2=169,解得k=, 即直線l的斜率為.- 配套講稿:
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