課時(shí)規(guī)范練39　直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 基礎(chǔ)鞏固組 1. (2017山東臨沂一模,文19)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD. (1)若M是AB的中點(diǎn),求證:平面CEM⊥平面BDE; (2)若N為BE的中點(diǎn),求證:CN∥平面ADE. ?導(dǎo)學(xué)號24190773? 2. 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1. 求證:(1)直線DE∥平面A1C1F; (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 3. (2017河北邯鄲二模,文19)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,點(diǎn)E在AD上,且AE=2ED. (1)已知點(diǎn)F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC; (2)若△PBC的面積是梯形ABCD面積的43,求點(diǎn)E到平面PBC的距離. ?導(dǎo)學(xué)號24190774? 4. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn),F為棱BC的中點(diǎn). (1)求證:AE⊥DA1; (2)在線段AA1上求一點(diǎn)G,使得AE⊥平面DFG. 綜合提升組 5. (2017廣東江門一模,文19)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,BC=2AC=4,D,E分別是AB,BC邊的中點(diǎn),沿DE將△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60. (1)求四棱錐F-ADEC的體積; (2)求證:平面ADF⊥平面ACF. 6.(2017山西孝義考前模擬,文19)如圖(1),五邊形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150.如圖(2),將△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱錐P-ABCD,點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn),且BM⊥平面PCD. 圖(1) 圖(2) (1)求證:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若四棱錐P-ABCD的體積為23,求四面體BCDM的體積. ?導(dǎo)學(xué)號24190775? 7. (2017北京海淀模擬,文15)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA上的動點(diǎn). (1)求四棱錐P-ABCD的體積. (2)如果E是PA的中點(diǎn),求證:PC∥平面BDE. (3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結(jié)論. 創(chuàng)新應(yīng)用組 8. (2017遼寧大連一模,文19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=27,E為棱PD中點(diǎn). (1)求證:PD⊥平面ABE; (2)求四棱錐P-ABCD外接球的體積. 9.(2017山西太原二模,文19)如圖(1),在平面六邊形ABFCDE中,四邊形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=2,BF=CF=2,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),分別沿直線AD,BC將△ADE,△BCF翻折成如圖(2)的空間幾何體ABCDEF. (1)利用下面的結(jié)論1或結(jié)論2,證明:E,F,M,N四點(diǎn)共面; 結(jié)論1:過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面,有且只有一個(gè); 結(jié)論2:過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面,有且只有一個(gè). (2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60,求三棱錐E-BCF的體積. 圖(1) 圖(2) 答案： 1.證明 (1)∵ED⊥平面ABCD, ∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM. ∵AE=BE, ∴Rt△ADE≌Rt△BDE, ∴AD=BD. 連接DM,則DM⊥AB, ∵AB∥CD,∠BCD=90,BC=CD, ∴四邊形BCDM是正方形,∴BD⊥CM. 又DE⊥CM,BD∩DE=D, ∴CM⊥平面BDE, ∵CM?平面CEM, ∴平面CEM⊥平面BDE. (2)由(1)知,AB=2CD,取AE中點(diǎn)G,連接NG,DG, 在△EBA中,∵N為BE的中點(diǎn), ∴NG∥AB且NG=12AB, 又AB∥CD,且AB=2CD, ∴NG∥CD,且NG=CD, ∴四邊形CDGN為平行四邊形, ∴CN∥DG.又CN?平面ADE,DG?平面ADE,∴CN∥平面ADE. 2.證明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC. 在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn),所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因?yàn)镈E?平面A1C1F,A1C1?平面A1C1F, 所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1. 又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1,A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1, 所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D?平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D. 又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1, 所以B1D⊥平面A1C1F. 因?yàn)锽1D?平面B1DE, 所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 3.(1)證明 ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴∠ACB=45. ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC, ∴∠ACD=45,∴AD=CD, ∴BC=2AC=2AD. ∵AE=2ED,CF=2FB, ∴AE=BF=23AD, ∴四邊形ABFE是平行四邊形, ∴AB∥EF. 又AB⊥AC,∴AC⊥EF. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF. ∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC. ∵EF?平面PEF, ∴平面PEF⊥平面PAC. (2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC, ∴PB=PC, 取BC的中點(diǎn)G,連接AG,則AG⊥BC,AG=CD=1. 設(shè)PA=x,連接PG,則PG=x2+1, ∵△PBC的面積是梯形ABCD面積的43倍, ∴122PG=4312(1+2)1,即PG=2,求得x=3, ∵AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴點(diǎn)E到平面PBC的距離即是點(diǎn)A到平面PBC的距離, ∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC, ∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為12PA=32. 4.(1)證明 連接AD1,BC1(圖略). 由正方體的性質(zhì)可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A, ∴DA1⊥平面ABC1D1. ∵AE?平面ABC1D1,∴AE⊥DA1. (2)解 所求點(diǎn)G即為點(diǎn)A1,證明如下: 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中點(diǎn)H,連接AH,EH(圖略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H, 可得DF⊥平面AHE. ∵AE?平面AHE,∴DF⊥AE. 又DF∩A1D=D, ∴AE⊥平面DFA1, 即AE⊥平面DFG. 5.解 (1)∵D,E分別是AB,BC邊的中點(diǎn), ∴DE??12AC,DE⊥BC,DE=1. 依題意,DE⊥EF,BE=EF=2, ∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF, ∵DE?平面ACED, ∴平面ACED⊥平面CEF. 作FM⊥EC于M, 則FM⊥平面ACED, ∵∠CEF=60,∴FM=3, 梯形ACED的面積S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3. 四棱錐F-ADEC的體積V=13Sh=1333=3. (2)(法一)如圖,取線段AF,CF的中點(diǎn)N,Q,連接DN,NQ,EQ,則NQ??12AC, ∴NQ??DE,四邊形DEQN是平行四邊形,DN∥EQ. ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是等邊三角形,EQ⊥FC, 又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ, ∴AC⊥EQ, ∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF, ∴DN⊥平面ACF, 又DN?平面ADF, ∴平面ADF⊥平面ACF. (法二)連接BF, ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是邊長為2等邊三角形. ∵BE=EF, ∴∠EBF=12∠CEF=30, ∴∠BFC=90,BF⊥FC. ∵DE⊥平面BCF,DE∥AC, ∴AC⊥平面BCF. ∵BF?平面BCF,∴AC⊥BF, 又FC∩AC=C, ∴BF⊥平面ACF,又BF?平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF. 6.(1)證明 取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MN∥CD,且MN=12CD, 又AB∥CD,AB=12CD, ∴MN∥AB,MN=AB, ∴四邊形ABMN是平行四邊形, ∴AN∥BM, 又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD,∴AN⊥PD,AN⊥CD, 由ED=EA,即PD=PA,及N為PD的中點(diǎn), 得△PAD為等邊三角形, ∴∠PDA=60, 又∠EDC=150,∴∠CDA=90, ∴CD⊥AD,又AN∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD, 又CD?平面ABCD, ∴平面PAD⊥平面ABCD. (2)解 設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h,四邊形ABCD的面積為S, 則VP-ABCD=13Sh=23, 又S△BCD=23S,四面體BCDM的底面BCD上的高為h2, ∴四面體BCDM的體積VBCDM=13S△BCDh2=1623Sh=233. 7.(1)解 ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA為此四棱錐底面上的高. ∴V四棱錐P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23. (2)證明 連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OE. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AO=OC. 又AE=EP,∴OE∥PC. 又PC?平面BDE,OE?平面BDE, ∴PC∥平面BDE. (3)解 不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE. 證明如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵CE?平面PAC,∴BD⊥CE. 8.(1)證明 ∵PA⊥底面ABCD,AB?底面ABCD,∴PA⊥AB, 又底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD, 又PA?平面PAD,AD?平面PAD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD, 又PD?平面PAD,∴AB⊥PD,AD=AP,E為PD中點(diǎn), ∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE?平面ABE,AB?平面ABE, ∴PD⊥平面ABE. (2)解 四棱錐P-ABCD外接球球心是線段BD和線段PA的垂直平分線交點(diǎn)O, 由已知BD=AB2+AD2 =(27)2+22=42, 設(shè)M為BD中點(diǎn), ∴AM=22,OM=12AP=1, ∴OA=AM2+OM2 =(22)2+12=3, ∴四棱錐P-ABCD外接球的體積是43πOA3=36π. 9.(1)證明 由題意,點(diǎn)E在底面ABCD的射影在MN上,可設(shè)為點(diǎn)P, 同理,點(diǎn)F在底面ABCD的射影在MN上,可設(shè)為點(diǎn)Q,則EP⊥平面ABCD,FQ⊥平面ABCD, ∴平面EMP⊥平面ABCD,平面FNQ⊥平面ABCD, 又MN?平面ABCD,MN?平面EMP,MN?平面FNQ, 由結(jié)論2:過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面,有且只有一個(gè), 得到E,F,M,N四點(diǎn)共面. (2)解 ∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60, ∴∠EMP=∠FNQ=60, ∴EP=EMsin 60=32, ∴三棱錐E-BCF的體積VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=21312232+123223-13(42)32=32.