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12＋4分項練2　不等式與推理證明 1．(2018合肥模擬)已知非零實數(shù)a，b滿足a|a|>b|b|，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a3>b3 B．a2>b2 C.< D．|a|<|b| 答案　A 解析　利用排除法： 當a＝－1，b＝－2時，a2>b2與|a|<|b|都不成立，可排除選項B，D； 當a＝1，b＝－2時，<不成立，可排除選項C. 2．如下圖是元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) 答案　A 解析　該五角星對角上的兩盞花燈依次按逆時針方向亮一盞，故下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A，故選A. 3．(2018漳州質檢)已知x，y滿足不等式組則x－2y的最大值為(　　) A．6 B．2 C．－1 D．－2 答案　C 解析　畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示(包含邊界)， 平移直線z＝x－2y，由圖可知， 目標函數(shù)z＝x－2y過點A時取得最大值， 由解得A(1,1)， 此時z＝x－2y取得最大值1－2＝－1，故選C. 4．(2018北京師范大學附中模擬)已知a>0，b>0，并且，，成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為(　　) A．16 B．9 C．5 D．4 答案　A 解析　∵，，成等差數(shù)列，∴＋＝1. ∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，當且僅當＝且＋＝1，即a＝4，b＝時等號成立． 5．(2018華大新高考聯(lián)盟模擬)若實數(shù)x，y滿足不等式組則x2＋y2的取值范圍是(　　) A. B．[0,2] C. D. 答案　B 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， x2＋y2的幾何意義是陰影內的點到原點的距離的平方，顯然O點為最小值點，而A(1,1)為最大值點，故x2＋y2的取值范圍是[0,2]． 6．已知實數(shù)x，y滿足如果目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實數(shù)m等于(　　) A．7 B．5 C．4 D．1 答案　B 解析　繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)， 聯(lián)立直線方程可得交點坐標為 A， 由目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值， 所以－＝－1，解得m＝5. 7．有三支股票A，B，C,28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人數(shù)是持有C股票的人數(shù)的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人數(shù)比除了持有A股票外，同時還持有其它股票的人數(shù)多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．則只持有B股票的股民人數(shù)是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案　A 解析　設只持有A股票的人數(shù)為X(如圖所示)，則持有A股票還持有其它股票的人數(shù)為X－1(圖中d＋e＋f的和)，因為只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，則只持有了B或C股票的人數(shù)和為X(圖中b＋c部分)． 假設只同時持有了B和C股票的人數(shù)為a(如圖所示)，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，則X的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1.與之對應的a值為2,5,8,11,14,17,20,23,26. 因為沒持有A股票的股民中，持有B股票的人數(shù)為持有C股票人數(shù)的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故當X＝8，a＝5時滿足題意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人數(shù)是7，故選A. 8．(2018哈爾濱師范大學附屬中學模擬)設點(x，y)滿足約束條件且x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有(　　) A．12個 B．11個 C．10個 D．9個 答案　A 解析　畫出表示的可行域(含邊界)，由圖可知， 滿足x∈Z，y∈Z的(x，y) 有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)， (－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12個． 9.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤ (a>0，b>0) 答案　D 解析　由AC＝a，BC＝b，可得圓O的半徑r＝， 又OC＝OB－BC＝－b＝， 則FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根據(jù)題圖知FO≤FC，即≤ ，當且僅當a＝b時取等號．故選D. 10．已知實數(shù)x，y滿足約束條件如果目標函數(shù)z＝x＋ay的最大值為，則實數(shù)a的值為(　　) A．3 B. C．3或 D．3或－ 答案　D 解析　先畫出線性約束條件所表示的可行域(含邊界)，當a＝0時不滿足題意，故a≠0. 目標函數(shù)化為y＝－x＋z，當a>0時，－<0， (1)當－≤－<0，即a≥2時，最優(yōu)解為A， z＝＋a＝，a＝3，滿足a≥2； (2)當－<－，即00， (3)當0<－<，即a<－2時，最優(yōu)解為C(－2，－2)，z＝－2－2a＝，a＝－，滿足a<－2； (4)當－≥，即－2≤a<0時，最優(yōu)解為B，z＝3＋a＝，a＝，不滿足－2≤a<0，舍去． 綜上，實數(shù)a的值為3或－，故選D. 11．(2018湖南省長郡中學模擬)如圖，在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點，若＝x＋y(x，y∈R)，且點P落在四邊形ABNM內(含邊界)，則的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由題意，當P在線段AB上時，x＋y＝1，當P點在線段MN上時，x＋y＝2， ∴當P在四邊形ABNM內(含邊界)時，(*) 又＝，作出不等式組(*)表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)． 表示可行域內點(x，y)與Q(－1，－1)連線的斜率，由圖形知kQF＝＝，kQC＝＝3， 即≤≤3，∴≤≤3，≤≤， 故選C. 12．(2018天津市河東區(qū)模擬)已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－ab＋4b2－c＝0，當取最小值時，a＋b－c的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　正實數(shù)a，b，c滿足a2－ab＋4b2－c＝0，可得c＝a2－ab＋4b2， ＝＝＋－1≥2－1＝3. 當且僅當a＝2b時取得等號， 則當a＝2b時，取得最小值，且c＝6b2， ∴a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b ＝－62＋， ∴當b＝時，a＋b－c有最大值. 13．(2018南平模擬)若實數(shù)x，y滿足且z＝mx＋ny(m>0，n>0)的最大值為4，則＋的最小值為________． 答案　2 解析　作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)． 由可行域知可行域內的點(x，y)均滿足x≥0，y≥0. 所以要使z＝mx＋ny(m>0，n>0)最大，只需x最大，y最大即可，即在點A處取得最大值． 聯(lián)立解得A(2,2)． 所以有2m＋2n＝4，即m＋n＝2. ＋＝(m＋n)＝≥(2＋2)＝2. 當且僅當m＝n＝1時，＋取得最小值2. 14．(2018湘潭模擬)設x，y滿足約束條件若的最大值為2，則z＝x－y的最小值為________． 答案?。? 解析　令X＝x＋y，Y＝x－y，則x＝，y＝， 所以等價于 作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， 則＝表示可行域內一點(X，Y)與原點的連線的斜率， 由圖象可知，當X＝2a－，Y＝時，取得最大值，則＝2， 解得a＝， 聯(lián)立解得Y＝－， 所以z的最小值為－. 15．中國古代數(shù)學名著《周髀算經》曾記載有“勾股各自乘，并而開方除之”，用符號表示為a2＋b2＝c2 (a，b，c∈N*)，我們把a，b，c叫做勾股數(shù)．下列給出幾組勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此類推，可猜測第五組勾股數(shù)的三個數(shù)依次是________． 答案　11,60,61 解析　由前四組勾股數(shù)可得第五組的第一個數(shù)為11，第二，三個數(shù)為相鄰的兩個整數(shù)，可設為x，x＋1， 所以(x＋1)2＝112＋x2，所以x＝60， 所以第五組勾股數(shù)的三個數(shù)依次是11,60,61. 16．(2018漳州質檢)分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF做相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形： 記第n個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關數(shù)列{Sn}的四個命題： ①數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列； ②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列； ③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn>2 018； ④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn<2 018. 其中真命題是________．(請寫出所有真命題的序號) 答案?、冖? 解析　由題意，得圖1中的線段為a，S1＝a， 圖2中的正六邊形的邊長為， S2＝S1＋4＝S1＋2a， 圖3中的最小正六邊形的邊長為， S3＝S2＋4＝S2＋a， 圖4中的最小正六邊形的邊長為， S4＝S3＋4＝S3＋， 由此類推，Sn－Sn－1＝(n≥2)， 即{Sn}為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列， 即①錯誤，②正確； 因為Sn＝S1＋(S2－S1)＋(S3－S2)＋…＋(Sn－Sn－1) ＝a＋2a＋a＋＋…＋＝a＋ ＝a＋4a<5a，n≥2， 又S1＝a<5a， 所以存在最大的正數(shù)a＝， 使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn<2 018， 即④正確，③錯誤．